Выпуклый анализ. Теория двойственности. Лекция 27 презентация

Содержание

1. Выпуклый анализ. Теория двойственности. Лекция 27
2. 10. ТЕОРИЯ
15. Двойственная задача

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ 10.1. Постановка двойственной задачи. 10.2. Теорема двойственности.

Главная
Математика
Выпуклый анализ. Теория двойственности. Лекция 27

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 27

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Слайд 2

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
10.1. Постановка двойственной задачи.
10.2. Теорема двойственности.

Слайд 3

10.1. Постановка двойственной задачи.

определенную формулой

Нетрудно видеть, что

неравенство переходит

в равенство.

Отсюда выводим равенство

Слайд 4

Тогда исходную задачу можно переписать в виде.
Задача 1.

и сконструируем

задачу.

Задача 2.

Определение 1.

Задача 2 называется двойственной к задаче 1 (основной).

называются основными,

двойственными.

Слайд 5

10.2. Теорема двойственности.
основной и двойственной задач.
Теорема 1.
Имеет место

неравенство

Доказательство.

от обеих частей (1)

Обозначим через

множество всех решений двойственной задачи и

Слайд 6

Теорема доказана.
Теорема 2 (двойственности).
Для того чтобы было выполнено

необходимо

и достаточно,

Множество седловых точек функции Лагранжа

Доказательство. Необходимость.

Пусть выполнены соотношения (3).

Имеем

Переходя в неравенстве (2)

получим

Слайд 7

Последнее равенство означает, что

Отсюда также следует,

вложено в множество седловых

точек функции Лагранжа.

Достаточность.

седловая точка функции Лагранжа.

Тогда

Отсюда следует

Аналогично из неравенства

Тогда из неравенства (4)

следует, что

Слайд 8

выводим

Из (7),(6)

в силу теоремы 1 получим
Тогда
Отсюда выводим, что множество седловых

точек функции Лагранжа

Теорема доказана.

Отсюда, в частности следует, что если пары

образуют седловые точки функции Лагранжа,

то и пары

Слайд 9

также являются седловыми точками.
можно выбирать одними и теми же
Тогда

множители Лагранжа в теореме Куна – Таккера

Замечание.

что исходная задача является задачей выпуклого программирования.

Таким образом,

определенная из условия

не обязана быть седловой точкой.

Слайд 10

Пример 1.
Пусть

Данная функция имеет единственную седловую точку

а

Существуют

задачи выпуклого программирования,

даже если

Пример 2.

Пусть

Тогда

Слайд 11

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи
Вычисляем

Пояснения требует третья строчка

в равенстве (8).

Приведем график функции

Найдем минимизирующую точку

Имеем

Слайд 12

Отсюда

и соотношение (8) доказано.
Таким образом,
но

Слайд 13

Двойственная задача всегда является задачей выпуклого программирования
какой была основная (исходная)

задача.

Действительно, двойственная задача

эквивалентна задаче

Имеем

справедливо

Слайд 14

Слайд 15

Двойственная задача к двойственной не обязана совпадать с исходной задачей.
Например, если

исходная задача не является задачей выпуклого программирования.

Слайд 16

Скачать презентацию

Выпуклый анализ. Теория двойственности. Лекция 27 презентация

Содержание

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 27

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Слайд 2

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
10.1. Постановка двойственной задачи.
10.2. Теорема двойственности.

Слайд 3

10.1. Постановка двойственной задачи.

определенную формулой

Нетрудно видеть, что

неравенство переходит

Слайд 4

Тогда исходную задачу можно переписать в виде.
Задача 1.

и сконструируем

Слайд 5

10.2. Теорема двойственности.
основной и двойственной задач.
Теорема 1.
Имеет место

Слайд 6

Теорема доказана.
Теорема 2 (двойственности).
Для того чтобы было выполнено

необходимо

Слайд 7

Последнее равенство означает, что

Отсюда также следует,

вложено в множество седловых

Слайд 8

выводим

Из (7),(6)

в силу теоремы 1 получим
Тогда
Отсюда выводим, что множество седловых

Слайд 9

также являются седловыми точками.
можно выбирать одними и теми же
Тогда

Слайд 10

Пример 1.
Пусть

Данная функция имеет единственную седловую точку

а

Существуют

Слайд 11

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи
Вычисляем

Пояснения требует третья строчка

Слайд 12

Отсюда

и соотношение (8) доказано.
Таким образом,
но

Слайд 13

Двойственная задача всегда является задачей выпуклого программирования
какой была основная (исходная)

Слайд 14

Слайд 15

Двойственная задача к двойственной не обязана совпадать с исходной задачей.
Например, если

Слайд 16

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Выпуклый анализ. Теория двойственности. Лекция 27 презентация

Содержание

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗЛЕКЦИЯ 2710. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Слайд 210. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ 10.1. Постановка двойственной задачи. 10.2. Теорема двойственности.

Слайд 310.1. Постановка двойственной задачи. определенную формулой Нетрудно видеть, что неравенство переходит

Слайд 4Тогда исходную задачу можно переписать в виде. Задача 1. и сконструируем

Слайд 510.2. Теорема двойственности. основной и двойственной задач. Теорема 1. Имеет место

Слайд 6Теорема доказана. Теорема 2 (двойственности). Для того чтобы было выполнено необходимо

Слайд 7Последнее равенство означает, что Отсюда также следует, вложено в множество седловых

Слайд 8выводим Из (7),(6)в силу теоремы 1 получимТогдаОтсюда выводим, что множество седловых

Слайд 9также являются седловыми точками. можно выбирать одними и теми же Тогда

Слайд 10Пример 1. Пусть Данная функция имеет единственную седловую точку а Существуют

Слайд 11Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи Вычисляем Пояснения требует третья строчка

Слайд 12Отсюдаи соотношение (8) доказано. Таким образом, но

Слайд 13Двойственная задача всегда является задачей выпуклого программирования какой была основная (исходная)

Слайд 14

Слайд 15Двойственная задача к двойственной не обязана совпадать с исходной задачей.Например, если

Слайд 16

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 27

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

Слайд 2

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
10.1. Постановка двойственной задачи.
10.2. Теорема двойственности.

Слайд 3

10.1. Постановка двойственной задачи.

определенную формулой

Нетрудно видеть, что

неравенство переходит

Слайд 4

Тогда исходную задачу можно переписать в виде.
Задача 1.

и сконструируем

Слайд 5

10.2. Теорема двойственности.
основной и двойственной задач.
Теорема 1.
Имеет место

Слайд 6

Теорема доказана.
Теорема 2 (двойственности).
Для того чтобы было выполнено

необходимо

Слайд 7

Последнее равенство означает, что

Отсюда также следует,

вложено в множество седловых

Слайд 8

выводим

Из (7),(6)

в силу теоремы 1 получим
Тогда
Отсюда выводим, что множество седловых

Слайд 9

также являются седловыми точками.
можно выбирать одними и теми же
Тогда

Слайд 10

Пример 1.
Пусть

Данная функция имеет единственную седловую точку

а

Существуют

Слайд 11

Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи
Вычисляем

Пояснения требует третья строчка

Слайд 12

Отсюда

и соотношение (8) доказано.
Таким образом,
но

Слайд 13

Двойственная задача всегда является задачей выпуклого программирования
какой была основная (исходная)

Слайд 15

Двойственная задача к двойственной не обязана совпадать с исходной задачей.
Например, если