интерактивный проект
по математике
подготовка к ЕГЭ по теме:
классификация уравнений.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений. презентация
Содержание
- 2. Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений.
- 3. Уравнением называют равенство,
- 4. Решить уравнение – значит найти все его
- 5. Основные правила :
- 6. Алгебраические Целые Дробные Иррациональные Показательные Логарифмические Тригонометрические Смешанные Уравнения Трансцендентные системы
- 7. квадратное логарифмическое неполное квадратное приведенное квадратное с
- 8. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо
- 9. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое
- 10. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого
- 11. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить
- 12. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить
- 13. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить
- 14. Корни уравнения не изменяются, если какое –
- 15. Корни уравнения не изменяются, если обе его
- 16. Решите самостоятельно: 1) 15+у=78
- 17. линейное квадратные радикалы симметрические
- 18. Квадратное Неполное квадратное Приведенное квадратное Теорема Виета
- 19. Решением уравнения
- 20. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
- 21. Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение
- 22. Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение
- 23. Решите самостоятельно:
- 24. Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в
- 25. Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида
- 26. ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное
- 27. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА Если сумма
- 28. Уравнение вида
- 29. Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида
- 30. Для решения первого уравнения введем новую переменную
- 31. Модулем числа х называется само это число,
- 32. Формула для корней уравнения sin x=a
- 33. Тригонометрическое уравнение вида
- 34. Уравнение вида
- 35. Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение
- 36. Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала
- 37. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений.
- 38. Метод введения новой переменной
- 39. Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени
- 41. Введение новой переменной:
- 42. Решите самостоятельно:
- 43. Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких
- 44. Уравнение с параметром При каких значениях а
- 45. Графический способ решения систем уравнений Система уравнений
- 46. Графическое решение систем Графический способ решения систем
- 47. Решение: Графики первого и третьего уравнения –
- 48. Равносильность уравнений Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются
- 49. Решите самостоятельно:
- 50. Решите самостоятельно:
- 51. Решите самостоятельно:
- 52. Решите самостоятельно:
- 53. Решите самостоятельно:
- 54. Решите самостоятельно:
- 55. Показательные уравнения. Показательным называют уравнение, в котором
- 56. Решите самостоятельно:
- 57. Решите самостоятельно:
- 58. Решите самостоятельно:
- 59. Решите самостоятельно:
- 60. Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник
- 61. Презентацию подготовили:
- 62. Особая благодарность учителям СОШ №1: Терегуловой Ирине Викторовне Шманову Анатолию Ивановичу
Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений.
Слайд 2Что такое уравнение
Что значит решить уравнение
Основные правила решения уравнений.
Классификация уравнений.
Слайд 3 Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено
буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения.
Слайд 4Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что
уравнение не имеет ни одного корня).
Слайд 5Основные правила :
Правило №
1.
Правило № 2.
Правило № 3.
Правило № 4.
Правило № 5.
Правило № 6.
Практика
Правило № 7
Правило № 8
Слайд 6Алгебраические
Целые
Дробные
Иррациональные
Показательные
Логарифмические
Тригонометрические
Смешанные
Уравнения
Трансцендентные
системы
Слайд 7квадратное
логарифмическое
неполное квадратное
приведенное квадратное
с параметром
тригонометрическое
дробно-рациональное
иррациональное
показательное
n-ой степени
с модулем
Слайд 8 Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное
слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а)
7 + х = 23
х = 23 – 7
х = 16
7 + х = 23
х = 23 – 7
х = 16
Слайд 9Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
( если х
– а = d , то х = а + d)
х-8 =5
х = 8+5
х=13
х-8 =5
х = 8+5
х=13
Слайд 10Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность
( если
а - х =b , то х = а-b)
9-х =1,3
х = 9- 1,3
х = 7,7
9-х =1,3
х = 9- 1,3
х = 7,7
Слайд 11Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
(
если ах = b , то х =b: а )
0,2х = 6
х = 6: 0,2
х=30
0,2х = 6
х = 6: 0,2
х=30
Слайд 12Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если
х : а = b , то х = аb)
х : 0,3 = 4
х = 4 * 0.3
х = 1.2
х : 0,3 = 4
х = 4 * 0.3
х = 1.2
Слайд 13Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное
(если а
: х =b , то х = а:b)
0.8 :х=-5
х=0.8(-5)
х=-0.16
0.8 :х=-5
х=0.8(-5)
х=-0.16
Слайд 14Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из
одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.
3х – 8 = х – 14
3х –х = -14 + 8
2х = -6
х = -3
3х – 8 = х – 14
3х –х = -14 + 8
2х = -6
х = -3
Слайд 15Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить
на одно и то же число , не равное нулю.
Слайд 19Решением уравнения
служит х =
Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x)
Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению
Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x)
Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению
Слайд 20Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Решение логарифмического уравнения вида
основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x)
Согласно определению логарифма,
Слайд 21Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида
Это уравнение всегда имеет единственное решение:
Слайд 22Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида
Дискриминантом квадратного уравнения называется число
Если D > 0 , то уравнение решений не имеет
Если D=0, то уравнение имеет единственное решение:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения:
Слайд 24Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором хотя бы один
из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид
Слайд 25Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида
, т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице.
Определить знаки корней уравнения
Определить знаки корней уравнения
Слайд 26ТЕОРЕМА ВИЕТА
Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то
их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q.
Слайд 27ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА
Если сумма двух чисел
равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения
Слайд 28
Уравнение вида
называется биквадратным.
Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением.
Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением.
Слайд 29Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида
Заметим, что
т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности
Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений:
т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности
Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений:
Слайд 30Для решения первого уравнения введем новую переменную
а для решения второго -
переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения.
переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения.
Слайд 31Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо
число –х, если число х отрицательно. Обозначение:
Формальная запись этого определения такова:
Решить уравнение:
Формальная запись этого определения такова:
Решить уравнение:
Слайд 32Формула для корней уравнения
sin x=a ( )
имеет вид
cos x=a
tg x=a
ctg x=a
Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной
cos x=a
tg x=a
ctg x=a
Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной
Слайд 33Тригонометрическое уравнение вида
все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется
однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно , если все его члены разделить на . При этом если , то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же , то выносится за скобки.
Слайд 34Уравнение вида
равносильно уравнению ,где
Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая
часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему.
Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая
часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему.
Слайд 35Дробно-рациональные уравнения
Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида ,где
и –многочлены.
Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие
Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии
Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие
Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии
Слайд 36Иррациональные уравнения
Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени
Возведение обеих частей уравнения
в степень.
При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство.
При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство.
Слайд 37 Равенство нулю произведения( частного) двух выражений.
Произведение двух выражений равно нулю,
если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так:
Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю:
Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю:
Слайд 39Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени
Возведение в квадрат обеих частей
уравнения.
Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.
Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов.
Слайд 43Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей.
При решении уравнений, содержащих
радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами:
Решить уравнение:
Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:
Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ:5,-25/2
Решить уравнение:
Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством:
Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.
Ответ:5,-25/2
Слайд 44Уравнение с параметром
При каких значениях а уравнение имеет два корня, один
из которых больше 1, а другой меньше?
Решение: Рассмотрим функцию:
и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) иметь не может.
При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие:
Если же а<0 условие, соответственно, (рис.)
Итак решение задачи формально задается совокупностью:
Ответ:
Решение: Рассмотрим функцию:
и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) иметь не может.
При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие:
Если же а<0 условие, соответственно, (рис.)
Итак решение задачи формально задается совокупностью:
Ответ:
Слайд 45Графический способ решения систем уравнений
Система уравнений состоит из двух или более
алгебраических уравнений.
Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.
Решить систему - значит найти все её решения или доказать что их нет.
Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.
Решить систему - значит найти все её решения или доказать что их нет.
Слайд 46Графическое решение систем
Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем:
Строятся графики
каждого уравнения системы;
Определяются точки пересечения графиков;
Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.
Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений.
Определяются точки пересечения графиков;
Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.
Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений.
Слайд 47Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения
– кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы.
Ответ:( 0;0)
Ответ:( 0;0)
Слайд 48Равносильность уравнений
Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все
корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого.
Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению:
1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака)
2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля.
Кроме того, для уравнений в области действительных чисел:
3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень
4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень
Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению:
1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака)
2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля.
Кроме того, для уравнений в области действительных чисел:
3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень
4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень
Слайд 55Показательные уравнения.
Показательным называют уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели
степеней при постоянных основаниях. Показательное уравнение вида
равносильно уравнению
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1)приведение уравнения к виду ,а затем к виду ;
2) введение новой переменной.
Пример: Решим уравнение:
равносильно уравнению
Имеются два основных метода решения показательных уравнений:
1)приведение уравнения к виду ,а затем к виду ;
2) введение новой переменной.
Пример: Решим уравнение:
Слайд 60Список используемой литературы:
Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г.
В.К.Егерев-
«Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г.
Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г.
Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г.
Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г.
Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г.
Слайд 61Презентацию подготовили:
Шманова Виктория
Деева Александра
11 класс
МОУ «СОШ №1»
г. Шумиха
2007г.
подробная информация по тел 83524521413
Деева Александра
11 класс
МОУ «СОШ №1»
г. Шумиха
2007г.
подробная информация по тел 83524521413
