Пределы. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности презентация

Числовая последовательность

общий или n-ый член числовой
последовательности

Пример числовой последовательности

Определение

Предел числовой последовательности

- окрестность точки

Определение

В этом случае записывают, что или
при
Последовательность, имеющая предел называется
сходящейся, в противном случае расходящейся

Геометрический смысл определения

Функции действительного аргумента

Определение

Пусть X и Y – некоторые непустые множества

Множество X – область определения функции
Y – множество значений функции

Если элементы множеств X и Y являются действительными числами, то функция f называется числовой или функцией действительного аргумента

Способы задания функции:
аналитический, табличный, графический, словесный

Предел функции

Определение

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0

В этом случае записывают, что .

Пусть функция y=f(x) определена на всей числовой прямой .

Определение

В этом случае записывают, что .

Число А1 называется пределом функции y=f(x) в точке
x0 слева , если

Односторонние пределы

Предел функции слева

Односторонние пределы вводят в рассмотрение, когда важен способ приближения x к x0

Предел функции справа

Бесконечно большие функции

Определение

В этом случае записывают, что .

Бесконечно малые функции

В этом случае записывают, что .

Определение

- ограниченная функция

1

2

3

Если функция является бесконечно малой при
( ) и , то функция
является бесконечно большой при ( )

Теорема о связи б.б.ф. и б.м.ф.

Теорема

Обратная теорема

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема

Обратная теорема

Если функцию y=f(x) в окрестности точки x0 можно
представить в виде суммы числа А и бесконечно
малой функции при ( ), то число А
является пределом функции f(x) при ( )

Теорема 1

Пусть f(x) и g(x) – функции, для которых существуют пределы

Аналогично при

Следствие

Функция может иметь только один предел при

Теорема 2

о пределе монотонной
функции

Эта теорема справедлива и для последовательности

3)

при

~ x

при

  sin 3x ~3 x, при

  tg 6x ~ 6x, при

Определение 2

приращение аргумента

приращение функции

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 , если:
эта функция определена в точке x0 и ее окрестности ;

2.

Элементарные функции непрерывны во всех точках,

в которых они определены

С – постоянная

- степенная

- показательная

- логарифмическая

тригонометрические

Классификация точек разрыва

Точки разрыва

I рода

II рода

точки устранимого разрыва

точки скачка

Определение 2

Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода,
если по крайней мере один из односторонних пределов в этой
точке

не существует или равен

Функция имеет

устранимый разрыв в точке 0

x

y

2

x

y

Функция имеет

скачок в точке 2

-1

5

- скачок

Функция имеет
разрыв II рода в точке 2

x

y

непрерывная
функция в точке x0

непрерывная
функция в точке x0

m

M

- наименьшее значение m

- наибольшее значение M

Теорема Вейерштрасса

Теорема Больцано-Коши

a

b

c

A

B

C

f(a)

f(b)

f(c)

c