называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:
1
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного презентация
Содержание
- 1. Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного
- 2. Число S называется суммой ряда:
- 3. Ряд (1) сходится тогда и только
- 4. Таким образом, из сходимости последовательности комплексных чисел
- 5. Ряд (1) сходится абсолютно, если сходится
- 6. 1. Показательная и тригонометрические функции
- 7. Воспользуемся известными разложениями в ряд функций действительного
- 8. 3 4
- 9. Ряды, стоящие в правой части равенств, сходятся,
- 10. Найдем связь между этими функциями. Подставим
- 11. Складываем почленно полученное равенство с равенством (2):
- 12. формула Эйлера
- 13. Если в формуле Эйлера заменить z на
- 14. Эти формулы позволяют вычислять значения тригонометрических функций
- 15. Получим выражение, позволяющее вычислять значения показательной функции
- 16. Тогда и одно из значений аргумента равно у:
- 17. Пример. Вычислить 1 2 3 4
- 18. Решение. 1 2 3
- 19. 4
- 20. Из равенства следует периодичность функции с периодом 2Пi:
- 21. В частности: Поскольку показательная функция имеет
- 22. Между тригонометрическими функциями сохраняются связывающие их тождества.
Слайд 122.4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Ряд с комплексными
членами
Слайд 3
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
составленный из
действительных частей членов ряда (1), и ряд
составленный из мнимых частей членов ряда (1).
Слайд 4Таким образом, из сходимости последовательности комплексных чисел следует сходимость двух последовательностей,
одна из которых состоит из действительных, а другая – из мнимых частей комплексной последовательности.
Если
Если
то
Слайд 5
Ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд
Определение суммы, разности, произведения рядов
с комплексными членами такие же, как и для рядов с действительными членами.
Слайд 61. Показательная и
тригонометрические функции
Когда показатель степени является комплексным числом,
определение степени
вводимое в алгебре, теряет смысл. Аналогично, известные из тригонометрии функции
теряют смысл при комплексном аргументе z.
Слайд 7Воспользуемся известными разложениями в ряд функций действительного аргумента
и определим их для
комплексного аргумента:
2
Слайд 9Ряды, стоящие в правой части равенств, сходятся, и притом абсолютно, при
любом комплексном значении z. Поэтому эти равенства определяют функции
во всей плоскости комплексного переменного.
При действительных значениях z эти функции будут совпадать с функциями, определенными ранее в курсе математического анализа.
Слайд 10Найдем связь между этими функциями.
Подставим в разложение (2) вместо z
величину iz.
Умножим почленно равенство (3) на i:
5
Слайд 11Складываем почленно полученное равенство с равенством (2):
Правые части этого равенства и
равенства (5) равны, следовательно можно приравнять их левые части:
Слайд 13Если в формуле Эйлера заменить z на –z, то
Складывая и вычитая
почленно последние два равенства, получаем:
Слайд 14Эти формулы позволяют вычислять значения тригонометрических функций с комплексным аргументом.
С помощью
формулы Эйлера можно перейти от тригонометрической формы комплексного числа к показательной:
показательная форма
комплексного числа
Слайд 15Получим выражение, позволяющее вычислять значения показательной функции при любом комплексном значении
показателя.
Т.к.
Т.к.
то
По формуле Эйлера
следовательно
Слайд 21В частности:
Поскольку показательная функция имеет период 2Пi, то и функции
тоже
будут периодичными с периодом 2П:
Слайд 22Между тригонометрическими функциями сохраняются связывающие их тождества.
Поскольку функции sinz и
cosz определены, можно задать функции tgz и ctgz для комплексного аргумента:
