Комплексные числа презентация

СОШ №3 г. Соль-Илецк.
2008г.

комплексными числами;
Решение уравнений с комплексным переменным;
Понятие о комплексных числах;
Сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приведет к расширению понятия числа;

которые можно осуществлять над комплексными числами.
Геометрическая форма комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Показательная форма комплексного числа.
Построение комплексных множеств на плоскости.

– это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём. (Г.Лейбниц.)
Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более широкое распространение. (Ф.Клейн.)
Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. (Л.Карно.)

к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545г. В своем труде «Великое искусство», или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал их «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными». Но считал их бесполезными и стремился не пользоваться ими.

Р.Декартом. А в 1777г. один из крупнейших алгебраистов ХVII века – Л.Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i=√-1 . Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803г. Л.Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К.Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII-XVIII веков полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К.Вессель и Ж.Арган.

€ R, i²=-1
a=Re z- действительная часть числа z (вещественная);
b=Im z – мнимая часть числа z.
Если а≠0,b≠0, то z – мнимое число.
Если а=0, b≠0, то z – чисто мнимое число.
Если а≠0, b=0, то z – действительное число.

произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами (z+ž=2, z·ž=a 2 +b 2);
Z=a + b·i и -z=-a - b·i – противоположные;
Сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + (-z)=0).
Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i²=-1.

a2 + b2·i : z1= z2, если a1=a2 и b1= b2.
Сумма комплексных чисел z1= a1 + b1 ·i и z2= a2 + b2·i равна: z1+ z2 =(a1 + a2)+(b1 + b2) ·i (сумма двух противоположных чисел равна 0).
Разность комплексных чисел z1= a1 + b1 ·i и z2= a2 + b2·i равна: z1- z2=(a1 -a2)+(b1 - b2) ·i.
Произведение комплексных чисел z1= a1 + b1 ·i и z2= a2 + b2·i равно: z1 · z2 =( a1 · a2 - b1 · b2) + ( a1 · b2 + b1 · a2 ) ·i.
Частное комплексных чисел z1= a1 + b1 ·i и z2= a2 + b2·i равно: z1/ z2 = a1 + b1 ·i / a2 + b2·i = (a1 + b1 ·i )(a2 - b2·i )/(a2 + b2·i )(a1 - b1 ·i ) = (a1 · b2 + b1 · a2 )+(a1 · b2 + b1 · a2 ) ·i /а2² + b22 .

на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а;b). Эта точка обозначается той же буквой Z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые – точками оси ординат.

у(мнимая ось)



Z (a;b)



х(действительная ось)

Комплексное число изображается также в виде вектора.

по правилу вычитания:

Y
z1 (x1;у1) z (x;у) = z1 (x1;у1)+ z2 (x2;у2)


z (x;у)
х


Правило сложения векторов. Y z (x;у) = z1(x1;у1)- z2
z2 (X2;Y2)
z(x;у)



X

Правило вычитания векторов.

= Re z; i·sinX = Im z;
r = √ а² + b2 , соsX = а/ √ а² + b2 , sinX = b/ √ а² + b2 ,
X = Arg z – главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, -П‹X≤П.
Для этих чисел справедливы равенства:
z1 · z2 = r1 · r2 · (соs (X1 + X2 ) + i·sinX (X1 + X2 ));
z1 / z2 = r1 / r2 · (соs (X1 - X2 ) + i·sinX (X1 - X2 )).

получаем х=-п/6
z=2(cos п/6-i sin п/6)

– формула Эйлера.
Пример:
ei·п/4 =Cosп/4+iSinп/4=√2/2+i(√2/2)

‹ Im z ‹ √5;


Так как z = х + у ·i, x € R, y € R, то
первое условие примет вид: 2 ≤ |(х-1)+ у ·i| ≤ 3; 2 ≤ √ (х-1)² + у² ≤ 3; 4 ≤ (х-1)² + у² ≤9. Это множество точек, внутри и на границе кольца между окружностями с центром (1;0) и радиусами, равными 2 и 3;
второе условие примет вид: 0 ≤ у ≤ √5 => искомое множество есть часть кольца, ограниченная отрезками прямых: у = 0 и у = √5. Решение данной системы есть следующие множество точек, изображенных на плоскости:

у

применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.
Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. Основные элементы учения о комплексных числах рассмотрены мною в данном проекте.
Комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.                              
А теперь, суммируя все сказанное, сформулируем наконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.

1993г.
И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. 10 класс. Москва « Просвещение» 1989г.
Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике.