Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного презентация

Содержание

Число S называется суммой ряда:

Слайд 122.4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Ряд с комплексными

членами

называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм:

1


Слайд 2Число S называется суммой ряда:


Слайд 3
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
составленный из

действительных частей членов ряда (1), и ряд

составленный из мнимых частей членов ряда (1).


Слайд 4Таким образом, из сходимости последовательности комплексных чисел следует сходимость двух последовательностей,

одна из которых состоит из действительных, а другая – из мнимых частей комплексной последовательности.
Если

то


Слайд 5
Ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд
Определение суммы, разности, произведения рядов

с комплексными членами такие же, как и для рядов с действительными членами.

Слайд 61. Показательная и тригонометрические функции
Когда показатель степени является комплексным числом,

определение степени

вводимое в алгебре, теряет смысл. Аналогично, известные из тригонометрии функции

теряют смысл при комплексном аргументе z.


Слайд 7Воспользуемся известными разложениями в ряд функций действительного аргумента
и определим их для

комплексного аргумента:


2


Слайд 9Ряды, стоящие в правой части равенств, сходятся, и притом абсолютно, при

любом комплексном значении z. Поэтому эти равенства определяют функции

во всей плоскости комплексного переменного.
При действительных значениях z эти функции будут совпадать с функциями, определенными ранее в курсе математического анализа.


Слайд 10Найдем связь между этими функциями.
Подставим в разложение (2) вместо z

величину iz.

Умножим почленно равенство (3) на i:

5


Слайд 11Складываем почленно полученное равенство с равенством (2):
Правые части этого равенства и

равенства (5) равны, следовательно можно приравнять их левые части:

Слайд 12
формула Эйлера


Слайд 13Если в формуле Эйлера заменить z на –z, то
Складывая и вычитая

почленно последние два равенства, получаем:




Слайд 14Эти формулы позволяют вычислять значения тригонометрических функций с комплексным аргументом.
С помощью

формулы Эйлера можно перейти от тригонометрической формы комплексного числа к показательной:


показательная форма комплексного числа


Слайд 15Получим выражение, позволяющее вычислять значения показательной функции при любом комплексном значении

показателя.
Т.к.

то

По формуле Эйлера

следовательно


Слайд 16
Тогда

и одно из значений аргумента равно у:


Слайд 17Пример.

Вычислить
1
2
3
4


Слайд 18Решение.
1
2
3


Слайд 20Из равенства
следует периодичность функции
с периодом 2Пi:


Слайд 21В частности:
Поскольку показательная функция имеет период 2Пi, то и функции
тоже

будут периодичными с периодом 2П:

Слайд 22Между тригонометрическими функциями сохраняются связывающие их тождества.
Поскольку функции sinz и

cosz определены, можно задать функции tgz и ctgz для комплексного аргумента:




Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика