Масловский Филипп презентация

ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ.
ЗАДАЧИ:

1. Изучить историю возникновения комбинаторики как науки.
2. Определить основные правила и формулы комбинаторики.
3. Рассмотреть свойства расположения биномиальных коэффициентов разложения в треугольнике Паскаля.

случайных явлений. «Поймать случай за хвост» – одно из самых занимательных занятий. Работая над данным исследованием, я прошел путь развития новой для меня науки комбинаторики и нашел применение её законов в формулах алгебры.

символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо..

Элементы комбинаторики так же были известны в Индии еще во II в. до н. э. Идийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания".

"Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве». Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей.

Д. Кардано 

Н. Тарталья

в которой впервые была  строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел.
В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности.

Я. Бернулли

Лейбниц(1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений.
В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k -сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний:

Вильгельм Лейбниц

комбинаторики.
Правило 1. Правило суммы.
Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1-го сорта, 120 – 2-го, а остальные – 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена 150 способами, 2-го сорта может быть извлечена 120 способами. По правилу суммы существует +=150+120=270 способов извлечения. Одной детали 1-го или 2-го сорта.

его заместителя и физорга. Сколько существует способов это сделать?
Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместитель – любой из оставшихся 29, а физоргом – любой из оставшихся 28 учащихся, т.е. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и физорга равно способов.
n1n2…nk=30.29.28=24360 способов.

составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m.
Пример. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. является размещением из 11 элементов по 5 . Число вариантов расписаний, т.е. число размещений из 11 по 5, находим по формуле…

элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m.Число сочетаний из элементов по равно.



Пример. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. Их число находим по формуле:

расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов по m. Число перестановок из n элементов по m равно
Пример. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно?
Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число по формуле:

из которых равен a+b. Ясно, что при раскрытии скобок в этом произведении слагаемых an и bn появляются ровно по одному разу, следовательно, в итоговое выражение оба они входят с коэффициентом 1. Это значит, что C0n= Cnn=1 при любом n.

известно она была задолго до 1665 г., когда в печати появилось сочинение Блеза Паскаля«Об арифметическом треугольнике».

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Блез Паскаль

n считать придется очень много. Нельзя ли как – то ускорить вычисления?
Оказывается можно:

Cnk= =

Эту формулу и вывел

Исаак Ньютон

можно посмотреть разложение 10 степени двучлена a+b.


(a+b)10=a10+10a9b+45a8b2+120a7b3+210a6b4+252a5b5+210a4b6+120a3b7+45a2b8+10ab9+b10.

начиная с самого левого и до числа, стоящего непосредственно над А.(1+2+3+4+5=15)

(Треугольник Паскаля.)

с самого верхнего и до числа, стоящего непосредственно левее А. (1+2+3+4=10)

чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальным и горизонтальным рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в прямоугольник не включаются). (1+1+1+1+2+3=10-1=9)

(Сумма чисел в отмеченных клеточках равна А-1)

и рукотворных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями: номера выигравших билетов в лотереях, результаты спортивных состязаний, состояние погоды, количество солнечных дней в течение года и так далее.