(элементы определителя).
Определителем второго порядка называется число, равное
Обозначение:
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Векторная алгебра презентация
Содержание
- 1. Векторная алгебра
- 2. Схема вычисления определителя второго порядка
- 3. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
- 4. Схема вычисления определителя третьего порядка (правило
- 5. Пример. Вычислить определитель двумя способами Вычислительная математика
- 6. §2. Вектор. Линейные операции над векторами.
- 7. Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым,
- 8. Вектор называется противоположным вектору
- 9. Два вектора равны, если они сонаправлены и
- 10. Линейные операции над векторами: ‑ сложение векторов;
- 11. §3. Базис. Координаты вектора в базисе
- 12. Пусть ‑ произвольный вектор на
- 13. Разложение вектора по базису в пространстве Базис
- 14. Значения называются
- 15. Свойства координат вектора: 1) при умножении
- 16. Координаты точки. Их связь с координатами
- 17. §4. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов
- 18. Свойства скалярного произведения: 1) скалярное произведение ненулевых
- 19. Пример. Вычислить
- 20. Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе Рассмотрим ортонормированный базис Пусть Тогда
- 21.
- 22. Пример 1. Найти длину вектора если Вычислительная математика
- 23. Пример 2. Найти вектор
- 24. §5. Векторное произведение векторов Понятие правой и
- 25. Векторным произведением двух векторов
- 26. Свойства векторного произведения: 1. (антикоммутативность);
- 27. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе Пусть Тогда
- 28. Пример. Вычислить
- 30. Пример 1. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если - единичные векторы и
- 31. Пример 2. Найти вектор ортогональный
- 32. §6. Смешанное произведение векторов Пусть вектор
- 35. Тогда
- 36. Пример. Вычислить смешанное произведение векторов
- 37. Применения смешанного произведения 1. Проверка компланарности трех
- 38. Пример. Проверить, что векторы
Схема вычисления определителя второго порядка (произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали). Пример. Вычислить Вычислительная математика
Слайд 1Векторная алгебра
§1. Определители 2 и 3 порядка
Пусть даны 4 числа:
(элементы определителя).
Определителем второго порядка называется число, равное
Обозначение:
Слайд 2Схема вычисления определителя второго порядка
(произведение элементов главной диагонали минус произведение
элементов побочной диагонали).
Пример. Вычислить
Пример. Вычислить
Вычислительная математика
Слайд 3Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
и равное
Вычислительная математика
.
Слайд 4Схема вычисления определителя третьего порядка
(правило треугольника)
Вычисление определителя третьего порядка методом
разложения по первой строке:
Вычислительная математика
Слайд 6§2. Вектор. Линейные операции над векторами.
Вектор – множество направленных отрезков,
имеющих общее направление и одинаковую длину. Направленный отрезок – отрезок, у которого указаны начало и конец.
Обозначения:
Длина вектора (модуль вектора) – длина соответствующего направленного отрезка, обозначают
Обозначения:
Длина вектора (модуль вектора) – длина соответствующего направленного отрезка, обозначают
Вычислительная математика
Слайд 7Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым, обозначают (у
такого вектора совпадают начальная и конечная точки).
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным, обозначают
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора обозначают
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным, обозначают
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора обозначают
Вычислительная математика
Слайд 8Вектор называется противоположным вектору
Два вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначают
Если то причем при
(векторы сонаправлены), при
(векторы противоположно направлены).
Если то причем при
(векторы сонаправлены), при
(векторы противоположно направлены).
Вычислительная математика
Слайд 9Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину:
Три
вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два вектора коллинеарны, то такие векторы будут компланарны.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два вектора коллинеарны, то такие векторы будут компланарны.
Вычислительная математика
Слайд 10Линейные операции над векторами:
‑ сложение векторов;
‑ вычитание векторов;
‑ умножение вектора на
число.
Вычислительная математика
Слайд 11§3. Базис. Координаты вектора в базисе
Базис на плоскости – это упорядоченная
пара неколлинеарных векторов
Если векторы ортогональны (перпендикулярны), то базис называется ортогональным.
Если длины векторов равны единице, то базис называется нормированным.
Ортонормированный базис на плоскости обозначают
Если векторы ортогональны (перпендикулярны), то базис называется ортогональным.
Если длины векторов равны единице, то базис называется нормированным.
Ортонормированный базис на плоскости обозначают
Слайд 12Пусть ‑ произвольный вектор на плоскости.
От произвольной точки
О отложим векторы, равные
и
Следовательно существуют числа
Тогда
Говорят, что вектор разложен по базису
Коэффициенты разложения называют координатами вектора в базисе
и
Следовательно существуют числа
Тогда
Говорят, что вектор разложен по базису
Коэффициенты разложения называют координатами вектора в базисе
Слайд 13Разложение вектора по базису в пространстве
Базис в пространстве – это три
некомпланарных вектора взятых в определенном порядке.
Тогда произвольный вектор
Длина вектора
Тогда произвольный вектор
Длина вектора
Слайд 14Значения
называются направляющими косинусами вектора
, причем
Направляющие косинусы совпадают с координатами орта
Направляющие косинусы совпадают с координатами орта
Слайд 15Свойства координат вектора:
1) при умножении вектора на число его координаты умножаются
на это же число;
2) при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются);
3) Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
2) при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются);
3) Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Слайд 16Координаты точки.
Их связь с координатами вектора
Рассмотрим точку А. Вектор
называют радиус-вектором точки А, а его координаты – координатами точки А в базисе или в системе координат Oxyz, принято обозначение:
Координаты вектора через можно найти по координатам его начальной точки и конечной точки
Координаты вектора через можно найти по координатам его начальной точки и конечной точки
Слайд 17§4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Если то
Произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают
Если то
Произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают
Слайд 18Свойства скалярного произведения:
1) скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и
только тогда, когда эти векторы ортогональны;
2) скалярное произведение векторов коммутативно
3) свойство линейности:
2) скалярное произведение векторов коммутативно
3) свойство линейности:
Слайд 20Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе
Рассмотрим ортонормированный базис
Пусть
Тогда
Слайд 23Пример 2. Найти вектор коллинеарный вектору
если его проекция на вектор
равна
равна
Вычислительная математика
Слайд 24§5. Векторное произведение векторов
Понятие правой и левой тройки векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки.
В противном случае тройка векторов называется левой.
На рис. тройка векторов - правая,
- левая тройка.
В противном случае тройка векторов называется левой.
На рис. тройка векторов - правая,
- левая тройка.
Слайд 25Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор
, длина и направление которого определяются следующими условиями:
1.
2.
3. - правая тройка (если ).
1.
2.
3. - правая тройка (если ).
Слайд 26Свойства векторного произведения:
1. (антикоммутативность);
2.
3.
(условие коллинеарности двух
векторов).
Слайд 31Пример 2. Найти вектор ортогональный векторам
, если
и вектор
образует тупой угол с осью Oz.
образует тупой угол с осью Oz.
Слайд 32§6. Смешанное произведение векторов
Пусть вектор векторно умножается на
вектор затем получившийся вектор скалярно умножается на вектор В результате получается число, которое называется векторно-скалярным или смешанным произведением векторов и обозначается
Таким образом,
Таким образом,
Слайд 37Применения смешанного произведения
1. Проверка компланарности трех векторов:
компланарны
2. Проверка принадлежности четырех точек A, B, C, D одной плоскости α:
3. Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда, построенных на векторах , и их высоты hc , опущенной из конца вектора
Слайд 38Пример. Проверить, что векторы
некомпланарны. Найти объем параллелепипеда, построенного на
этих векторах, приведенных к общему началу, и высоту ha, опущенную из конца вектора
