Введение в анализ. Функции (лекция 1) презентация

анализа. Числовые множества
1.3. Функция- определения. Основные свойства. Классификация
1.4. Основные элементарные функции
1.5. Числовые последовательности.
1.6. Предел функции. Предел последовательности
1.7. Методы вычисления пределов. Замечательные пределы
1.8. Вычисление пределов. Решение задач
1.9. Анализ простейших финансовых операций

свойством. Обозначается заглавными буквами,
например А, X, Y
Элемент множества – любой его объект.
Обозначается соответствующими строчными
буквами a, x, y
Запись a∈A - элемент а входит в множество А,
принадлежит ему.
Запись а∉А - элемент а не принадлежит множеству А
Пустое множество не содержит ни одного
элемента, обозначается символом ∅.

множестве букв (А) можно выделить
гласные(Г) и согласные (С).
Принадлежность подмножества множеству
обозначается Г ⊂ А
Универсальное множество содержит все свои
подмножества. Обозначается E или U.
Множество может состоять из бесконечного или
конечного количества элементов.
Счетное множество состоит из элементов, которым
можно присвоить порядковые номера

числовым.
К числовым относятся :
- множество всех натуральных чисел N (счетное);
- множество всех целых чисел Z (счетное);
множество всех рациональных чисел Q (счетное);
множество всех действительных чисел R
(несчетное);
Очевидно, что N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

– числовые
интервалы.
Открытый интервал (числовой промежуток), (а,b) –
множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<хЗамкнутый (закрытый) интервал (числовой отрезок)
[а,b] – множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а≤х≤b.
Числовые интервалы можно изобразить геометрически
на числовой прямой:

Открытый интервал (а,b) служит окрестностью всякой
принадлежащей ему точки:




ε-окрестность точки х0 - открытый интервал с центром в точке
х0 длиной 2ε, то есть интервал (х0-ε, х0+ε).

Правило, по которому каждому элементу одного множества
(А или Х) ставится в соответствие один элемент другого
множества (В или Y).
Записывают это правило f: A ? B (f: Х ? Y), y = f (x)
Определение функции, связанное с термином отображение.
Если каждому элементу x множества X ставится в
соответствие один элемент y из множества Y, то на
множестве X задана функция y = f(x).
В функциональном анализе
x - независимая переменная, аргумент; множество значений
Х называется областью определения функции, ООФ , D ;
y - зависимая переменная, значение функции, функция;
Множество значений Y – область значений, ОЗФ, Φ, или Е.
Третьим множеством, определяющим функцию, является ее
график Гf.
Функция определена, если заданы ООФ , ОЗФ, Гf.

- когда каждому элементу
множества Х соответствует один элемент множества Y и
при этом каждому элементу множества Y соответствует
один элемент множества X
Обратная функция
Если два множества Х и Y являются взаимно-обратными,
то говорят о существовании обратной функции .
Записывают это так
y = f( x) – прямая функция; x = f-1 (y)- обратная функция
Инвариантность переменных позволяют записать
y = f-1 (x)
Примеры взаимно-обратных функций

Прямая функция

Обратная функция

Не всякая кривая
является графиком функции. Например, окружность, не является
графиком функции, т.к. каждому значению x∈(-r,r) соответствуют
два различных значения y.





2. Аналитически, при помощи формулы. Y= 1+sin2(х+2)
3. Таблицей. Например, таблицы функций, таблицы закупок и
продаж и др. Если функция задается таблично, то проводят
аппроксимацию - получают аналитические формулы на базе
экспериментальных данных.
4. Словесно

в первой строке записываются значения аргумента, а во
второй и последующих - значения функции.
Ниже приведен пример табличного задания двух функций – дохода и
налога в зависимости от объема продаж










Словесное описание сводится к однозначному описанию
зависимости функции от аргумента.
Пример первый словесного описания функции:
- доход (функция f) равен объему продаж (аргумент x), умноженному
на 20, f(x) =20*x

размера партии, т.е. действуют
оптовые скидки.
Словесное описание задачи:
- если покупается партия товара весом менее 40 кг., то
цена будет 15 д.е. за килограмм;
- если от 40 до 400 кг., цена будет 12 д.е.
- если покупают более 400 кг., то продавец устанавливает
цену 10 д.е. за килограмм.
Можно эту задачу описать и аналитически, в виде системы неравенств:





Предположим, нас интересует стоимость партии товара весом 200 кг. Тогда: f(200)=12*200=2400 д.е.

задана формулой . Может быть явной y=f(x)
( y = x3-2x+3) или неявной F(x,y)=0 (например x3 + y2 –x =0)
2. Явно заданные функции подразделяются на
элементарные и неэлементарные.
Элементарные функции подразделяются на:
- стандартные : х2, sin(x), ln (x) и др;
- полученные из стандартных при помощи конечного
количества алгебраических операций;
- полученные как функция от функции (сложная функция,
композиция функций, функция от функции) sin (x2 + 2)
Элементарные функции содержат конечное количество
алгебраических операций и вычисления функций от функций.
3. По количеству независимых аргументов функции
подразделяются на функции одного или нескольких
переменных, ( z=2x2y+4xy3 )

xn, показательная ax, экспоненциальная ex,,,,,, логарифмическая ln(x), тригонометрическая sin(x), обратные тригонометрические arcsin(x).
Элементарные функции, полученные из стандартных
при помощи конечного количества арифметических операций над элементарными функциями



3. Композиция функций, сложная функция, функция от функции



4. Неэлементарные функции. Например, функция Y=Abs(х) не является элементарной. Также не является элементарной функция вычисления факториала, n!

четной, если f(x) =f(-x) ;
нечетной, если f(x) = - f(-x); общего вида, если ни одно из
вышеприведенных условий не выполняется
2. Периодичность. Функция называется периодичной, когда
f(x+T) = f(x). Все стандартные тригонометрические функции
являются периодическими
3. Ограниченность. Функция ограничена на промежутке Х,
если существует такое М >0, что abs(f(x)) < = М
4. Монотонность. Функция называется монотонной, если она
возрастающая (f(x2) > f(x1) при x2 > x1) или убывающая
(f(x2) < f(x1) при x2 > x1)
5. Непрерывность. Функция называется непрерывной в точке
х0, если:
1. Определена в точке х0
2. Имеет конечный предел при х стремящемся к х0
3. Этот предел равен значению функции в точке х0

непрерывна в точке x0, если в
этой точке конечны и равны левосторонний и правосторонние
пределы и значения функции,
f(x0 – 0) = f(x0 +0) = f(x0) .
Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в любой
точке интервала
Возможны три типа разрыва:
1. Устранимый разрыв

2. Неустранимый разрыв
первого рода второго рода

Непрерывность функции в точке (на интервале)- важнейшее
свойств функций. Функция непрерывна в точке x0, если в
этой точке конечны и равны левосторонний и правосторонние
пределы и значения функции,
f(x0 – 0) = f(x0 +0) = f(x0) .
Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в любой
точке интервала
Возможны три типа разрыва:
1. Устранимый разрыв

2. Неустранимый разрыв
первого рода второго рода

показателем n

обладает свойствами
- Область определения Df: (-∞, +∞).
- Функция четная при четном n, нечетная при нечетном n.
- Область значений Ef: (-∞, +∞) при нечетном n , [0, +∞) при четном n
Графики степенной функции
n нечетное n четное

y=kx+b, где k и b - постоянные величины.
Коэффициент k - угловой коэффициент прямой. Равен
тангенсу угла наклона прямой. Если функция возрастает, то
к положителен, если функция убывает, то к отрицателен.
Величина b равна расстоянию (с соответствующим знаком) от
начала координат до точки пересечения прямой с осью Y.

свойства
1. x=0 - точка разрыва второго рода. Интервалы непрерывности:
(-∞,0) и (0,+∞)
2. Область определения Df (-∞,0) ∪(0,+∞).
3. Область значений Ef:
(-∞,0) ∪(0,+∞). n – нечетное (0,+∞). n – четное
4. Интервалы монотонности
(-∞,0) и (0,+∞). n – нечетное (0,+∞). n – четное
5. Функция нечетна при нечетных n, четная при четных n.

n область определения (-∞, +∞), область значений
(-∞, +∞).
3. Для четных n и область определения и область значений [0, +∞).

Функции и являются взаимно- обратными.
Для взаимно обратных функций определено: область определения
одной из них соответствует области значения другой; Графики
прямой и обратной функции симметричны относительно прямой,
проходящей под углом 45 градусов

основания a. Очевидно, что
a<>0 и a<>1. Тогда возможны два случая a>1 и 0Графики этих двух случаях приведены на рисунках 19 и 20
a>1 0

непрерывна на всей области определения
Для а>1 функция возрастает, ОЗФ (0, +∞).
График экспоненциальной функции y=ex совпадает с графиком показательной функции y=ax для а>1





Показательная функция для 0

, a>0 и a<>1.

Логарифмическая и показательная функции являются взаимно
обратными, область определения одной их них соответствует
области значений другой и наоборот.
Свойства логарифмической функции:
1. Область определения ООФ: (0, +∞). Функция непрерывна на (0, +∞).
2. Область значений: (-∞, +∞).
3. При a>1 логарифмическая функция возрастающая; при 0убывающая.

поэтому их достаточно исследовать за один период 2π.
Функции sinx, cosx определены на всей числовой оси. Область
значений [-1, 1].
Функция tgx имеет точки разрыва x=π/2+πn, n∈Z, функция ctgx имеет
точки разрыва х= πn, n∈Z. Область значений функций (-∞, +∞).

, y=arctgx, y=arcсtgx
Это функции непериодические. Функции y=arcsinx, y=arctgx на всей области своего определения [- π/2 , π/2] являются монотонно возрастающими нечетными функциями
Из приведенных на следующем слайде графиках можно определить область определения и область значений этих функций

функцию , так и числовую
последовательность
Определение: Если по некоторому закону (правилу f)
каждому натуральному числу n из множества N поставлено
в соответствие число , то говорят о числовой

последовательности.
В терминах теории множеств – множество натуральных
чисел N отображается во множество чисел
последовательности an.
К числовым последовательностям относят:
Арифметическую прогрессию
Геометрическую прогрессию
Последовательности, элементы которых вычисляются по некоторому правилу f,

разностью d.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по
формуле an=an-1 + d = a1+d * (n-1)
Основное свойство арифметической прогрессии.
Последовательность a1, a2,..an является арифметической
прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со
второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним
членов, то есть



Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

d=1 (рис. 3).






2.Последовательность чисел 10,8, 6,4,2,0,-2,-4,..- арифметическая прогрессия с разностью d=-2 (рис. 4).







Из графиков видно, что с увеличением порядкового номера n члены арифметической прогрессии изменяются линейно

b2, …bn. Задается значением первого члена b1 и
знаменателем q. . Любой член геометрической прогрессии
можно вычислить по формуле
bn=b1.qn-1 = bn-1 .q
Основное свойство геометрической прогрессии.
Последовательность не равных нулю чисел b1, b2, …bn,…
является геометрической прогрессией тогда и только тогда,
когда квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен
произведению двух соседних с ним членов

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

|q|<1, называется бесконечно убывающей
геометрической прогрессией, Члены такой прогрессии с ростом n
неограниченно убывают, стремятся к нулю.

Прогрессия , бесконечно убывающая,


ее знаменатель равен

Последовательность чисел –25,5,-1, тоже является

бесконечно убывающей геометрической прогрессией, так как ее знаменатель

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле

0.1, 0.01, 0.001,…со знаменателем q=0.1 образуют убывающую геометрическую прогрессию (рис. 6).






Числа 3,-6,12,-24,… образуют знакопеременную геометрическую прогрессию со знаменателем q = - 2 (рис. 7).








Из графиков следует, что с ростом n члены геометрической прогрессии изменяются нелинейно

числовой функции, если для
любой сколь угодно малой величины всегда найдется такое
положительное значение S (зависящее от ),что для всех
х , для которых верно abs(x) >S верно неравенство
A- < f(x) < A+
При исследовании функции рассматривают пределы :
- на границах области определения, чаще это интервал (-∞, +∞)
- в точке. При этом рассматриваются: предел слева от точки
( левосторонний предел );предел справа от точки (правосторонний
предел) ;
Условие непрерывности функции в точке: левосторонний
предел конечен, равен правостороннему и равен значению
функции в точке

последовательности, если
для любой сколь угодно малой величины всегда найдется
такой номер n, что абсолютная разность между членом
последовательности an и величиной А меньше .
Таким образом, предел последовательности – это величина, к
которой стремятся члены последовательности с ростом n.
Записывают это так:


Для ББП Для БМП



Для последовательности с конечным пределом

Предел числовой последовательности. Определение
Число А называется пределом числовой последовательности, если
для любой сколь угодно малой величины всегда найдется
такой номер n, что абсолютная разность между членом
последовательности an и величиной А меньше .
Таким образом, предел последовательности – это величина, к
которой стремятся члены последовательности с ростом n.
Записывают это так:


Для ББП Для БМП



Для последовательности с конечным пределом

величина, которая при своем
изменении становится и остается по абсолютной величине меньше
любого наперед заданного положительного числа

Бесконечно большая величина (ББВ) у– величина, которая при своем
изменении становится и остается по абсолютной величине больше
любого наперед заданного положительного числа N

Если а – бесконечно малая величина, то 1/ а – бесконечно
большая величина. Верно и обратное: если у – бесконечно
большая величина, то 1/у – бесконечно малая величина
Сумма конечного количества бесконечно малых ( бесконечно больших )
величин является величиной бесконечно малой (бесконечно большой)
Частное а/у двух бесконечно малых (или бесконечно больших) величин
не определено, может быть или бесконечно малой, или конечной, или
бесконечно большой величиной
Две величины эквивалентны, если

3. Бесконечно большая функция
Y=1 горизонтальная асимптота






4. Пределы в точке разрыва второго
2. Предел на бесконечности рода х р = 1
равен нулю. Бесконечно малая
величина. Прямая Y=0 –
горизонтальная асимптота

1.Предел на бесконечности равен 1 3. Бесконечно большая функция
Y=1 горизонтальная асимптота






4. Пределы в точке разрыва второго
2. Предел на бесконечности рода х р = 1
равен нулю. Бесконечно малая
величина. Прямая Y=0 –
горизонтальная асимптота

большая последовательности (ББП)(рис. 3, рис 5)




Ограниченная последовательность ( рис 7)




Последовательность не имеющая предела (рис.9)

алгебраической суммы величин равен
алгебраической сумме пределов этих величин


3. Предел произведения величин равен произведению
пределов


4. Предел отношения двух величин равен отношению
пределов, при условии, что предел знаменателя отличен от нуля

если

5. Предел сложной функции равен пределу от предела
lim f (u (x) ) = lim f (lim (u (x) )

при


Предел числителя и предел знаменателя равны ∞, поэтому
получается неопределенность типа

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень
знаменателя
Получим

и знаменатель на




Предел числителя в полученной дроби равен 4, а предел знаменателя равен нулю. Следовательно,

прием. Получим

многочленов при раскрытии неопределенности типа
Запишем задачу в общем виде








Здесь n, m - старшие степени при х числителя и знаменателя соответственно, an, bm – коэффициенты при старших степенях переменной х числителя и знаменателя соответственно

предела: lim f(U(x))= lim f (lim U(x) )
Пример 4. Вычислить

=


Пример 5. Вычислить

=

замечательный предел и его следствия




В банковской деятельности, для анализа доходности по сложной схеме начисления процентов применяется
второй замечательный предел


и его следствия




Здесь е – константа Эйлера; е = 2.73

i =p/100. Пусть по договору
проценты на процент начисляются за k периодов – каждый квартал,
каждый месяц ,каждый день…
Решим предельную задачу : во сколько раз увеличится к концу года
первоначальный вклад, если число периодов начисления процентов
k будет неограниченно возрастать?



Применив второй замечательный предел, получим



что при годовой процентной ставке p =100 % даст приращение
первоначального капитала в e раз, т.е. менее, чем втрое

. Чтобы избавиться от

неопределенности, необходимо преобразовать исходную
формулу

Полученную неопределенность можно раскрыть, используя
иерархию последовательностей (функций) по скорости
возрастания (или убывания) при n ->∞ (x-±∞).
-для последовательностей , n->∞: n!>>en >>na>>ln(n) где a > 0
-для функций: при x-> ∞ ex >> xa>> ln(x) – где a > 0.
Это означает, что

(n< m)


Пример 8. (n=m)


Пример 9. (n>m)



Пример 10. (n>m)

Знак минус получен, так как у коэффициентов при старших
степенях числителя и знаменателя разные знаки

Пример 7. (n< m)


Пример 8. (n=m)


Пример 9. (n>m)



Пример 10. (n>m)

Знак минус получен, так как у коэффициентов при старших
степенях числителя и знаменателя разные знаки

f (lim U(x) )
Пример 11. Вычислить




Пример 12. Вычислить




Некоторые задачи этого класса приводят к
В этом случае задача сводится ко второму замечательному
пределу

14. Вычислить

Решение.

Обозначим t=2x-1

от ставки процента, но и от продолжительности самой операции.
Принято оперировать с так называемой «годовой ставкой процента», когда базовый период равен одному году, а расчет ставки процента любой продолжительности выполняют по одной из ниже перечисленных схем.
Принятые обозначения:
р% - годовая процентная в процентах
р = р%/ 100 – годовая ставка начислений. В приведенных ниже формулах используется эта величина
t – период начисления
S(0) – начальная сумма
S(t) – сумма в момент времени t, начисленная сумма

S(t) = S(0)*(1+(p/365)*t). Здесь t – точное количество дней. Считается, что в каждом месяце столько дней, сколько их по календарю.
Б) Первая приближенная схема. S(t) = S(0)*(1+p/360*t). Здесь t – приближенное количество дней. Считается, что в каждом месяце 30 дней, в году 360 дней
В) Вторая приближенная схема. S(t) = S(0)*(1+p/360*t). Здесь t – точное количество дней. Считается, что в каждом месяце столько дней, сколько их по календарю, а в году 360 дней.
На практике чаще всего из схем простых процентов применяют схемы А и В

лет, t>1.
S(t) = S(0)*(1+p)t
3. Комбинированная схема. Сравнение результатов,
полученных по схеме простых и сложных процентов за
период t меньше года, приводит к выводу, что в этом случае
схема простых процентов выгоднее, чем схема сложных
процентов. В таких задачах применяют комбинированную
схему начисления процентов
S(t) = S(0)*(1+p)[t] *(1+р/12*{t})
Здесь [t] – целая часть t, количество целых лет, {t} – дробная
часть t, количество целых месяцев. Например, если t=5.6
(5 лет и шесть месяцев) ,
то [t] =5, { t} =6

начисления равен t=m/n, где n m – целые числа. Здесь m - количество кварталов (или месяцев) начисления, n - количество кварталов (или месяцев) в году
Например, t=m/n =3/4 – период начисления 3 квартала в году; t=m/n =3/12 – три месяца в году
Тогда , в период меньше года применяется формула сложных процентов

S(t) = S(0)*(1+p/n)m