Математическое моделирование задач на переливание презентация

Пепеляев Антон
Руководители: Гринева Л.Д., Гремяченская Т.В., Крагель Т.П.

Рене Декарт

задач на переливание;

рассмотреть возможность применения геометрии, а именно способ математического бильярда, к решению подобных задач.

математик, механик и физик Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) решил эту задачу в юности и впоследствии говорил, что именно она побудила его стать математиком.

Задача Пуассона

старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

схем;
метод математического бильярда.

и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового Года. Весь мёд находится в ведре, которое вмещает 6 литров.
У него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая.
Может ли он разделить мёд так, как задумал?

– Пух может разделить 6 л мёда пополам, используя ёмкости 5 л и 1 л.

этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

5

0

3

2

0

2

2

0

2

5

3

4

0

4

Вывод: за 6 переливаний можно получить 4 л воды, используя сосуды 5 л и 3 л.

старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

полный 5-литровый, в результате получается, что в 12-литровом - 4 литра, в 8-литровом – 3 литра, а в 5-литровом – 5 литров. Переливаете из 5-литрового в 12-литровый всю воду (или что там за жидкость), а из 8-литрового переливаете все 3 литра в 5-литровый. В результате 9 литров в 12-литровом, 0 литров в 8-литровом, и 3 литра в 5-литровом. Переливаете из 12-литрового 8 литров в пустой 8-литровый, и в 12-литровом остается 1 литр. Из 8-литрового доливаете в 5-литровый, пока 5-литровый не станет полным, (в 5-литровом было 3 литра, следовательно долили мы еще 2 литра из 8-литрового) Тогда в 8-литровом как раз остается 6 литров.

пустых сосуда объемом a литров и в литров и требуется набрать из реки ровно с литров воды. Если число с не делится на наибольший общий делитель чисел а и в, то это сделать невозможно.
Если с делится на наибольший общий делитель чисел а и в, то в таком случае задача всегда имеет решение. В частности, это всегда возможно, если числа а и в взаимно просты.

ровно 6 литров с помощью пустых девятилитрового и пятилитрового бидонов.

Число а не меньше 10, поэтому разностью а - 10 пользоваться можно, а разностью а - 11 уже нельзя. Решение записывается так:

аналогично движению бильярдного шарика отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.
Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом "угол падения равен углу отражения" и попадание им в требуемые точки по условию задачи. Освоив ее, нетрудно получить решение задачи на переливания (пересыпания) для трех сосудов различного объема.

имеет лишь два сосуда: 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

рассуждений, таблиц и математического бильярда.
Рассматриваемые методы можно использовать более широко для решения задач на смеси, задач на справедливый дележ имущества, а также на обмен имуществом.

Земляков А.Н., Гальперин Г.А - М.: Наука,- 1990.
2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки (в трех книгах). – М.: «Просвещение», 2008.
3. Капкаева Л. В. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении задач.
4. Коксетер Г.С.М. и Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978
5. Савина Л.А. Задача о трех кувшинах // Журнал «Квант». – 1978. – № 5. – С.29 – 32.
6. Задачи на переливания. http://rsa.iso.karelia.ru/matem/test/pereliv.doc.
http://mat.1september.ru/2003/16/no16_1.htm