Принцип Дирихле настолько простой и очевидный, что можно применять его не зная его формулировки.
или
«Если множество, которое состоит из m элементов, разбить на k подмножеств, то хотя бы в одном подмножестве окажется не менее m/k элементов»
Б) если фигуру площадью S разбить на n частей (которые не имеют общих внутренних точек), то площадь наибольшей фигуры не менее чес S/n, а площадь наименьшей не более чем S/n
Решение.
Обозначим данные точки А1, А2, А3, А4, А5, А6. Из точки А1 выходит 5 отрезков двух цветов. По принципу Дирихле среди этих отрезков есть 3 отрезка одного цвета. Пускай для конкретности это отрезки А1 А2, А1 А3 , А1 А4 красного цвета. Рассмотрим отрезки А2 А3, А3 А4, А2 А4. Возможные случаи:
А) среди этих отрезков есть красный, например А2 А3. Тогда в треугольнике А1 А2 А3 все стороны красные;
Б) среди этих отрезков нет красных. Тогда в треугольнике А2, А3, А4 все стороны синие.
Решение.
Нетрудно заметить, что 664 составляет приблизительно треть от 1991, а именно 1991 = 3*663+2. Поэтому при любом разбитии множества, состоящего из 1991 точки, на три подмножества, хотя бы в одно из этих подмножеств попадет 664 или более точек. Значит, для решения задачи достаточно показать, что квадрат со стороной 6 см можно разбить на три части, каждую из которых можно покрыть квадратом со стороной 5 см. Это видно по рисунку, в котором AK=5см, BO=3√2cм
Задача 3. Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдется диагональ, которая не параллельна ни одной из сторон.
Задача 4. Внутрь квадрата со стороной 10 см «брошено» 101 точку (ни какие три не лежат на одной прямой). Доказать, что среди этих точек есть три, которые образуют треугольник, площадь которого не превышает 1 см2.
Задача 2. Доказать , что существует натуральное число, последние четыре цифры которого 1972 и которое делится на 1971.
Задача 3. Можно ли найти такой натуральный показатель степени числа 3, который заканчивается на 0001?
Задача 5.В классе 25 учеников.
Известно, что среди любых трех из
них есть двое друзей. Доказать, что
есть ученик, у которого не менее чем
12 друзей.
Задача 6. Комиссия из 60 человек провела 40 заседаний, причем на каждом присутствовали ровно 10 членов комиссии. Доказать, что какие-то 2 члена комиссии встретились на заседаниях хотя бы дважды.
Задача 8. Дано n+1 разное натуральное число, каждое из которых меньше чем 2n. Доказать, что из них можно выбрать 3 таких числа, одно из которых равняется сумме двух других.
Задача 9. Доказать, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
Задача 11. Доказать, что среди любых
10 целых чисел найдется несколько
(возможно одно), сумма которых делится на 10.
Задача 12. На плоскости дано 17 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Любые две точки соединены отрезком. Каждый отрезок покрашено либо в красный, либо в синий, либо в зеленый цвет. Доказать, что найдется треугольник с вершинами в данных точках, все стороны которого имеют одинаковый цвет.
Задача 14. В квадрате, сторона которого равна 1, взято 51 точку. Доказать, что некоторые три из этих точек обязательно находятся внутри круга радиуса 1/7.
Задача 15. На плоскости дано 25 точек, причем среди произвольных трех найдутся две на расстоянии меньше 1. Доказать, что существует круг радиуса 1, который вмещает не менее чем 13 данных точек.
Задача 18. Дано бесконечная бумага в клеточку и фигура, площадь которой меньше площади клеточки. Доказать, что эту фигуру можно положить на бумагу так, чтобы она не накрыла ни одной вершины клеточек.
Задача 17. Дано числа 21 – 1,22 – 1,23 – 1,…,2n-1, где n3 – непарное число. Доказать, что хотя бы одно из данных чисел делится на n.
Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть