ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В 1909 г. Эрланг применил теорию вероятностей к исследованию зависимости обслуживания телефонных вызовов от числа поступивших на телефонную станцию вызовов.
Он предложил сам термин теория массового обслуживания и систематизировал основные положения теории системы массового обслуживания в монографии «Работы по математической теории массового обслуживания»
Случайным процессом, или случайной функцией S(t), называется функция, которая каждому моменту времени t; из некоторого временного промежутка ставит в соответствие единственную случайную величину S(t).
Если состояния системы S изменяются во времени случайным образом, то будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс.
По множеству состояний системы S протекающий в ней случайный процесс может быть дискретным или непрерывным.
Случайный процесс, протекающий в системе S , называется марковским, если обладает свойством отсутствия последействия, или отсутствия памяти, т.е. для любого фиксированного момента времени t0 вероятность состояния в будущем (при ) зависит только от состояния системы в настоящем (при ) и не зависит от того, как развивался этот процесс в прошлом (при ).
События в потоке называются однородными, если они различаются только по моментам времени их наступления, и неоднородными в противном случае.
Поток событий называется потоком без последействия, или потоком без памяти, если для любой пары непересекающихся промежутков времени число событий за один из этих промежутков не зависят от числа событий за другой.
Очевидно, что регулярный поток событий, в котором события наступают через строго определенные промежутки времени, не обладает свойством отсутствия последействия, поскольку регулярность этого потока порождает последействие.
Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления какого-либо числа событий за некоторый промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Очевидно, что вероятностные характеристики стационарного потока не зависят от времени, что и отражено в названии этого потока.
Простейшим (пуассоновским) называется поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
Интенсивностью потока ʎ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Эта теорема является основополагающей для теории систем массового обслуживания.
Формула (8.1) отражает все свойства простейшего потока.
Формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия. Легко можно убедиться, что формула отражает свойство ординарности.
Решение.
а) Случайная величина X – число вызовов за две минуты – распределена
по закону Пуассона с параметром λτ =1,2 ∙ 2 = 2,4 . Вероятность того, что вызовов не будет (m = 0 ), по формуле (8.1):
.
б) Вероятность одного вызова (m = 1) по формуле (8.1):
в) Вероятность хотя бы одного вызова:
.
.
.
Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (или требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени.
Схема СМО изображена на рисунке.
Показатели эффективности использования СМО:
Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.
Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же время заявок.
Средняя продолжительность периода занятости СМО.
Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок.
Показатели качества обслуживания заявок:
Среднее время ожидания заявки в очереди.
Среднее время пребывания заявки в СМО.
Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.
Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.
Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.
Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.
Среднее число заявок, находящихся в очереди.
Среднее число заявок, находящихся в СМО.
Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени.
однородных каналов
разнородных каналов
Каналы отличаются длительностью обслуживания одной заявки.
Практически время обслуживания каналом одной заявки T об является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (T об = const).
Классификация систем массового обслуживания
Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО
Указанные состояния системы, а также переходные вероятности удобно изображать двумя способами в виде матрицы переходов или в виде графа:
Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а
(N-1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются.
В зону таможенного контроля в пункте пропуска автомобили въезжают по системе электронной очереди. Каждое окно оформления прибытия/убытия представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих оформления , ограниченно и равно 3, то есть (N-1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль в зону таможенного контроля не пропускается, т.е. в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на оформление имеет интенсивность λ=0,85 (автомобиля в час). Время оформления автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики окна оформления прибытия/убытия пункта пропуска, работающего в стационарном режиме.
Решение
Работу рассмотренного окна оформления можно считать удовлетворительной, так как не обслуживается в среднем 15,8% случаев (Ротк=0,158).
,n=0,1,2,…,
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
ед.
Абсолютная пропускная способность:
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем.
Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пункт оформления автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживаемых клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) пункта оформления.
Решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих в зону таможенного контроля, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
Многоканальная СМО с отказами
Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:
вероятность отказа:
Так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Величина Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока;
вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы) дополняет Ротк до единицы:
Величина характеризует степень загрузки СМО.
Приведенная интенсивность потока заявок
Абсолютная пропускная способность ВЦ:
Среднее число занятых каналов – ПЭВМ
Составим следующую таблицу:
Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при n = 6 вероятность отказа в обслуживании (Ротк) составляет 0,0078.
Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна
Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:
где
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
LS=Lq+ρ;
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример 9.5. Таможня с тремя таможенными постами (каналами) выполняет пропуск товаров. Поток неправильно заполненных деклараций, для товаров прибывающих на таможню, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 у.е. в сутки, среднее время оформления одной заявки распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 часа. Предположим, что другой таможни в округе нет, и, значит, очередь деклараций может расти практически неограниченно.
среднее число находящихся в системе заявок;
среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение.
Определим параметр потока обслуживаний
Приведенная интенсивность потока заявок
ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,
при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1.
Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:
Ls=Lq+ρ=0,111+1,25=1,361.
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание
часа
Средняя продолжительность пребывания заявки на таможне (в системе)
часа.
Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть