- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Введение в математический анализ презентация
Содержание
- 1. Введение в математический анализ
- 2. Понятие функции. Способы задания функций Пусть X – некоторое множество действительных чисел.
- 3. Определение. Если каждому элементу x из множества
- 4. Множество X называется областью определения функции f(x)
- 5. Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область значений E(f ) = [–1; 1].
- 6. Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).
- 7. Под графиком функции понимают множество точек плоскости,
- 8. К основным элементарным функциям относятся: y = xa (при
- 9. y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции; y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x – обратные тригонометрические функции.
- 10. Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y
- 11. Функции, образованные из основных элементарных функций посредством
- 12. Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида
- 13. Функция, определяемая уравнениями в
- 14. Например, уравнения определяют линейную функцию
- 15. Предел числовой последовательности. Предел функции
- 16. Определение. Число A называется пределом последовательности
- 17. Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим
- 18. Определение. Число А называется пределом функции y = f(x)
- 19. Обозначают этот факт так:
- 20. Если число A является пределом функции y = f(x)
- 21. Так как из неравенства 0
- 23. Число A называется пределом функции y = f(x) при
- 24. Функция y = f(x) называется ограниченной в области D,
- 25. Например, функция ограничена
- 26. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- 27. Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при
- 28. Например, функция y = sin x является бесконечно малой при
- 29. Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая
- 30. Если функция β(x) – бесконечно большая при
- 31. Справедливы следующие утверждения: Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
- 32. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть
- 33. Теоремы о пределах Если пределы
- 34. 1) где с = const; 2)
- 35. 3) 4) где
- 36. Замечательные пределы Первый замечательный предел:
- 37. Второй замечательный предел:
- 38. Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом.
- 39. Пример. Вычислить
- 40. Решение.Так как то
- 41. Пример. Вычислить
- 42. Решение. Так как при x → ∞ числитель и
- 43. Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и
- 45. Пример. Вычислить
- 46. Решение. Так как то имеем неопределённость вида
- 47. Так как, то
- 48. Пример. Вычислить
- 49. Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и
- 52. Пример. Вычислить
- 53. Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным
- 55. Пример. Вычислить
- 56. Решение. Для раскрытия неопределённости 1∞ воспользуемся вторым замечательным пределом:
- 57. поскольку
- 58. Сравнение бесконечно малых функций Для сравнения двух
- 59. Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x)
- 60. Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x)
- 61. Основные эквивалентности при x → 0: sin kx ~ kx,
- 62. При вычислении пределов используют следующую теорему. Теорема.
- 63. Пример. Вычислить
- 64. Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так
- 66. Сравнение бесконечно малых функций Для сравнения
- 67. Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x)
- 68. Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x)
- 69. Основные эквивалентности при x → 0: sin kx ~ kx,
- 70. При вычислении пределов используют следующую теорему. Теорема.
- 71. Пример. Вычислить
- 72. Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так
- 74. Непрерывность функции Определение. Функция y = f(x) называется
- 75. Односторонними называются пределы: левосторонний предел в точке
- 76. Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке
- 77. Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя
- 78. Если хотя бы один из этих односторонних
- 79. Например, функция
- 81. Функция имеет в точке x = 2 разрыв второго рода
- 83. Если функция непрерывна во всех точках отрезка
- 84. Из определения непрерывности функции и теорем о
- 85. II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций,
Понятие функции. Способы задания функций Пусть X – некоторое множество действительных чисел.
Слайд 3Определение. Если каждому элементу x из множества X по некоторому закону
f ставится в соответствие вполне определённое действительное число y, то говорят, что y есть функция переменной величины x и пишут y = f(x).
Слайд 4Множество X называется областью определения функции f(x) и обозначается D(f ).
Множество всех значений y функции y = f (x), когда x пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается E(f ).
Слайд 5Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область
значений E(f ) = [–1; 1].
Слайд 6Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).
Слайд 7Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения
независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График фукции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение y = x2 задает функцию, графиком которой является парабола.
Слайд 8К основным элементарным функциям относятся:
y = xa (при постоянном a ∊ R) – степенная функция;
y = ax
(при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – показательная функция;
y = loga x (при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – логарифмическая функция;
y = loga x (при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – логарифмическая функция;
Слайд 9y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции;
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x – обратные тригонометрические
функции.
Слайд 10Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y = f(u), где u
= φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция y = lg3(2x) сложная, и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: y = z3, z = lg u, u = 2x.
Слайд 11Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций
и взятия функции от функции, называются элементарными.
Слайд 12Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция
вида
Слайд 13Функция, определяемая уравнениями
в которых зависимость между y и x
устанавливается посредством третьей переменной t, называется заданной параметрически, при этом t – параметр.
Слайд 16Определение. Число A называется пределом последовательности
a1, a2, …,an,…, если
для любого положительного числа ε существует такой номер N = N(ε), что при всех n > N выполняется неравенство .
Слайд 17Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим пределом число A, то
это записывается следующим образом:
или
или
Слайд 18Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a (в точке
x = a), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что при 0 <|x – a| < δ выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Слайд 20Если число A является пределом функции y = f(x) при x → a, то на
графике это иллюстрируется следующим образом.
Слайд 21Так как из неравенства 0
что для всех x, отстоящих от a не далее чем на δ, точка M графика функции y = f(x) лежит внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = A – ε и y = A + ε. Очевидно, что с уменьшением ε величина δ также уменьшается.
Слайд 23Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ±∞, если для любого
ε > 0 существует число M > 0, что при всех |x| > M выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Слайд 24Функция y = f(x) называется ограниченной в области D, если существует постоянное число
M > 0, что для всех x ∊ D выполняется неравенство |f(x)| < M.
Слайд 27Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если
Функция β(x)
называется бесконечно большой при x → a, если
Слайд 28Например, функция y = sin x является бесконечно малой при x → 0, а функция
есть бесконечно малая при x → ±∞, так как их пределы равны нулю. Функция y = tg x является бесконечно малой при x → 0 и бесконечно большой при x → π/2.
Слайд 29Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая при x → a, то
— бесконечно большая функция при x → a
Слайд 31Справедливы следующие утверждения:
Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая
функция.
Слайд 32Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.
Произведение конечного
числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Слайд 37Второй замечательный предел:
где e — иррациональное число, e ≈ 2,718281828 — одна
из фундаментальных величин в математике.
Слайд 38Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом.
Слайд 42Решение. Так как при x → ∞ числитель и знаменатель дроби, стоящей под
знаком предела, стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида
Слайд 43Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую
степень x. После деления на x3 получаем:
Слайд 49Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение
( ), а также разложим знаменатель на линейные множители:
Слайд 53Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что x ≠ 0,
проведём очевидные преобразования:
Слайд 58Сравнение бесконечно малых функций
Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x) и
β(x) в точке x = a находят предел отношения
Слайд 59Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно
малыми одного порядка.
Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).
Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).
Слайд 60Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными
и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как
Слайд 61Основные эквивалентности при x → 0:
sin kx ~ kx, tg kx ~ kx,
arcsin kx ~ kx,
arctg kx ~ kx,
ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.
ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.
Слайд 62При вычислении пределов используют следующую теорему.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых
функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.
Слайд 64Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0
и sin 3x ~ 3x, то
Слайд 66Сравнение бесконечно малых функций
Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x)
и β(x) в точке x = a находят предел отношения
Слайд 67Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно
малыми одного порядка.
Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).
Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).
Слайд 68Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными
и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как
Слайд 69Основные эквивалентности при x → 0:
sin kx ~ kx, tg kx ~ kx,
arcsin kx ~ kx,
arctg kx ~ kx,
ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.
ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.
Слайд 70При вычислении пределов используют следующую теорему.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых
функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.
Слайд 72Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0
и sin 3x ~ 3x, то
Слайд 74Непрерывность функции
Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если
предел функции в точке x0 существует и
Слайд 75Односторонними называются пределы:
левосторонний предел в точке a:
правосторонний предел в точке a:
Слайд 76Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если существуют односторонние
пределы в точке x0 и
Слайд 77Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств
то x0 называется точкой разрыва 1-го рода.
Слайд 78Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или
равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода.
Слайд 83Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b], то она называется
непрерывной на этом отрезке.
Слайд 84Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы:
I. Если
функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны функции
Слайд 85II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке.
III.
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
