Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. презентация

Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов.

Если

− начало вектора,

− его конец, то вектор

обозначается

или

Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается

Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается

записывают

||

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Произведением вектора

на число

называется вектор

удовлетворяющий следующим

условиям:

а) длина вектора

равна произведению модуля числа

на длину вектора

если

и противоположно ему, если

Пример.

Правило треугольников.

Пусть

и

− два произвольных вектора. Возьмем

произвольную точку

и построим вектор

От точки

отложим вектор

Вектор

соединяющий начало первого вектора с концом второго,

называется суммой векторов

и

произвольную точку

и построим векторы

и

Суммой двух векторов

и

называется вектор

диагонали параллелограмма

построенного на векторах

и

нужно конец вектора

совместить с началом вектора

конец вектора

– с началом вектора

и т.д.,

пока не дойдем до вектора

Тогда суммой

будет вектор,

идущий из начала вектора

в конец вектора

чтобы получить вектор

т.е.

Чтобы построить вектор

нужно

параллельным переносом перенести векторы

и

к общему началу, и тогда вектор

будет

выходить из конца вектора

в конец вектора

является

суммой векторов,

а другая – разностью.

называется противоположным вектору

и обозначается

5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:

6. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т.е.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в
линейных операциях над векторами так, как это делается в
обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить
скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные,
так и векторные множители.

Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

на который нужно

повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения

ее с вектором

Область изменения угла

где

– угол между вектором

и осью Ох, т.е.

по определению

(рис.1), и со знаком «–», если

При

отрезок CD превращается в точку и

(рис.2).

Свойства проекции вектора на ось.

2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме

проекций составляющих на ту же ось:

Теорема. Если на плоскости выбран базис

то любой вектор

этой плоскости можно разложить по

векторам

и такое разложение единственно:

Теорема. Если в пространстве выбран базис

то любой вектор

этой плоскости можно разложить

по векторам

,

и такое разложение единственно:

в базисе

и записывают

или

.

Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства.

1. При умножении вектора

на число

все его координаты умножаются на это число:

3. Вектор

коллинеарен вектору

т.е.

, если выполняется условие

или

где

− некоторое число.

=

.

Точка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов − осями координат.

Вектор

для произвольной точки М называют ее

радиус-вектором.

Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к началу координат называют координатами точки М в рассматриваемой системе координат. Первая координата называется абсциссой, вторая − ординатой, третья − аппликатой.

в пространстве −

Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат.

и

.

т.е. если заданы координаты начала и конца вектора, то чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующей координаты его конца вычесть координату начала.

последняя формула примет вид

В частности,

аналогично,

оси координат:

и делит этот отрезок в отношении

т.е.

§ 5. Деление отрезка в данном отношении.

деления отрезка в данном отношении

т.е. координаты середины отрезка равны полусумме

соответствующих координат его концов.

и точку

пересечения его диагоналей.

Решение.

Отсюда получаем

Угол между векторами

и

символически

записывают

причем

косинус угла между ними:

Скалярное произведение принято обозначать

или

или

модуля:

Из последнего равенства следует

⊥

или

или

4. Скалярное умножение обладает свойством

ассоциативности относительно скалярного множителя:

5. Скалярное умножение дистрибутивно относительно

сложения:

перпендикулярен вектору

и

Решение.

⊥

⇔

единичные

векторы, а угол между ними равен

Решение.

Тогда скалярное произведение можно вычислять по формуле:

на вектор

, получим

вектора на первый.

ортонормированном базисе:

и

то последнюю формулу можно переписать так:

с положительными направлениями осей

соответственно

(или вектором

с векторами

соответственно). Косинусы этих углов называются

направляющими косинусами этого вектора.

Найдем их.

Решение. Внутренний угол при вершине А − это угол

между векторами

и

Так как

то

Следовательно,

и осью

− это

угол между вектором

и вектором

кратчайший поворот от первого вектора

ко второму

вектору

виден против хода часовой стрелки.

В противном случае тройка

называется левой.

1)

2)

⊥

⊥

3) упорядоченная тройка

−

правая.

Важно:

Результатом векторного произведения является вектор.

2) Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение изменит знак, т.е.

3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

или

или

6)

есть квадрат ОАDB,

Вектор

есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т.е.

Аналогично находим, что

Переставив множители, получим

2. Площадь треугольника построенного на векторах

равна

половине модуля векторного произведения:

и удовлетворяет условию

где

Решение. Так, как вектор

перпендикулярен к

плоскости векторов

и

а вектор

также перпендикулярен к плоскости этих векторов по

определению, то отсюда следует, что

Имеем

Таким образом,

и определяемое

как скалярное произведение вектора

и вектора

Результатом смешанного произведения является число.

2. Смешанное произведение меняет знак на

противоположный при перестановке любых двух

векторов-сомножителей:

4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно

нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

и

− компланарны.

Если

то

− правая тройка;

если же

то

− левая тройка.

2. Установление компланарности векторов.

Векторы

− компланарны ⇔

и

вычисляется по формуле:

Объем треугольной призмы, построенной на векторах

и

вычисляется по формуле:

− левая тройка векторов.