Определенный интеграл презентация

трапеций, средних прямоугольников и метод Симсона)

определенного интеграла от этой функции по отрезку [a,b] состоит из трех этапов.
1. Разбиение отрезка [a,b] на части.
Разобьем отрезок [a, b] на части точками так что





длина i-го «кусочка»

максимальная из этих длин.

произвольным образом некоторую точку так что ( «средняя точка»), и

составим величину, которая называется интегральной суммой










Геометрический смысл
интегральной суммы

и он не зависит

а) от способа разбиения отрезка на части
б) от способа выбора средней точки,



то говорят, что есть определенный интеграл


от функции f(x) по отрезку [a, b].

Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке
[a, b], a и b - нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

необходимо быстро получить достаточно точное значение определенного интеграла, что не всегда удобно сделать по формуле Ньютона-Лейбница.
ЭВМ также быстро находит значение интегралов, для которых первообразная непрерывной функции f(x) не выражается через элементарные функции. В этом случае использование формулы Ньютона-Лейбница весьма затруднительно.

Типа

численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=f(x), x=a, x=b и y=0

Криволинейная трапеция.

То есть, вычислив площадь криволинейной трапеции, мы получим значение определенного интеграла.
На этом основаны методы вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ.

Монте-Карло
и другие…

сетка
f(xn)=f(n) – сеточная функция

Криволинейная трапеция делиться на n трапеций с основанием h. Интеграл высчитывается как сумма интегралов In при достаточно малом h (то есть при фактически h 0)

h

In=

0

I= In

n

f(a)

f(b)

Основной принцип:

малая величина (точность).

Соответственно площадь всей криволинейной трапеции можно рассчитать по формуле:

малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине.

Соответственно площадь всей криволинейной трапеции:

Этот метод принципиально аналогичен методу трапеций

2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2], заменим площадью криволинейной (пораболической) трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, ll оси Оу.
Уравнение параболы с осью, ll Оу, имеет вид
y = Ax*х + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются по трем точкам.

Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Формула Симпсона:




, где уi=f(xi)

различных n

на [0;1] n=1000

Из этих трех методов более точные результаты дает метод Симпсона.
Однако, изменяя n мы можем получить достаточно точный результат с помощью любого метода.

9 на [0;3];
(По формуле Ньютона-Лейбница).

Результаты, полученные на ЭВМ с использованием метода трапеций:

необходимо нахождение значения определенного интеграла. Способы решения подобных задач подсказал сам метод введения понятия ОИ.
Очевидно, что вычисление определенных интегралов методами трапеций, средних прямоугольников и методом Симпсона не дает нам точного значения, а только приближенное.
Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.
Использование для вычисления одновременно нескольких методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении этих методов.
Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по всем методам стремятся друг к другу и все - к точному результату.

государственный университет, 2002 г.
«Основы математического анализа », Ильин В.А., Позняк Э.Г., Физический факультет МГУ, изд. Физматлит, 2002 г.
Вольвачев А.Н., Крисевич В.С., «Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС». Минск.: 1989 г.
Зуев Е.А. «Язык программирования Turbo Pascal». М.1992 г.
Белорусский Аграрный Технический Университет, Кафедра вычислительной техники, Курсовая работа: “Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников” студента 2-го курса, Полушкина О.А., Минск, 1997 г.
Магнитогорский Государственный Технический Университет, Курсовая работа: «Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Парабол (Формула Симпсона)» студента группы ФГК-98, Григоренко М.В., Магнитогорск, 1999 г.