Многогранники презентация

геометрии, ТиМОМ Л.Т. Крежевских; преподаватель
кафедры алгебры, геометрии, ТиМОМ М.В. Волкова

Глазов 2008

многогранники………………………………………6
2.2. Платоновы тела…………………………………….8
3. Полуправильные многогранники…..……………14
4. Звездчатые многогранники……………..…………26
5. Список рекомендуемой литературы……….…..35

2

№ слайда

выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. В противном случае многогранник называется невы-пуклым.
На рис.1 приведен пример выпуклого многогранника, на рис.2 – невыпуклого.

3

Рис. 2

Рис. 1

когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
2̊. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником
3̊. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

4

Рис. 3

была доказана удивительная теорема.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника
В + Г − Р = 2,
где В – число вершин,
Г – число граней,
Р – число ребер этого
многогранника.
Например, для n-угольной пирамиды
(рис.5)
В= n+1, Г= n+1, Р= 2n, следовательно,
В + Г - Р = n+1+ n+1- 2n=2.

5

Рис. 5

Рис. 4

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если все его грани имеют одно и то же число вершин, а все многогранные углы – одно и то же число граней.
Например, топологически правильными многогран-никами являются треугольная пирамида (рис.6), четырехугольная призма (рис.7), параллелепипед (рис.8) и т.д.

6

Рис. 8

Рис. 7

Рис. 6

из следующих пяти типов:

- тетраэдр (четырехгранник);
- гексаэдр (шестигранник);
- октаэдр (восьмигранник);
- додекаэдр (двенадцатигранник);
- икосаэдр (двадцатигранник).
Например, на рис.9 изображен тетраэдр, на рис.10 -
гексаэдр, а на рис.11 – додекаэдр.

7

Рис. 11

Рис. 10

Рис. 9

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, а многогранные углы при его вершинах имеют одно и то же число граней.
Правильный многогранник есть частный случай топологически правильного многогранника.
Существует пять и только пять типов правильных многогранников:
- правильный тетраэдр;
- правильный октаэдр;
- правильный икосаэдр;
- правильный гексаэдр или куб;
- правильный додекаэдр.

8

Еще Платон (около 429 - 348 гг. до н.э.) (рис.12) знал все пять правильных много-гранников и придавал им большое значение. Поэтому они называются также платоновыми телами. Платоновы тела изображены на рис.13.

Рис. 12

центры граней одного являются вершинами другого. Взаимными многогранниками являются октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр, тетраэдр взаимен с тетраэдром.
Взаимность правильных многогранников хорошо видна в таблице 1: число вершин одного тела равна числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребер; в вершине одного тела сходится столько граней, сколько вершин имеется у грани другого тела.

11

на Земле задолго до появления на ней человека – кубы поваренной соли, тетра-эдры сурьмянистого серно-кислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры радиолярий (микроскопических морских организмов), скелет одно-клеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 14).

Рис. 14

12

изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т.д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрий) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранников, начавшуюся «кубиком Рубика» и «молдавской пирамидкой».

13

Рис. 15

многогранники, у которых грани – правильные многоугольники разных типов и все многогранные углы равны (более точное их название – равноугольно полуправильные много-гранники).
Простейшими примерами таких многогранников являются правильные n – угольные призмы, боковыми гранями которых являются квадраты (рис. 16), и скошенные призмы (или анти-призмы) , у которых основания – правильные n – угольники, а боковые грани – 2n равносторонних треугольников (рис. 17).

14

Рис. 17

Рис. 16

(рис. 18) показал, что кроме двух серий – призм и скошенных призм – существует 13 типов полупра-вильных многогранников. Позже они были названы архимедовыми телами.
Полная теория полуправильных многогранников была восстанов-лена немецким ученым И. Кеплером (1571 – 1630 гг.) (рис. 19). Он первым опубликовал список тринадцати архимедовых тел и дал им названия, под которыми они известны поныне.

15

Рис. 18

Рис. 19

получить из правильных многогранников (платоновых тел) либо «отсечением углов», либо «отсечением ребер».

16

Рис. 20

правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетра-эдр. Он имеет 8 граней: 4- правильные шестиугольники и 4- правильные треуголь-ники (рис. 21, рис. 22)

17

Рис. 21

Рис. 22

плоскостями, про-ходящими через середины ребер, выходящих из каждой вершины куба (октаэдра). В качестве граней кубооктаэдра имеет 8 правильных тре-угольников и 6 квадратов (рис. 23, рис. 24).

18

Рис. 23

Рис. 24

его вершин вместе с 1/3 частью ребер, выходящих из этих вершин. Его гранями являются 6 квадратов и 8 правильных шестиугольников (рис. 25).
4. Усеченный куб полу-чается отсечением вершин куба плоскостями так, чтобы гранями полученного многогранника оказались правильные восьмиуголь-ники (6) и правильные треугольники (8) (рис. 26).

19

Рис. 25

Рис. 26

треугольников и 18 квадратов (рис. 27).


6. Усеченный кубооктаэдр – 12 квадратов, 8 правильных шестиугольников и 6 правиль-ных восьмиугольников (рис. 28).

20

Рис. 27

Рис. 28

12 правильных пятиуголь-ников (рис. 29).

8. Усеченный додекаэдр – 20 правильных треуголь-ников и 12 правильных десятиугольников (рис. 30).

21

Рис. 29

Рис. 30

20 правильных шестиугольников (рис. 31).

10. Плосконосый (курно-сый) куб – 32 правильных треугольника и 6 квадратов (рис. 32).

22

Рис. 32

Рис. 31

треугольников и 12 правиль-ных пятиугольников (рис. 35).

23

12. Усеченный икосаэдр – 30 квадратов, 20 правильных шести-угольников и 12 правильных десятиугольников (рис. 34).

11. Ромбоикосододекаэдр – 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников (рис. 33).

Рис. 34

Рис. 33

Рис. 35

тел всего 13, и лишь в 1957 г. обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из 5 квадратов и 4 правильных треугольников, можно повернуть на 45°. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник. Открыл его советский математик В.Г. Ашкинузе (рис. 36).

25

Ромбокубо-
октаэдр

Многогранник
Ашкинузе

Рис. 36

был открыт итальянским художником Леонардо да Винчи и спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером. Это многогранник, который встре-чается в природе в виде двойного кристалла и состоит из тетраэдров, вершины кото-рых образуют куб (рис. 37).
И. Кеплер назвал его «Stella octangula» (звездчатый окта-эдр).

26

Рис. 37

а) его вершины являются вершинами куба;
б) он представляет собой объединение двух правиль-ных тетраэдров;
в) пересечение этих тет-раэдров является правиль-ным октаэдром (рис. 38).

27

Рис. 38

XVII в. два правильных звездчатых многогранника – малый звездчатый додекаэдр, названный им «колючим» или «ежом» (рис. 39), и большой звездчатый додекаэдр (рис. 40).

28

Рис. 40

Рис. 39

Другие два звездчатых многогранника – большой додекаэдр (рис. 41) и большой икосаэдр (рис. 42), двойственные соот-ветственно первым двум, были открыты спустя почти двести лет, в 1810 году, французским математиком Л. Пуансо.

29

Рис. 41

Рис. 42

Кеплера – Пуансо (рис. 43).

30

Рис. 43

Большой
звездчатый
додекаэдр

Малый
звездчатый
додекаэдр

Большой
додекаэдр

Большой
икосаэдр

что возможные правильные многогранники исчерпываются пятью «платоновыми телами» и четырьмя многогранниками Кеплера – Пуансо, к которым можно добавить звездчатый октаэдр Кеплера (рис. 44).

31

Рис. 44

октаэдр Кеплера можно получить из правильных многогранников продолжением их ребер или несмежных граней до самопересечения.
Если продолжить ребра правильного додекаэдра, то получим малый звездчатый додекаэдр, если грани – то можно получить большой звездчатый додекаэдр (если в качестве граней рассматривать правильные выпуклые пятиугольники) и большой додекаэдр (если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники). Продолжая грани правильного икосаэдра, можно получить большой икосаэдр.
Звездчатый октаэдр Кеплера можно получить, продолжая грани правильного октаэдра, имеющие общую вершину, но не имеющие общего ребра.

32

настоящее время известен 51 такой многогранник, но не доказано, что ими исчерпываются все такие многогранники.
Множество звездчатых полуправильных многогранников получил советский иссле-дователь В.Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов, созданных В.А. Сомовым и А.М. Бреславцем.
На рис. 45 даны изображения нескольких звездчатых полуправильных многогранников.

33

Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1966.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, 1987.
3. Березин В.Н. Правильные многогранники // Квант. – 1973. - №5. – С. 26-27.
4. Веннинджер М. Модели многогранников. - М.: Мир, 1974.
5. Левитин К. Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984.
6. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.: Гостехиздат, 1956.
7. Орехов П.С. Изображения в стереометрии. – Ижевск: Удмуртия, 1981.
8. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

35

// Математика. – 2007. - №16. – С. 22.
10. Савин А. Правильные многогранники // Квант. – 1988. – №11, 12.
11. Савченко В. Полуправильные многогранники // Квант. – 1979. – №1. – С. 2.
12. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на профильном уровне. Лекция 6. Многогранники // Математика. – 2006. – №22. – С. 38 - 46.
13. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Что такое «полуправильный многогранник» // Математика. – 2007. – №16. – С. 23 - 26.
14. Смирнова И.М. Геометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ: учебно-методическое пособие / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.
15. Веннинджер М. Модели многогранников / http:// wenninger. narod.ru.

17. Звездчатые многогранники / http://гu.wikipedia.org/ wiki/Звездчатыe многогранники.
18. Гармония и астрология в трудах Кеплера / http:// filosof.historic.ru/books/item/f00/s00/z0000050.
19. Иоганн Кеплер / http://www.pro3001.narod.ru/ Logos/Kepler.htm.
20. Звездчатые многогранники / http://penza.fio.ru/ personal/58/3/3/zvezd.htm.
21. Виды многогранников / http://www.sibupk.nsk.su/ New/04/chairs/cequip/www/wolchin/umm/ng/book/001/027. htm.
22. http://math.ru.
23. Интересные факты / http://www.nbsh-1.front.ru/geo/ 05.htm.
24. Многогранники / http://klein.zen.ru/old/NaukaPopl Mnoggr.htm.
25. Правильные многогранники / http://www.scribd.com /doc/2613164.

37

Марии и Максимову Евгению, а также студенту 142 группы Шабардину Павлу за помощь в поиске материалов, в том числе и в сети Интернет.

38