Количественные показатели надежности технических систем. (Лекция 2) презентация

основные количественные показатель надежности

Учебные вопросы:
1. Показатели оценки свойств технических систем.
2. Основные показатели безотказности.
3. Основные показатели ремонтопригодности, долговечности и сохраняемости.
4. Комплексные показатели надежности.
5. Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности.

одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

При рассмотрении показателей надежности следует различать:
- наименование показателя (например, средняя наработка на отказ Тоn);
- численное значение (например Р(t)=0,58),
- формулировку сущности этой величины;
- размерность показателя (при ее наличии, например 1/ч).

Различают единичные и комплексные показатели надежности.

Единичный показатель надежности - это показатель, характеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта.

Комплексный показатель надежности - это показатель, характеризующий несколько частных свойств надежности объекта.

работы понимается вероятность того, что в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки отказ не возникает.

P*( t )=P{Т>t},
где t – время в течении которого определяется P(t);
T – время от включения до первого отказа.

N0 - n(t) N0 - n(t)
Р* (t)= lim -------- = ---------
N0 N0

где N0 – число образцов аппаратуры в начале испытаний;
n(t) – число отказавших образцов за время t.

N0

t

n(t)

P(t)

T1

ξ

N0

P(t)

t

0

1

Q(t)

P(t)

P(t) + Q(t) = 1,
где P(t) –вероятность безотказной работы;
Q(t) – вероятность отказа.

Q(t) = 1 – P(t) ; P(t) = 1 – Q(t).

0

к первоначальному числу элементов.
Из статистических данны частота отказов f (t) определяется:
n (t)
f * (t) = ——— ,
N0Δt
где n (t) – число отказавших изделий в рассматриваемый интервал времени Δt;
N0 – число изделий первоначально взятых на испытание.

N0

Δt

t

n (t)

График функции f (t)

f (t)

t

I

II

III

I – период приработки изделий;
II- период нормальной эксплуатации
III – период старения, износа

f (t) может быть получена путем дифференцирования Q (t) и P (t)
dQ (t) - dP (t)
f (t) = -------- = ------- ,
dt dt

в этом случае f (t) является плотностью распределения случайной величины T – времени исправной работы

времени после данного момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник.
Интенсивность отказов определяется числом отказов в единицу времени, отнесенному к среднему числу элементов, исправно работающих в данный отрезок времени:
n(t)
λ* (t) = ——— ,
N(t)Δt
где N(t) - среднее число элементов, продолжающих исправно работать на интервале Δt

N0

N(t-∆t|2)

N(t+∆t|2)

Δt

t+∆t

t-∆t

n(t)

N (t – Δt|2) + N (t – Δt|2)
N (t) = ---------------------------- ,
2
где N(t-∆t|2) – число исправно работающих объектов в начале интервала времени Δt

λ

t

I

II

III

Интенсивность отказа часто называют λ – характеристикой
Соотношение между λ(t) и P(t) называют основным законом надежности: t
-∫λ(t) dt
0
P(t) = e

ожидание наработки изделия до первого отказа.

2.4.Средняя наработка до отказа

Модель испытаний на надежность невосстанавливаемого изделия

1

2

5

i

N0

ξi

t

Статистически средняя наработка до отказ однотипных объектов определяется:
Σ ti
Т0= ------,
N0
где ti – время исправной работы i объекта.

P

t

T0

Графически T0 соответствует площади, ограниченной сверху кривой P(t)
t
T0 = ∫ P(t) dt
0

t1

восстанавливаемых объектов

Восстанавливаемые объекты – это объекты, отказы которых устраняются.

1

2

3

i

N0

tij

n(t)
Р* (t)= 1- ------
N0

t

t1

2.5.1. Параметр потока отказов
Под потоком отказов понимается последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени.

Параметром потока отказов ω(t) называется предел отношения вероятности появления хотя бы одного отказа за промежуток Δt к данному промежутку при Δt – 0

Р1(t, t + Δt)
ω* (t) = lim ------------- ,
Δt

Δt

0

время возникновения отказов удовлетворяет одновременно условию стационарности, отсутствия последствий и ординарности.



Стационарность случайного процесса времени возникновения отказа означает, что на любом промежутке времени Δt вероятность возникновения n отказов зависит только от n и величины промежутка Δt, но не изменяется от сдвига Δt по оси времени.
Отсутствие последствий означает, что вероятность возникновения фиксированного числа отказов на интервале времени (t , t+τ) не зависит от того, сколько отказов возникло до момента τ, т.е. отказы являются событиями случайными и независимыми.
Ординарность потока отказов означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного отказа.

∆t

t

n

Статистически ω* (t) определяется: Σni(t)
ω* (t) = -----------.
N0Δt

Т0n – это среднее
время между соседними отказами.
Т0n определяется отношением суммарной наработки восстанавливаемых изделий к суммарному числу отказов за какое-то время испытаний:
Σ Σ τij
Т0n = --------------,
Σ Σ rij
где j – индекс номера отказа, i – индекс номера изделия.

1

1

2

3

N0

i

1

2

j

τij

τij – время между соседними отказами;
rij – количество отказов.

Для простейшего потока отказов
λ (t) = ω (t),
Если λ (t) = 1/T0 , то Т0n =1/ω(t).

работоспособного состояния – это вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного.
Вероятность восстановления работоспособного состояния представляет собой значение функции распределения времени восстановления при tв=Tз, где Тз - заданное время восстановления, Р(tв)=Р(tв < Тз)=F(tв).
Для экспоненциального закона распределения:

или P(tв) = ,
где μ - интенсивность восстановления.
Среднее время восстановления работоспособного состояния - математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния. Определяется по формуле
Tв = = =

где: F(tв) - функция распределения времени восстановления;
f(tв) - плотность распределения времени восстановления.
Для экспоненциального закона tв = , при расчете по статистическим данным : Tв = .

- математическое ожидание ресурса.
Если предельное состояние обусловливает окончательное снятие объекта с эксплуатации, то показатели долговечности называют: полный средний ресурс (срок службы), полный назначенный ресурс.
В полный срок службы входят продолжительности всех видов ремонта объекта. Выражение для расчета среднего ресурса имеет вид:

Rср = = = ,

где: Rср - средний ресурс (средний срок службы);
F(t) - функция распределения наработки до отказа (ресурса срока службы);
f (t) - плотность распределения ресурса, срока службы.
Гамма-процентный ресурс - наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью γ, выраженной в процентах.

Назначенный ресурс - суммарная наработка объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено.
Средний срок службы - математическое ожидание срока службы.

сохраняемое - математическое ожидание срока сохраняемости.
Гамма-процентный срок сохраняемости - срок, достигаемый с заданной вероятностью γ выраженной в процентах.

окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов времени, в течение которых применение по назначению не предусмотрено

Коэффициент оперативной готовности определяется как вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течении которых применение объекта по назначению не предусматривается и, начиная с этого момента , будет работать безотказно в течении заданного интервала времени tог

Коэффициент простоя

Коэффициент технического использования – это отношение математического ожидания интервалов времени пребывания объекта в состоянии постоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом, за тот же период эксплуатации

Нормальное распределение (закон Гауса).

Плотность вероятности нормального распределения находят по выражению:

для t > 0,

где а и σ – параметры распределения Гауса, a > 0, σ > 0, < 0,25.

f(t)

t

a

Параметры закона а и σ являются его числовыми характеристиками:

M(t) = a, σ (t) = a.

2

2

Наработка до отказа невосстанавливаемых объектов приближенна распределена по нормальному закону (Гаусса).
Это характерно для объектов, подверженных старению и износу.

Рис.5.1

распределения вероятности имеет вид:
, t ≥ 0,
где λ – параметр распределения, λ > 0.

f(t)

t

При экспоненциальном распределении времени возникновения отказов λ(t) = const. Для восстанавливаемых систем при применении экспоненциального закона распределения характерен простейший поток отказов.

λ1

λ2

λ1 > λ2

Зависимости между основными количественными показателями:

Рис.5.2

распределения справедливо уравнение:

,
где а и b – параметры распределения

Параметры a и b могут очень сильно менять вид кривой. На рис.5.3 показан характер изменения f(t) при изменении b. При b = 1 распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение.

t

b1

b4

b2

f

b4 >b3>b2>b1

0

b3

Рис. 5.3

что она принимает целое положительное значение, находится по формуле:

,
где а – параметр распределения, а > 0.
Распределение Пуассона является частным случаем биноминального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность наступления события А в одном испытании достаточно мала (Р < 0,1). Этот закон называют еще законом «редких событий» из – за малости Р.
Закону Пуассона подчиняются следующие случайные величины:
число отказов элементов за время t, если наработка до отказа у каждого из однотипных элементов распределена по экспоненциальному закону;
число отказов за время t для восстанавливаемого объекта, у которого промежутки времени между соседними отказами имеют экспоненциальное распределение;
число дефектных изделий в выборке, если доля дефектных изделий q < 0,1 и др.

λ(t), получим:

λ(t) = или - λ(t)dt =

Проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до t:

После подстановки верхнего и нижнего пределов интегрирования в левую часть формулы можно записать:

lnP(t) - lnP(0) = -

P(0) = 1; ln 1 = 0.

Тогда LnР(t) = - , откуда, по определению натуральных логарифмов имеем:

P(t) =

- основной закон надежности