Для самостоятельного решения 1 вариант____ 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков. 2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиент презентация

0,49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков.
2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,8?

2 вариант____1. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек.
2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0,995?

группу,
событие А может наступить при условии появления одного из них.

События Bi называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит.

обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом.
Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.

Решение. Вероятность того, что клиент попадет к первому операционисту (событие В1), составляет 0,6, ко второму — 0,4 (событие В2).

вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А)






Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будут обслужены им полностью.

одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание;
В1 - человек придерживался специальной диеты;
В2 - человек принадлежал к контрольной группе.

придерживался специальной диеты;
В2 - человек принадлежал к контрольной группе.





Согласно формуле полной вероятности

каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 —р.
В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится к раз и не осуществится (п — к) раз.
Вероятность этого сложного события, состоящего из n испытаний, определяется формулой Бернулли

события q = 1 —р.
в п испытаниях событие А осуществится к раз
не осуществится (п — к) раз
формула Бернулли





Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет 2 раза.



Решение.

р = q = 0,5.
n= 6, к = 2.

р
вероятность ненаступления события q = 1 —р.
в п испытаниях событие А осуществится к раз
не осуществится (п — к) раз
формула Бернулли





Пример 2. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет не менее двух раз.

каждом испытании постоянна, причем
О < р < 1.
Тогда вероятность Рn(к) того, что событие А появится в n испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функции

р
вероятность ненаступления события q = 1 —р.

в n испытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к <т.
А не осуществится (п — к) раз
Соответствующую вероятность обозначают Рn(l,т)

ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем О < р < 1.
Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от I до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

р
вероятность ненаступления события q = 1 —р.

в n испытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к <т.

не осуществится (п — к) раз

в виде формулы Ньютона-Лейбница:











функция нечетная, поэтому в таблицах приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела

Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р=0,9.

Решение.




Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20-0,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(х)
при n = 10 000, I = N, т = 10 000 дают
a=(N-50)/ 7.05 b=1411.34

Из табл. находим, что Ф(х) = 0,5 при |х| > 5

Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р= 0,9

Решение.












с вероятностью 0,9 страховой компании
гарантирована прибыль