Расширение множества натуральных чмсел презентация

1. Единичный отрезок е укладывается в отрезке а целое число раз (n раз):
mе(а) = n или а = nе

Длина отрезка а при единице длины е выражается натуральным числом n
Отрезки а и е в этом случае называются соизмеримыми

Знаменатель определяет, какую часть единицы измерения следует рассмотреть, числитель – указывает, сколько таких частей нужно взять

Чтобы сократить дробь, надо ее числитель и знаменатель разделить на одно и то же число отличное от 0

Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель больше единицы. Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой

D (48; 80) = 16,

3 · 5 · 7 = 105

правильные

неправильные

m < n

m ≥ n

D(m; n) ≠ 1

D(m; n) = 1

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+.

Пример:

Отношение «меньше» определяется аналогично

Отношение «больше» является отношением порядка на множестве Q+

3) Сократимость сложения

(∀ а, b, с ∈ Q+) а + с = b + с ⇒ а = b

4) Монотонность сложения

(∀ а, b, с ∈ Q+) а > b ⇒ а + с > b + с

Свойства сложения

1) Коммутативный закон сложения

(∀ а, b ∈ Q+) а + b = b + а

6) (∀ а ∈ Q+) а + 0 = 0 + а = а

Вычитание

Операцию, в результате которой находят разность положительных рациональных чисел а и b, называют вычитанием. Вычитание положительных рациональных чисел - операция, обратная сложению

b > с ⇒ (а + b) – с = а + (b – с)

3) правило вычитания разности из числа
а – (b – с) = (а – b) + с

а – 0 = а, а – а = 0

3) дистрибутивный закон умножения относительно сложения

(∀ а, b, с ∈ Q+) а · (b + с) = а · b + а · с

(∀ а, b, с ∈ Q+) а · (b - с) = а · b - а · с

4) дистрибутивный закон умножения относительно вычитания

Законы умножения

1) Коммутативный закон умножения

(∀ а, b ∈ Q+) а · b = b · а

6) Монотонность умножения

(∀ а, b, с ∈ Q+) а > b ⇒ а · с > b · с

7) а · 1 = 1 · а = а, а · 0 = 0 · а = 0

Деление положительных рациональных чисел - операция, обратная умножению Операцию, в результате которой находят частное положительных рациональных чисел а и b, называют делением.

Правило деления

3) дистрибутивный закон деления относительно сложения
(а + b) : с = а : с + b : с

4) дистрибутивный закон деления относительно вычитания
(а - b) : с = а : с - b : с

Свойства деления

1) правило деления произведения на число:
(а · b) : с = (а : с) · b или (а · b) : с = а · (b : с)

3. Множество Q+ не ограничено сверху, т.е. в нем нет наибольшего числа

Множество Q+ упорядочивает заданное на нем отношение «больше» (или «меньше»), которое является отношением порядка, так как оно антисимметрично и транзитивно.

4. Множество Q+ упорядочено

6. Множество Q+ замкнуто относительно четырех арифметических операций
т.е. сумма, разность, произведение, частное (кроме частного при делении на 0, которое не имеет смысла) любых двух положительных рациональных чисел является положительным рациональным числом.

Чтобы число выразить в процентах, нужно число умножить на 100 и приписать знак %.

25 · 40 % = 25 · 0,4 = 10 (уч.)

1.Нахождение процентов от числа

2.Нахождение числа по данному значению процентов

10 : 40% = 10 : 0,4= 100 : 4 = 25 (уч.)

2. Согласованность операций,
т.е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел.

24
4

2

0,

8

4

48
0

Деление

2) 542,6 : 102 = 5,426

3) 5,4 : 103 = 0,0054

Каждое положительное рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Преобразование бесконечной периодической дроби в обыкновенную

Пример: 5,33… = 5,(3) =

К периодическим десятичным дробям можно отнести все конечные десятичные дроби, как дроби, имеющие в периоде число 0.