Аффинные преобразования. презентация

свойств, особенностей и применения на практике.
Актуальность: Углубление знаний по теме позволило с большей легкостью решать планиметрические задачи, задачи на соотношения отрезков.
Объект исследования: Аффинные преобразования фигур на плоскости, параллельное проектирование, неподвижные точки аффинных преобразований.
Цель: Углубление знаний по теме, решение задач.
Задачи: Изучение теоретического материала, исследование свойств различных видов аффинных преобразований, решение задач.
Методы исследования: Теоретический и практический.

и параллельные прямые а параллельные.

преобразования сохраняют отношения коллинеарных отрезков. В частности, середины отрезков переходят в середины отрезков, а медианы треугольников, соответственно, в медианы образов этих треугольников.

3) При аффинных преобразованиях отрезки переходят в отрезки, треугольники – в треугольники, тетраэдры – в тетраэдры.

4) Композиция аффинных преобразований плоскости является аффинным преобразованием плоскости.

А’В’С’ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А’, В в В’, С в С’.

Доказательство: На прямой АС отметим все точки, расстояние от которых до точки С кратно длине отрезка АС, и проведем через них прямые, параллельные ВС. Аналогично с ВС, A’C’ и B’C’.

параллелограммов, построенных аналогичным образом по треугольнику А’В’С’.

Вершина D параллелограмма АСВD перейдет в вершину D’ параллелограмма А’ В’ С’ D’, так как прямые AD и BD, параллельные прямым ВС и АС, перейдут в прямые A’D’ и B’D’, параллельные прямым В’С’ и A’D’.

решетки.

Произвольная точка М определяет последовательность вложенных параллелограммов с уменьшающимися сторонами. Этой последовательности соответствует аналогичная, (точка М’). Образ любой точки определяется однозначно.

точек.
(Параллельный перенос)



2) Одна неподвижная точка.
(Центральная симметрия)

3) Если аффинное преобразование имеет две неподвижные точки А и В, то любая точка прямой АВ является неподвижной точкой этого преобразования.

С.
ϕ (А) = А и ϕ (В) = В, следовательно ϕ (АВ) = (АВ).
Поэтому ϕ (С) ∈ (АВ). Далее, согласно свойству аффинных преобразований, (А, В, С) = (ϕ (А), ϕ (В), ϕ (С)), т.е. (А, В, С) = (А, В, ϕ (С)). Отсюда следует, что ϕ (С) = С.

точка пересечения ее боковых сторон, лежат на одной прямой.

прямых параллельных AD). Для равнобедренной трапеции AB'C'D утверждение задачи почти очевидно, а значит, оно справедливо и для исходной трапеции ABCD

K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

прямых b и d. Нам достаточно доказать, что прямая PC параллельна MK.

Угол между прямыми CP и b равен 45°, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45°, и b параллельна KL, следовательно, CP параллельна MK.

Треугольник KLM стал равнобедренным прямоугольным. Проведем b||KL, d||LM.

B проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C — прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

перпендикуляра к AD точка P переходит в точку Q, т. е. прямые PQ и AD параллельны.

проведем прямую α, параллельную l. Точка Р пересечения прямой α с плоскостью π называется параллельной проекцией точка М на плоскость π в направлении прямой l. Если М – точка плоскости π, то Р совпадает с М.

прямые, проектирующие точки данной прямой m’, принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекции по некоторой прямой m – параллельной проекции прямой m’.

точки M и N, так, что отрезок MN параллелен диагонали параллелепипеда DB′. Найти соотношение MN к DB′.

куб вдоль диагонали ВС′, спроектировав нужные нам точки в плоскость DCB′A′.

Из теоремы Фалеса следует, что образ отрезка MN будет равен одной трети образа диагонали DB′, т.е. MN : DB′ = 1 : 3.

Решение.

ВС, AD и CD соответственно. На прямых АМ и CF соответственно взяты точки Р и Q так, что PQ⎪⎪BK. Найдите соотношение PQ : BK.

Задача № 5.

а в качестве прямой – FC.

Образом отрезка FK будет отрезок CK’ = FK = 0.5 AC.

Образом отрезка PQ будет отрезок PC. (PC⎪⎪BK’)
Следовательно, искомое соотношение между отрезками PQ и BK равно 2 : 5.

пространстве помогают решать задачи, актуальные в реальной жизни и на экзамене – на параллельность, соотношения отрезков, построение образов фигур и т.д.

2006
2)     Д.В. Беклемишев. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры». Москва 2007
3)     С.П. Фиников. «Аналитическая геометрия. Курс лекций». Москва 2007
4)      И.П. Егоров. «Высшая геометрия». Москва 2007
5)      Ю. В. Садовничий и др. «Аналитическая геометрия. Курс лекция с задачами». Москва 2006
6)     В. Мирошин «Параллельное проектирование в задачах»
7)     Е. В. Потоскуев «Геометрия. 10 класс.» Москва 2004
8)А. Заславский «Геометрические преобразования» Санкт-Петербург 2004