Метод областей презентация

Лисицына Аня и Самсонова Лена

переменной при решении неравенств с двумя переменными.

плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
(р-х2)(р+х-2)<0 (1)

(р-х2)(р+х-2)=0 ‹=›
‹=› р-х2=0 или р+х-2=0 ‹=›
‹=› р=х2 или р=2-х.
Первое равенство в плоскости (х;р) задает параболу, а второе – прямую. Как парабола, так и прямая разбивает плоскость (х;р) на две области. Для всех точек каждой области соответствующий множитель левой части неравенства (1) имеет фиксированный знак, который необходимо впоследствии определить.

плоскость на области в количестве от трех до пяти:
три области, если прямая не пересекает параболу;
четыре области, если прямая касается параболы, либо параллельна оси параболы;
пять областей, если прямая пересекает параболу в двух точках.

параболы и прямой или доказать, что они не существуют.
То есть нам нужно решить данную систему уравнений р-х2=0
р+х-2=0
Очевидно, что данная система имеет два решения, то есть определяет две точки, в которых прямая пересекает параболу, и таким образом задает пять различных областей.

определения знака множителя ( или всего произведения):
- способ прямого определения путем вычисления значения множителя для координат выбранной точки из данной плоскости.
- аналитический способ.

в которых множитель р-х2=0, и разбивает плоскость на две части- внутреннюю и внешнюю. Для внутренней части точки (0;1) множитель р-х2=1>0, а для внешней части точки (1;0) множитель р-х2=-1<0. Следовательно для всех точек внутренней части р-х2>0, а для всех точек внешней части р-х2<0, что отмечаем знаками «+» и «-» на соответствующих сторонах ветвей параболы. Совершенно аналогично устанавливается знак множителя р+х-2 в двух полуплоскостях относительно прямой, что также отмечается знаками «+» и «-» около прямой.

р
(- +) (- +) (+ -)

М1(-2;4) 4

М2(1;1)
-2 0 1 (- +) х

в областях, задаваемым одним множителем.
Точки в которых первый множитель р-х2=0 есть парабола, разделяющая плоскость координат х и р на две части. Из точки на границе р-х2=0 можно двигаться в любую их областей и следить, как величина р-х2 изменяется. В любую точку каждой из двух областей можно прийти либо по вертикали, либо по горизонтали, начиная движение из соответствующей точки границы (параболы).Указанные направления «движения» выбраны с тем, чтобы не изменять значение одной из переменных х или р.

функция является линейной, а относительно х – квадратичной. Поэтому легче, зафиксировав переменную х, отслеживать изменения величины р-х2 в зависимости от р. Это значит, что мы будем двигаться вдоль вертикальных прямых х=х0.
Если из точки параболы р-х2=0 мы смещаемся вверх по вертикальной прямой во внутреннюю область, то ордината р будет увеличиваться, т.е. уменьшаемое в разности р-х2 будет возрастать. Следовательно, от значения, равного нулю, множитель р-х2 будет переходить к положительным значениям. И как мы уже говорили, двигаясь по вертикальной прямой, параметр р возрастает для всех точек внутренней области р-х2 > 0 и параметр р убывает для всех точек внешней области р-х2 < 0.
Для множителя р+х-2 проводятся аналогичные рассуждения.

а
а >-х
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 х
х+а=0 а=-х
а<-х

а
х<1 х>1
1

-3 -2 -1 1 2 3 х
х-1=0 х=1

+- а
х=1 ++
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 х

-- а=-х
-+

2

3

4

1

+- а
х=1 ++
1
-4 -3 -2 -1 1 2 х 3 4 х
-а (х;а)
-- а=-х
-+

2

3

4

1

+- а
х=1 ++
1 -а
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 х
а (1;а) (-а;а)
-- а=-х
-+
При а <-1, х є(- ;1)U(-а;+ ).

2

3

4

1

+- а
х=1 ++
1 -а
-4 -3 -2 -1 -1 а 1 2 3 4 х
(-1;1)
-- а=-х
-+
При а =-1, хє(- ;1)U(1;+ ).

2

3

4

1

+- а х=1
(-а;а) а (1;а) ++
1
-4 -3 -2-а -1 1 2 3 4 х

-- а=-х
-+
При а >-1,хє(- ;-а)U(1;+ ).

2

3

4

1

при а=-1, х є(- ;1)U(1;+ ),
при а >-1, х є(- ;-а)U(1;+ ).