Презентация на тему Многогранники

Презентация на тему Многогранники, предмет презентации: Разное. Этот материал содержит 38 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Многогранники

Презентацию темы «Многогранники» подготовили:
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой алгебры,
геометрии, ТиМОМ Л.Т. Крежевских; преподаватель
кафедры алгебры, геометрии, ТиМОМ М.В. Волкова

Глазов 2008



Слайд 2
Текст слайда:

Содержание

1. Выпуклые и невыпуклые многогранники……..3
2. Правильные многогранники………………………..6
2.1. Топологически правильные
многогранники………………………………………6
2.2. Платоновы тела…………………………………….8
3. Полуправильные многогранники…..……………14
4. Звездчатые многогранники……………..…………26
5. Список рекомендуемой литературы……….…..35

2

№ слайда




Слайд 3
Текст слайда:

1. Выпуклые и невыпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. В противном случае многогранник называется невы-пуклым.
На рис.1 приведен пример выпуклого многогранника, на рис.2 – невыпуклого.

3

Рис. 2

Рис. 1




Слайд 4
Текст слайда:

Свойства выпуклых многогранников

1̊. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
2̊. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником
3̊. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

4

Рис. 3




Слайд 5
Текст слайда:

Великим математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707 - 1783) (рис.4) была доказана удивительная теорема.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника
В + Г − Р = 2,
где В – число вершин,
Г – число граней,
Р – число ребер этого
многогранника.
Например, для n-угольной пирамиды
(рис.5)
В= n+1, Г= n+1, Р= 2n, следовательно,
В + Г - Р = n+1+ n+1- 2n=2.

5

Рис. 5


Рис. 4




Слайд 6
Текст слайда:

2. Правильные многогранники 2.1. Топологически правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а все многогранные углы – одно и то же число граней.
Например, топологически правильными многогран-никами являются треугольная пирамида (рис.6), четырехугольная призма (рис.7), параллелепипед (рис.8) и т.д.

6

Рис. 8

Рис. 7

Рис. 6




Слайд 7
Текст слайда:

Любой топологически правильный многогранник принадлежит к одному из следующих пяти типов:

- тетраэдр (четырехгранник);
- гексаэдр (шестигранник);
- октаэдр (восьмигранник);
- додекаэдр (двенадцатигранник);
- икосаэдр (двадцатигранник).
Например, на рис.9 изображен тетраэдр, на рис.10 -
гексаэдр, а на рис.11 – додекаэдр.

7

Рис. 11

Рис. 10

Рис. 9




Слайд 8
Текст слайда:

2.2. Платоновы тела

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, а многогранные углы при его вершинах имеют одно и то же число граней.
Правильный многогранник есть частный случай топологически правильного многогранника.
Существует пять и только пять типов правильных многогранников:
- правильный тетраэдр;
- правильный октаэдр;
- правильный икосаэдр;
- правильный гексаэдр или куб;
- правильный додекаэдр.

8

Еще Платон (около 429 - 348 гг. до н.э.) (рис.12) знал все пять правильных много-гранников и придавал им большое значение. Поэтому они называются также платоновыми телами. Платоновы тела изображены на рис.13.

Рис. 12




Слайд 9
Текст слайда:

9

Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр

Куб

Рис. 13




Слайд 10
Текст слайда:

Важнейшие данные о правильных многогранниках приведены в таблице 1:

10




Слайд 11
Текст слайда:

Два многогранника называются взаимными (или двойственными), если центры граней одного являются вершинами другого. Взаимными многогранниками являются октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр, тетраэдр взаимен с тетраэдром.
Взаимность правильных многогранников хорошо видна в таблице 1: число вершин одного тела равна числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребер; в вершине одного тела сходится столько граней, сколько вершин имеется у грани другого тела.

11




Слайд 12
Текст слайда:

Правильные многогранники существовали на Земле задолго до появления на ней человека – кубы поваренной соли, тетра-эдры сурьмянистого серно-кислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры радиолярий (микроскопических морских организмов), скелет одно-клеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 14).

Рис. 14

12




Слайд 13
Текст слайда:

Структура правильных многогранников (рис.15) очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т.д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрий) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранников, начавшуюся «кубиком Рубика» и «молдавской пирамидкой».

13

Рис. 15




Слайд 14
Текст слайда:

3. Полуправильные многогранники

Полуправильными многогранниками называются многогранники, у которых грани – правильные многоугольники разных типов и все многогранные углы равны (более точное их название – равноугольно полуправильные много-гранники).
Простейшими примерами таких многогранников являются правильные n – угольные призмы, боковыми гранями которых являются квадраты (рис. 16), и скошенные призмы (или анти-призмы) , у которых основания – правильные n – угольники, а боковые грани – 2n равносторонних треугольников (рис. 17).

14

Рис. 17

Рис. 16




Слайд 15
Текст слайда:

Архимед (287 – 212 гг. до н.э.) (рис. 18) показал, что кроме двух серий – призм и скошенных призм – существует 13 типов полупра-вильных многогранников. Позже они были названы архимедовыми телами.
Полная теория полуправильных многогранников была восстанов-лена немецким ученым И. Кеплером (1571 – 1630 гг.) (рис. 19). Он первым опубликовал список тринадцати архимедовых тел и дал им названия, под которыми они известны поныне.

15

Рис. 18

Рис. 19




Слайд 16
Текст слайда:

Полуправильные многогранники
(архимедовы тела) (рис. 20) можно получить из правильных многогранников (платоновых тел) либо «отсечением углов», либо «отсечением ребер».

16

Рис. 20




Слайд 17
Текст слайда:

1. Если срезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетра-эдр. Он имеет 8 граней: 4- правильные шестиугольники и 4- правильные треуголь-ники (рис. 21, рис. 22)

17

Рис. 21

Рис. 22




Слайд 18
Текст слайда:

2. Кубооктаэдр получается отсечением вершин куба (октаэдра) плоскостями, про-ходящими через середины ребер, выходящих из каждой вершины куба (октаэдра). В качестве граней кубооктаэдра имеет 8 правильных тре-угольников и 6 квадратов (рис. 23, рис. 24).

18

Рис. 23

Рис. 24




Слайд 19
Текст слайда:

3. Усеченный октаэдр по-лучается из октаэдра отсечением его вершин вместе с 1/3 частью ребер, выходящих из этих вершин. Его гранями являются 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников (рис. 25).
4. Усеченный куб полу-чается отсечением вершин куба плоскостями так, чтобы гранями полученного многогранника оказались правильные восьмиуголь-ники (6) и правильные треугольники (8) (рис. 26).

19

Рис. 25

Рис. 26




Слайд 20
Текст слайда:

5. Гранями ромбокубоок-таэдра являются 8 правильных треугольников и 18 квадратов (рис. 27).


6. Усеченный кубооктаэдр – 12 квадратов, 8 правильных шестиугольников и 6 правиль-ных восьмиугольников (рис. 28).

20

Рис. 27

Рис. 28




Слайд 21
Текст слайда:

7. Икосододекаэдр – 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиуголь-ников (рис. 29).

8. Усеченный додекаэдр – 20 правильных треуголь-ников и 12 правильных десятиугольников (рис. 30).

21

Рис. 29

Рис. 30




Слайд 22
Текст слайда:

9. Усеченный икосаэдр – 12 правильных пятиуголь-ников и 20 правильных шестиугольников (рис. 31).

10. Плосконосый (курно-сый) куб – 32 правильных треугольника и 6 квадратов (рис. 32).

22

Рис. 32

Рис. 31




Слайд 23
Текст слайда:

13. Плосконосый (курносый) додекаэдр – 80 правильных треугольников и 12 правиль-ных пятиугольников (рис. 35).

23

12. Усеченный икосаэдр – 30 квадратов, 20 правильных шести-угольников и 12 правильных десятиугольников (рис. 34).

11. Ромбоикосододекаэдр – 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников (рис. 33).

Рис. 34

Рис. 33

Рис. 35




Слайд 24
Текст слайда:

Важнейшие данные о полуправильных многогранниках приведены в таблице 2:

24




Слайд 25
Текст слайда:

2 тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего 13, и лишь в 1957 г. обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из 5 квадратов и 4 правильных треугольников, можно повернуть на 45°. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник. Открыл его советский математик В.Г. Ашкинузе (рис. 36).

25

Ромбокубо-
октаэдр

Многогранник
Ашкинузе

Рис. 36




Слайд 26
Текст слайда:

4. Звездчатые многогранники

Первый звездчатый много-гранник был открыт итальянским художником Леонардо да Винчи и спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером. Это многогранник, который встре-чается в природе в виде двойного кристалла и состоит из тетраэдров, вершины кото-рых образуют куб (рис. 37).
И. Кеплер назвал его «Stella octangula» (звездчатый окта-эдр).

26

Рис. 37




Слайд 27
Текст слайда:

Звездчатый октаэдр Кеплера обладает следующими свойствами:

а) его вершины являются вершинами куба;
б) он представляет собой объединение двух правиль-ных тетраэдров;
в) пересечение этих тет-раэдров является правиль-ным октаэдром (рис. 38).

27

Рис. 38




Слайд 28
Текст слайда:

Кроме этого И. Кеплер открыл в XVII в. два правильных звездчатых многогранника – малый звездчатый додекаэдр, названный им «колючим» или «ежом» (рис. 39), и большой звездчатый додекаэдр (рис. 40).

28

Рис. 40

Рис. 39




Слайд 29
Текст слайда:

Другие два звездчатых многогранника – большой додекаэдр (рис. 41) и большой икосаэдр (рис. 42), двойственные соот-ветственно первым двум, были открыты спустя почти двести лет, в 1810 году, французским математиком Л. Пуансо.

29

Рис. 41

Рис. 42




Слайд 30
Текст слайда:

Поэтому четыре правильных звездчатых многогранника называют телами Кеплера – Пуансо (рис. 43).

30

Рис. 43

Большой
звездчатый
додекаэдр

Малый
звездчатый
додекаэдр

Большой
додекаэдр

Большой
икосаэдр




Слайд 31
Текст слайда:

Огюстен Коши в 1812 г. доказал, что возможные правильные многогранники исчерпываются пятью «платоновыми телами» и четырьмя многогранниками Кеплера – Пуансо, к которым можно добавить звездчатый октаэдр Кеплера (рис. 44).

31

Рис. 44




Слайд 32
Текст слайда:

Четыре многогранника Кеплера – Пуансо и звездчатый октаэдр Кеплера можно получить из правильных многогранников продолжением их ребер или несмежных граней до самопересечения.
Если продолжить ребра правильного додекаэдра, то получим малый звездчатый додекаэдр, если грани – то можно получить большой звездчатый додекаэдр (если в качестве граней рассматривать правильные выпуклые пятиугольники) и большой додекаэдр (если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники). Продолжая грани правильного икосаэдра, можно получить большой икосаэдр.
Звездчатый октаэдр Кеплера можно получить, продолжая грани правильного октаэдра, имеющие общую вершину, но не имеющие общего ребра.

32




Слайд 33
Текст слайда:

Существуют также и звездчатые полуправильные многогранники. В настоящее время известен 51 такой многогранник, но не доказано, что ими исчерпываются все такие многогранники.
Множество звездчатых полуправильных многогранников получил советский иссле-дователь В.Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов, созданных В.А. Сомовым и А.М. Бреславцем.
На рис. 45 даны изображения нескольких звездчатых полуправильных многогранников.

33




Слайд 34
Текст слайда:

34

Рис. 45





Слайд 35
Текст слайда:

5. Список рекомендуемой литературы

1. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1966.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, 1987.
3. Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант. – 1973. - №5. – С. 26-27.
4. Веннинджер М. Модели многогранников. - М.: Мир, 1974.
5. Левитин К. Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984.
6. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.: Гостехиздат, 1956.
7. Орехов П.С. Изображения в стереометрии. – Ижевск: Удмуртия, 1981.
8. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.




35


Слайд 36
Текст слайда:



36

9. Рубцов А. Еще один полуправильный многогранник? // Математика. – 2007. - №16. – С. 22.
10. Савин А. Правильные многогранники // Квант. – 1988. – №11, 12.
11. Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант. – 1979. – №1. – С. 2.
12. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на профильном уровне. Лекция 6. Многогранники // Математика. – 2006. – №22. – С. 38 - 46.
13. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Что такое «полуправильный многогранник» // Математика. – 2007. – №16. – С. 23 - 26.
14. Смирнова И.М. Геометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.
15. Веннинджер М. Модели многогранников / http:// wenninger. narod.ru.


Слайд 37
Текст слайда:

16. Модели многогранников / http://polygran.boom.ru.
17. Звездчатые многогранники / http://гu.wikipedia.org/ wiki/Звездчатыe многогранники.
18. Гармония и астрология в трудах Кеплера / http:// filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000050.
19. Иоганн Кеплер / http://www.pro3001.narod.ru/ Logos/Kepler.htm.
20. Звездчатые многогранники / http://penza.fio.ru/ personal/58/3/3/zvezd.htm.
21. Виды многогранников / http://www.sibupk.nsk.su/ New/04/chairs/cequip/www/wolchin/umm/ng/book/001/027. htm.
22. http://math.ru.
23. Интересные факты / http://www.nbsh-1.front.ru/geo/ 05.htm.
24. Многогранники / http://klein.zen.ru/old/NaukaPopl Mnoggr.htm.
25. Правильные многогранники / http://www.scribd.com /doc/2613164.



37


Слайд 38
Текст слайда:

Авторы презентации выражают благодарность выпускникам математического факультета 2008 года Блиновой Марии и Максимову Евгению, а также студенту 142 группы Шабардину Павлу за помощь в поиске материалов, в том числе и в сети Интернет.

38



Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика