Эффективные методы решения неравенств. презентация

Сизова И.Р.

Эффективные методы решения неравенств.

g(х)
- Неравенства вида ׀f(х)׀ > g(х)
- Неравенства вида ׀f(х)׀ < ׀g(х)׀
2.Показательные неравенства
3.Логарифмические неравенства
- Неравенства вида log a f(x) >0(<0)
- Неравенства вида log a f(x) > logag(x)
- Более сложные неравенства. Пример №1.Пример№2
4.Показательные неравенства с переменным основанием
5.Неравенства для логарифмов с переменным основанием

Содержание

содержащие переменную под знаком абсолютной величины ( под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т.е. были положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.

неравенство ׀f(х)׀ < g(х), тогда g (a) > 0 и ׀f(а)׀ < g(a).
Выполняется неравенство – g(a) < f (a) < g(a)
и, наоборот, пусть в некоторой точке а выполнены неравенства
– g(a) < f (a) < g(a)
тогда ,
во- первых , – g(a) < g (a) ↔ g (a) > 0,
во- вторых, ׀f(а)׀ < g(a).
Следовательно, имеет место условие равносильности.
f(х) < g(х)
׀ f(х)׀ < g(х) ↔ – g(х) < f (х) < g(х) ↔ {
f(х) > - g(х)

- если g(х)<0, неравенство выполнено, т. к. модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа;
- если g(х)≥ 0, то выполнена совокупность неравенств
f(х) > g(х)
f(х) < - g(х);
И ,наоборот, пусть в некоторой точке х= а имеет место совокупность
f(а) > g(а),
f(а) < - g(а);
Тогда,
- если g(а) < 0, то неравенство ׀f(а)׀ > g(а) выполнено,
- если g(а)≥ 0, то выполнено неравенство ׀f(а)׀ > g(а).
Следовательно, имеет равносильное соотношения
f(х) > g(х),
׀ f(х)׀ > g(х) ↔
f(х) < - g(х);

может быть любого знака, но ׀f(х)׀ + ׀ g(х)׀ всегда
неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не
изменит знака разности, т. е. :
Правило 1. Знак разности модулей ׀f(х)׀ < ׀ g(х) ׀ совпадает со знаком произведения
(f( x) – g( x))( f ( x) + g( x)).
Действительно,




Правило 2. Если g(х)≥ 0, то знак разности ׀f(x)׀- g(x)
совпадает со знаком произведения
(f ( x) – g( x))( f ( x) + g( x)).

Итак, имеем еще одно условие равносильности
׀ f(х)׀ < ׀ g(х) ׀ ↔ ( f ( x) – g( x))( f ( x) + g( x)) < 0
Условие равносильности имеют тот же вид для нестрогих неравенств .

(׀f(х)׀ + ׀g(х)׀)( ׀f(х)׀ - ׀g(х)׀)= ׀f(х)׀2 - ׀g(х)׀ 2 =
= (f 2( x) – g2( x))= ( f ( x) – g( x))( f ( x) + g( x)).

Рассмотрим неравенство f(x) g(x).
a > a
- Если а>0, то f(x) > g(x) и ( а-1) (f(x) - g(x) )>0 .
- Если 0<а<1, то f(x) < g(x) и опять ( а-1) (f(x) - g(x) )>0 .
Таким образом, мы вывели условие равносильности
f(x) g(x)
а > а ↔ ( а-1) (f(x) - g(x) )>0 .(*) f(x) g(x)
Теперь рассмотрим нестрогое неравенство а ≤ a , где а>0. Тогда
f(x) g(x)
f(x) g(x) а = a, ( а-1) (f(x) - g(x) )=0
а ≤ a ↔ f(x) g(x) ↔ ↔ . a < a ( а-1) (f(x) - g(x) )< 0

↔ ( а-1) (f(x) - g(x) )≤0.
Итак, для любого а>0 верно, что
f(x) g(x)
a ≤ a ↔ ( а-1) (f(x) - g(x) )≤0. f(x) g(x)
При рассмотрении неравенства а < a меняется знак произведения в( *) , и мы получаем
Правило 3. f(x) g(x)
Знак разности а - a совпадает со знаком произведения ( а-1) (f(x) - g(x) )

вида log a f(x) >0(<0)
Рассмотрим неравенство log a f(x) >0(<0), где а – заданное положительное число, отличное от 1
ОДЗ: f(x) >0.
-Если а>1, то log a f(x) >0(<0) тогда и только тогда, когда f(x) >1(<1), т.е.
( а-1)( f(x)-1) >0(<0).
-Если 0 0(<0) тогда и только тогда, когда f(x) <1(>1), т.е.
( а-1)( f(x)-1) <0(>0).
Следовательно, имеет место условие равносильности
log a f(x) >0(<0) ↔ ( ОДЗ) ( а-1)( f(x)-1) >0(<0). (**)
Можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
f(x)>0,
log a f(x) >0(<0) ↔ {
( а-1)( f(x)-1) >0(<0).
Условие равносильности верны ( для обоих знаков) и для нестрогого неравенства
log a f(x)≥0 ↔( ОДЗ) ( а-1)( f(x)-1)≥0
Полное ( с учетом ОДЗ) условие равносильности для нестрогого неравенства имеет вид
f(x)>0,
log a f(x)≥0(≤) ↔ {
( а-1)( f(x)-1)≤0(≥0).
Правило 4. Знак log a f(x) совпадает со знаком произведения ( а-1)( f(x)-1) в ОДЗ.

af(x) > log ag(x), где а>0, а≠1. ОДЗ определяется системой
f(x)>0,
{
g(x)>0.
Если а>1, то log a f(x) > log a g(x) тогда и только тогда, когда f(x)> g(x), т.е
( а-1)( f(x)- g(x))>0.
Если 0 log a g(x) тогда и только тогда , когда f(x) < g(x), т.е опять ( а-1)( f(x)- g(x))>0.
Можно записать полное условие равносильности , включающее ОДЗ.

f(x)>0,
log a f(x) >(<) log a g(x)↔ { g(x)>0.
( а-1)( f(x)- g(x))>0(<0).
Отсюда следует
Правило 5. Знак разности log a f(x) - log a g(x) совпадает со знаком произведения ( а-1)( f(x)- g(x)) в ОДЗ.
Условия равносильности верны( для обоих знаков) и для нестрогого неравенства
log a f(x) ≥ log a g(x) ↔( а-1)( f(x)- g(x)) ≥0

- log a g2(x))
> 0
log b g3(x)
где а>0,a≠1, b>0, b≠1.
Решение рассматриваемого неравенства определяется знаками множителей. Воспользуемся тем, что в ОДЗ знак разности log a g1(x) - log a g2(x) совпадает ( в силу правила 5) со знаком произведения (а-1)(g1(x)- g2(x), а знак log bg3(x) совпадает в ОДЗ со знаком ( b-1)( g3(x)-1) ( правило 4).
Поэтому
f (x) ( log a g1(x) - log a g2(x)) f(x) (а-1)(g1(x)- g2(x)
>0(≥0) ↔ >0(≥0)
log bg3(x) ( b-1)( g3(x)-1)

Более сложные неравенства

Замечательно то, что мы освобождаемся от всех логарифмов за один

шаг

2
lg( 3x- 3x + 7)- lg ( 6 + x – x)
≥ 0
(2x-6)(2x-3)
Решение.
ОДЗ:
2
3x- 3x + 7≥0 (1)
2 х Є R
6 + x – x ≥ 0 (2) x Є (-2;3)
{ ↔ { ↔ (-2;1,5) U ( 1,5 ;3)
2x-6 ≠ 0 (3) х ≠ 3
2x-3 ≠ 0 (4) х ≠ 1,5
2. 2 2 2 2 2
lg( 3x- 3x + 7)- lg ( 6 + x – x ) ( 10-1) (( 3x- 3x + 7)- ( 6 + x – x)) (2х-1)
≥ 0 ↔ ≥ 0 ↔ ≥ 0,
(2x-6)(2x-3) (х-3) ( х-1,5) (х-3) ( х-1,5)

(В силу правила №5)

2х-1=0 х=0,5
{ ↔ { ↔ (-∞;0,5] U [ 0,5; 1,5) U (3;+ ∞)
(х-3) ( х-1,5)>0 (-∞;1,5) U ( 3; +∞)



3. С учетом ОДЗ, получаем ответ:

(-2;1,5) U ( 1,5 ;3)
{ ↔ ( -2; 0,5) U ( 0,5; 1,5)
(-∞;0,5] U [ 0,5; 1,5) U (3;+ ∞)

Ответ: ( -2; 0,5)U ( 0,5; 1,5).

Пример №1

2 1 2 2
log x-1(-x+ 8x – 7) - — log x-1 ( x-7) ≥ 2
16
Решение
1. ОДЗ:
х-1≠1 x ≠2
х-1>0 x>1
{ → { → (1;2) U (2;7)
х ≠7
2
-x + 8x -7 >0 (1;7)
2. 1
log x-1 (х-1)(7-х) - — (log x-1 ( x-7)2)2 ≥ 2,
16
1
log x-1 (х-1) + log x-1(7-х) - — ( 2 log x-1‌│ ‌‌x-7‌‌│)2 ≥ 2,
16
1 2
1 + log x-1(7-х) - — log x-1‌ (7-х) ≥ 2,
4
1 2
log x-1(7-х) - — log x-1‌ (7-х) -1 ≥0 .
4
log x-1(7-х)= t
1
- — t + t -1≥0, t=2
4
3.
log x-1(7-х) = 2,
7-х= (x-1)2,
х 2 - 2х +1 +х -7=0,
х 2 –х – 6 =0,
х1= 3, х 2 = -2.

4.
(1;2) U (2;7)
{
x=-2 , х= 3
-2 не пренадлежти в ОДЗ.
Ответ: х= 3.

Пример №2

f(x) g(x)
Рассмотрим неравенство а(х) > a(x),

где а(х), f(x), g(x)- непрерывные функции на Х ; ОДЗ: а(х) > 0.
Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве с число е
( можно взять любое другое допустимое число)
f(x) g(x) f(x) ln a (x) g(x) ln a (x)
Неравенство а(х) > a(x) принимает вид е > e
И, используя (*), получим равносильное неравенство
(е-1)( f(x) ln a(x) – g(x) ln a (x)) = (е-1)( f(x) – g(x)) ln a (x)>0,
а, используя (**), найдем окончательное условие равносильности
f(x) g(x)
а(х) > a(x) ↔ ( а(х) – 1)( f(x) – g(x))>0.
Можно записать полное условие равносильности для строгого неравенства
f(x) g(x) а(х)>0,
а(х) > a(x) ↔ {
( а(х) – 1)( f(x) – g(x))>0.
Отсюда следует
Правило 6. f(x) g(x)
знак разности а(х)- a(x) совпадает со знаком произведения
( а(х) – 1)( f(x) – g(x)) в ОДЗ.

Преимущество этого правила состоит в том, что если а(х), f(x), g(x)
рациональные функции, то за один шаг мы перешли к классическому варианту
метода интервалов.

ОДЗ левой части определяется системой
а(х)>0,
{ а(х)≠0,
f(x)>0.
По определению
lg f(x)
log a(x)f(x)= , а(х)>0, а(х)≠0, f(x)>0.
lg a(x)
В силу правила 4 , знаки lg f(x), lg a(x) совпадают со знаками разностей f(x)-1 и a(x)-1
соответственно.
Поэтому знак
lg f(x) f(x)-1
совпадает со знаком или со знаком
lg a(x) a(x)-1
произведения (a(x)-1)( f(x)-1).

Правило 7. Знак функции log a(x)f(x) совпадает со знаком произведения (a(x)-1)( f(x)-1).
Полное условие равносильности, включающее ОДЗ:

а(х)>0
log a(x)f(x)>0 (<0) ↔{ f(x)>0
(a(x)-1)( f(x)-1)>0(<0)
Для нестрогого неравенства условие выглядит по- другому.
а(х)>0
а(х)≠0
log a(x)f(x)≥0(≤0)↔ { f(x)>0
(a(x)-1)( f(x)-1)≥0(≤0).

Колесникова. Математика.
А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа.
Е.Е. Калугина. Уравнения, содержащие знак модуля.
А. Г. Клово. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010.