Презентация на тему Стереометрия

Стереометрия

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка,  прямая и плоскость.

Часть I

Плоскость.
Аксиомы стереометрии ( первая, вторая, третья).
Некоторые следствия из аксиом.

Плоскость.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, 

Аксиомы стереометрии.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома №1

Аксиома №2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома №3

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Аксиома №1

(Следствие)

Теорема 1.  Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома №1

(Следствие)

Теорема 2.  Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Часть II
(параллельные прямые)

Параллельность прямых и плоскостей

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 

α

β

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теорема о параллельных прямых.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. 

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема о трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).

Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема №1

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема №2

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема №3

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Часть II
(параллельные прямые)
Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.

Признак параллельности двух плоскостей

Теорема. 

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β.

Свойства параллельных плоскостей

Вели α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Часть III
(Декартовы координаты и векторы в пространстве)

Прямоугольная, или Декартова система координат — наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве.

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также —Декартова система координат.

Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в точке O. Через каждую пару прямых проведем плоскости. Получим три плоскости xy, xz и yz.
Данные прямые x, y и z называются координатными осями.
Плоскости xy, xz и yz называются координатными плоскостями.

Координатой x точки A называется число, равное абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка Ax лежит на положительной полуоси x, отрицательное, если на отрицательной полуоси.
Координаты точки A в пространстве записываются так: A(x;y;z)

Параллельный перенос

Введём на плоскости декартовы координаты xОу. Преобразование некоторой фигуры F, при котором произвольная ее точка А (х;у) переходит в другую точку А (х+a; y+b), где а и b постоянные, называется параллельным переносом; 

Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Понятие вектора

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.

Геометрически векторы изображаются направленными отрезками.  Направленный отрезок называется вектором.

Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается    или  .

Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой приложения); 2 )направлением;  3) длиной («модулем вектора»).

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос.

Нулевой вектор — точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается:  .

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. АВСD — параллелограмм, 

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы   и   коллинеарны и их лучи сонаправлены, товекторы   и   называются сонаправленными. 

коллинеарные векторы:

Свойство коллинеарных векторов

Если векторы   и   коллинеарны и  , то существует число k такое, что  . причем если k > 0, то векторы   и   сонаправленные, если k < 0, то противоположно направленные.

е

Правило треугольника

Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство:

Рисунки иллюстрируют сложение коллинеарных векторов с помощью параллельного переноса.

Если при сложении векторов  и   по правилу треугольника точку А заменить другой точкойА1, то вектор    заменится равным ему вектором  .

Правило параллелограмма

Если векторы   и   неколлинеарны, их можно отложить от одной точки, достроив затем параллелограмм.  Диагональ параллелограмма есть сумма двух векторов   и  .

Свойства сложения векторов

Для любых векторов   заданных в пространстве, справедливы равенства:

Правило многоугольника 

Применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов.  Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. От произвольной точки О отложен вектор    затем от
точки А отложен вектор   и, наконец, от точки В отложен вектор   В результате получается вектор 

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора   на число k называется такой вектор,  , длина которого равна,  , причем векторы   и   сонаправлены при   и противоположно направлены при k < 0.  Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Свойства умножения вектора на число

Сочетательный закон

Первый распределительный закон

Второй распределительный закон

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
Три произвольных вектора могут быть компланарными (лежать в одной плоскости) или некомпланарными (не лежать в одной плоскости).

Признак компланарности трех векторов

Если вектор   можно разложить по векторам   и  , т.е. представить в виде

где х и у — некоторые числа, то векторы  ,   и  компланарны.

Правило параллелепипеда

Сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенному на этих векторах.

Базис вектора. Разложение вектора на плоскости по двум некомпланарным векторам

Теорема: Любой вектор   на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде двух любых неколлинеарных векторов   и  :

Числа x и y называются координатами вектора. Векторы   и   называются базисом вектора   на плоскости.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Базисом пространства называют любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке

Теорема: Любой вектор   на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарных векторов  ,   и  : :

Числа x, y и z называются координатами вектора   в данном базисе. В этом случае пишут:

Действия над векторами, заданными своими координатами