Канальное (помехоустойчивое) кодирование презентация

CDMA-стандарт – сверточные кодеры со скоростью Rc=1/2 (базовая станция) и Rc=1/3 (пользователь). Длина кодового ограничения K=9.

Лекции 7-8. Канальное (помехоустойчивое) кодирование

Наиболее широко используется в современных системах.
Кодер состоит из K регистров сдвига и n сумматоров.
Избыточность кода - q/k. Скорость кодирования (или скорость кода) – Rc=k/q.
Длина кодового ограничения – (K+1), где K – число регистров сдвига

Сверточное кодирование

Полиномы g1(X)=1+X+X2, g2(X)=1+X2

Представления сверточного кодера

Векторы связи для кодера на БС (CDMA-стандарт):
5618 = 101 110 0012; 7538 = 111 101 0112

Число возможных передаваемых кодовых последовательностей

Число возможных принятых кодовых последовательностей

Расстояние Хэмминга d(U,V) между последовательностями U и V равно числу элементов, в которых последовательности отличаются между собой.
U=(100101101), V=(011110100), d(U,V)=6.

k бит – длина некодированной последовательности
n бит – длина кодированной последовательностт

Мягкое и жесткое демодулирование

Максимально правдоподобный декодер выбирает на решетчатой диаграмме путь с минимальным расстоянием Хэмминга между переданной и принятой последовательностями

Пусть каждая из последовательностей U(m) и Z имеет длину L бит и отличается на dm позиций, т.е. расстояние Хэмминга между U(m) и Z равно dm.

Нужно перебрать последовательностей (CDMA-стандарт L=192) и для каждой из них вычислить расстояние Хэмминга. Нереальный объем вычислений.

Алгоритм декодирования Витерби является оптимальным, обеспечивая декодирование на основе критерия максимального правдоподобия

Алгоритм Витерби уменьшает объем вычислений за счет использования особенностей решетки кодера.
Сложность декодера Витерби не является функцией количества символов в последовательности кодовых слов.
Алгоритм включает в себя вычисление меры подобия (или расстояния), между сигналом, полученным в некоторый момент времени, и всеми путями решетки, входящими в каждое состояние в этот момент времени.

В алгоритме Витерби не рассматриваются те пути решетки, которые заведомо не могут быть оптимальными. Если в некоторое состояние входят два пути, выбирается путь с лучшей метрикой (выживающий путь). Отбор выживающих путей выполняется для каждого состояния. Таким образом, декодер углубляется в решетку, принимая решения путем исключения менее вероятных путей. Предварительный отказ от маловероятных путей упрощает процесс декодирования.

Кодер характеризуется кодовыми словами, находящимися на ветвях решетки кодера и заведомо известными как кодеру, так и декодеру. Эти слова являются кодовыми символами, которые можно ожидать на выходе кодера в результате каждого перехода между состояниями. При получении кодового символа каждая ветвь решетки декодера помечается метрикой подобия (расстоянием Хэмминга) между полученным кодовым символом и каждым словом ветви за этот временной интервал.

2. Способность кода к исправлению ошибок

Максимальное число гарантированно исправимых ошибок, приходящихся на (от 3 до 5) K число кодовых символов

Кодер (df=5 и K=3) исправляет две ошибки на ≈10 кодированных бит.

– наибольшее целое число, не превышающее x,

3. Эффективность канального кодирования

Кодер (df=5 и n=2) Gcod≤4 дБ

Δf – минимальный частотный разнос между поднесущими,

1. Ортогональные многомерные сигналы с частотным сдвигом

2. Формирование OFDM-сигнала

Передаваемый узкополосный сигнал
(n – дискретное время, NF – размерность БПФ)

3. Прием OFDM-сигнала

Принятый низкочастотный сигнал

z(n) – гауссов собственный шум приемника с нулевым средним и дисперсией

Приемник выполняет прямое БПФ

Выход эквалайзера

Если на некоторых частотах коэффициент передачи канала неограниченно уменьшается (например, если на m-й поднесущей Hm<< 1), то дисперсия шумовой составляющей на этой частоте может неограниченно увеличиваться. Это плохо.

2. Эквализация по минимуму среднеквадратической ошибки

Функционал среднеквадратической ошибки

Задача эквалайзера – восстановить спектр переданного сигнала, искаженного в частотно-селективном пространственном канале

f m – коэффициент передачи эквалайзера на m-ой частоте

Если на некоторых частотах коэффициент передачи канала неограниченно уменьшается (например, если на m-й поднесущей Hm<< 1), то дисперсия шумовой составляющей на этой частоте не может неограниченно увеличиваться. Это хорошо.

ПС (ОСШ>>1) равна ширине полосы, используемой для передачи данных

(бит/сек)

(бит)

(бит/сек)

- число сочетаний из n по j.

(бит/Гц×сек)

Эффективная ПС при QPSK модуляции

Рассмотрим передачу некодированной информации, а наличие кодера учтем, задавая максимально допустимое число v ошибочно переданных бит в блоке, которое может исправить кодер.
Блок считается переданным верно при меньшем или равном v числе ошибочных бит.

(бит/Гц×сек)

Вероятность блоковой ошибки

Вероятность правильной передачи блока

Доказательство:

Предположим, что длина преобразуемой последовательности – целая степень 2

Идея БПФ:

1. N-точечное ДПФ с четным N может быть вычислено через два N/2- точечных ДПФ.
2. Если N/2 четное, то каждое из этих N/2- точечных ДПФ может быть вычислено через два N/4- точечных ДПФ и так далее.
3. Так как N=2r, то N, N/2, N/4 …. четные числа и процесс закончится 2-точечным ДПФ.

Полный объем вычислений

3. Сравнение

Использование БПФ дает выигрыш в

4. Пример.

N=210 = 1024.
CDFT = 220 ≈ 106. CFFT =10⋅1024 ≈ 104
Использование БПФ дает выигрыш в ≈100 раз.

- спектр сигнала, передаваемого на k-ой поднесущей

- прямое БПФ на приемнике при идеальной синхронизации поднесущих на передатчике и приемнике

- прямое БПФ на приемнике при ошибке δf синхронизации поднесущих на передатчике и приемнике

Из-за ошибки синхронизации:
сигнал на k-ой поднесущей уменьшается,
появляется помеха между поднесущими (inter-subcarrier interference - ISI).

- дисперсия передаваемых символов (не зависит от номера поднесущей)

Имеем

Тогда

Дисперсия помехи между поднесущими для размерности БПФ 64, 512 и 4096 (соответствующие кривые совпадают)

Основной вклад в помеху вносят только ближние поднесущие

Эквивалентное ОСШ

При неограниченном увеличении ОСШ γk, или при неограниченном увеличении мощности передатчика эквивалентное ОСШ стремится к конечному пределу

Пример. 4-ФМ сигналы единичной мощности

Среднее значение =0, дисперсия σ2 =1

Относительная ошибка синхронизации

Максимально достижимое ОСШ≈13.5 дБ.

Относительная ошибка синхронизации

Максимально достижимое ОСШ≈32 дБ.

Свойство преобразования Фурье: сдвиг δt по времени приводит в спектре сигнала к дополнительному фазовому множителю

Фазовый сдвиг между соседними поднесущими будет составлять

Если δt=mΔt, где Δt – интервал времени между выборками, то

Поворот фазы происходит к соответствующему повороту диаграммы отображения бит в символы, что приводить к ошибкам при демодуляции передаваемых данных. Величина ошибки демодуляции зависит от типа модуляции

ϑ0 смещение фазы на несущей частоте, верхний индекс k обозначает номер OFDM символа.
Считается, что поднесущие частоты расположены симметрично относительно центральной частоты

Помеху между поднесущими можно учесть добавляя к дисперсии собственных шумов дисперсию помехи между поднесущими

Если ошибок синхронизации нет, то в результате прямого БПФ, выполняемого на приемной стороне, сигнал на m-ой поднесущей
(zm – гауссов шум с нулевым средним и дисперсией

При наличии ошибок
синхронизации

Обозначим (Δt – временное расстояние между выборками)

Фазовый поворот (например, на 90°) будет достигаться, если

Т.о. фазовый сдвиг 90° на первой поднесущей соответствует ошибке синхронизации по времени равной 32 выборкам при использовании 128 поднесущих.
На поднесущих с большими номерами фазовый сдвиг увеличивается пропорционально номеру поднесущей.
Если ограничить 90° фазовый сдвиг крайних поднесущих (m=0.5NF), то ошибка синхронизации δt не должна превышать величины 0.5Δt.

4. Символьная синхронизация «вслепую»

Будем пренебрегать собственным шумом и считать коэффициент передачи канала постоянным на рассматриваемом интервале двух OFDM-символов. Пусть также в канале нет задержанных сигналов (однолучевой канал).

Схема символьной синхронизации

Часть выборок (M) из хвостовой части каждого символа переставляется вперед для образования защитного интервала. Пусть s(n) – n-ая выборка предаваемого сигнала. Тогда n-ая выборка принятого сигнала (h0 – канальный коэффициент). OFDM-символ состоит из N+M выборок. Две последовательности выборок, обозначенных прямоугольниками, являются одинаковыми.

Сигнал на выходе схемы синхронизации

Учтем, что

(n=1,2,…,M)

Получим

1. Начало окна совпадает с началом OFDM-символа (k=0). В левую часть окна попадают 1,2,…,M выборки, а в правую часть окна – NF+1,NF +2,…,NF +M выборки.

2. Начало окна сдвинуто на k-выборок вправо. В левую часть окна попадают k+1, k+2,…, k+M выборки, а в правую часть окна – k+NF+1, k+NF+2,…, k+NF+M выборки.

Учтем, что

(n=1,2,…,M)

Получим

(k=1,2,…,M-1)

Выходной сигнал процедуры синхронизации с учетом собственных шумов

Пики функции корреляции достаточно точно указывают начало сигнала

ОСШ=10 дБ

ОСШ=30 дБ

Защитный интервал состоит из M=9 символов, размерность БПФ NF=64, ОСШ равно 10 дБ или 30 дБ, вертикальными линиями отмечено начало сигнала (интервала БПФ).

Среднеквадратическая ошибка синхронизации в зависимости от ОСШ

Средняя ошибка является пренебрежимо малой.
Среднеквадратическая ошибка уменьшается с увеличением ОСШ и длины защитного интервала. Например, при M=9 символов и ОСШ большим 7 дБ среднеквадратическая ошибка не превышает длительности одного периода дискретизации.

Максимальный сигнал на выходе схемы синхронизации

Учли, что

(n=1,2,…,M)

Обозначили

Измеряем фазу

Находим относительную ошибку частотной синхронизации

5. Частотная синхронизация «вслепую»

6. Синхронизация на основе пилотных сигналов

Имели ранее, что

Или

- эквивалентный коэффициент передачи на m-ой поднесущей

- оценка эквивалентного коэффициента передачи с учетом ошибок синхронизации

SC-FDMA - Single Carrier Frequency-Division Multiple Access.
Является модификацией схемы множественного доступа с ортогональным частотным мультиплексированием (OFDMA - Orthogonal Frequency Division Multiple Access).
Используется на линии от пользователей к базовой станции (восходящий канал) в стандартах WiMAX и LTE.

1. Схема SC-FDMA

2. Сравнение SC-FDMA с OFDM

3. Частотная область

Обозначение

(0≤q≤Q-1, 0≤m≤N-1)

Результирующие временные выборки пропорциональны исходным выборкам

Обозначение

(0≤q≤Q-1, 0≤m≤N-1)

.

Два случая.
а) q=0.

б) q≠0.

N комплексных сигналов на выходе прямого БПФ

*

Только N из M результирующих временным выборок совпадают с исходными выборками. Остальные являются линейной комбинацией исходных выборок

Комплексный узкополосный излучаемый сигнал (fc – несущая частота, r(t) – огибающая символа)

Огибающая r(t) имеет прямоугольный вид

5. Отношение мгновенной пиковой мощности к средней мощности (Peak-to-Average Power Ratio - PAPR)

PAPR зависит от способа распределения выборок по поднесущим и типа модуляции.

Значения PAPR, превышаемые с вероятностью 0.1% (N=64 и M=256)

SC-FDE (Single Carrier Frequency Domain Equalization) система.
Размерности прямого и обратного БПФ совпадают (N=M), то есть эти БПФ можно исключить из состава на передающей стороне.
Возможно обслуживание только одного пользователя.
Коррекция канала осуществляется в частотной области (аналогично OFDM и SC-FDMA системам).