Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики презентация

называется гармонической, если:
1. Существуют частные производные до второго порядка включительно.
2. Все они непрерывны.
3. Она удовлетворяет уравнению Лапласа:

имеет первую производную в области G 1. Она бесконечное число раз дифференцируема.
2. Все эти производные непрерывны и

- конформное отображение области G на область G’.







является взаимно однозначным отображением.

– некоторая гармоническая функция, заданная внутри области , ,
.

:


Следовательно, вторые частные производные от нее же:

– гармоническая функция в .

, удовлетворяющую условиям:
1.

2.

где – заданная непрерывная функция на границе области .

. Найти установившееся распределение температуры в почве, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы (рис.1).

. – гармоническая функция. Для нее должно выполняется уравнение


и она должна удовлетворять граничным условиям

что дробно-линейная функция обладает круговым свойством.
2.Известно, что при дробно-линейном отображении точки симметричные переходят в точки, симметричные по отношению к образу кривой.

(рис.2)

В кольце получили задачу Дирихле :

граничные условия:
1.
2.

(рис.3) такие, что они являются симметричными и для оси и для окружности одновременно.

отображает область на круговое кольцо:

. Пусть .

Тогда


То есть, и, значит, образом оси является окружность .

будет окружность с центром в точке .
Таким образом область отображается на круговое кольцо.
Найдем . Образом точки будет точка, лежащая на окружности . Следовательно:

и , получим:




где

имеет вид:

гармонических функциях, переходя конформно к более простому и известному виду.
2. Этим методом можно решать задачи в картографии, электростатике, механике сплошных сред ( гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др. )