Презентация на тему Относительная частота наступления события

Презентация на тему Относительная частота наступления события, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 21 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Если вероятность случайного события очень мала, т.е. близка к нулю, то она называется уровнем значимости и обозначается α.

Относительная частота наступления события

Кроме классической вероятности применяется статистическая веро-ятность, которая называется отно-сительной частотой наступления события.


Слайд 2
Текст слайда:

Пусть в n испытаниях событие A наступило m раз. Тогда относи-тельная частота наступления со-бытия

(частость) равна

В отличие от классической вероят-ности частость вычисляется после проведения испытаний по их ре-зультатам и

0 ≤ w(A) ≤ 1.



Пример. Было проведено обследова-ние 50 деталей, изготовленных брига-дой. Из них 2 детали оказались брако-ванными. Относительная частота бра-кованных деталей в данной бригаде


Слайд 3
Текст слайда:

Действия над событиями

Определение 13. Суммой двух событий A и B называется событие

C = A + B,

которое состоит в наступлении либо A, либо B, либо и A, и B одновремен-но. Например,

A= студент проспит ,



B= студент застрянет в «пробке» ,



C= студент опоздает на лекцию ,



тогда C = A + B.

Определение 14. Произведением двух событий A и B называется


Слайд 4
Текст слайда:

событие C=A•B, которое состоит в совместном наступлении и A, и B.

Например,

A= вещь нравится ,





B= покупатель платежеспособен ,

C= вещь будет куплена , тогда



C = A•B.

Аналогично выполняются сложение и умножение n событий.




Пример. B1= математика – “5” ,

B2= микроэкономика - “5” ,



B3= политология - “5” ,



A = сессия – на “5” .



Тогда
A = B1•B2•B3.


Слайд 5
Текст слайда:

Сумме событий соответствует ло-гический союз “ или “, а произве-дению событий - союз “ и “.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных собы-тий, безразлично какого, равна сум-ме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A или B) = P(A) + P(B)

Пример. Для данного студента вероятность пообедать в кафе равна 0.3, а в студенческой столовой 0.5.

Какова вероятность того, что студенту удастся пообедать?


Слайд 6
Текст слайда:

Дано:

P(A)=0.3

P(B)=0.5

P(C)= ?

A= обед в кафе ,



B= обед в столовой ,



C= удастся пообедать .



P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8

Следствие 1. Вероятность появле-ния одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P(B1+B2+…+Bn)=P(B1)+P(B2)+…+P(Bn)

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную груп-пу, равна 1.

P(B1)+P(B2)+…+P(Bn)=1.


Слайд 7
Текст слайда:

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

P(A + A) = P(A) + P(A) = 1.

Пусть P(A) = p, P(A) =q, тогда

p + q =1 или q = 1 – p.

Пример: Пусть А = {попадание}

Тогда А = {промах}.

Р(А) = p = 0.8

P(A) = q.

q = 1- p = 0.2.

Зависимые и независимые события

Определение 1. Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из событий зависит от появления или не появления другого события.


Слайд 8
Текст слайда:

Определение 2. Вероятность появ-ления события А, вычисленная в предположении, что событие B произошло, называется условной вероятностью события А и обозна-чается Р(А | В).

Определение 3. Два события назы-ваются независимыми, если вероят-ность появления одного из них не зависит от появления или не появ-ления другого.

Если события А и В независимы, то Р(А | В) = Р(А).

Пример. В ящике 12 черных и шесть белых шаров. Последовательно извлекаются два шара. Первый шар – черный. Найти вероятность того, что вторым будет извлечен белый шар.


Слайд 9
Текст слайда:

Дано:

М1= 12.
М2= 6.
N = 18

P(B | A) = ?

Решение

а) схема возвращенного
шара.

А = {черный шар}

В = {белый шар}

P(A) = 12/18 = 2/3

События независимы.

P(B | A) = P(B) = 6/18 = 1/3.

б) схема не возвращенного шара.

P(B | A) = 6/17.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Теорема. Вероятность совместного наступления двух зависимых со-бытий равна произведению вероят-


Слайд 10
Текст слайда:

ности одного события на условную вероятность другого:

P(AB)=P(A)P(B | A)=P(B)P(A | B).

Дано: А={1-я карта – червы},
P(A)=9/36, B={2-я карта – червы},

P(B|A)=8/35 P(AB) = P(A)P(B | A) =

P(AB)=? =9/36•8/35= 2/35.

Теорема умножения вероятностей трех зависимых событий A, B и C:
P(ABC)= P(A)P(B | A)P(C | AB).

Теорема умножения вероятностей независимых событий



Слайд 11
Текст слайда:

Пусть события A и B совместны и независимы.

Теорема. Вероятность совместного наступления двух независимых со-бытий равна произведению вероят-
ностей этих событий:

P(AB) = P(A)P(B).

Пример. Для студентки Умновой вероятность сдать на “5” экзамен по математике равна 0.9, а по микро-экономике – 0.8. Найти вероятность того, что оба экзамена Умнова сдаст на “5”.

P(A)=0.9 B={микроэкономика –“5”}

Дано: A= {математика - “5”},

P(B)=0.8 P(AB) = P(A)P(B) = P(AB)=? =0.9•08 = 0.72.



Слайд 12
Текст слайда:

Теорема умножения вероятностей для n независимых событий:
P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)•…•P(An)

Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB),

причем, если A и B– независимы, то
P(AB) = P(A)P(B),

а если зависимы, то
P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).



Слайд 13
Текст слайда:

Задача. Вероятность испачкать платье равна 0.4, а вероятность

порвать платье равна 0.3. Найти вероятность того, что платье нельзя носить.

P(A)=0.4 B ={порвать платье},

Дано: A ={испачкать платье},

P(B)=0.3 События A и B совмест-
P(A+B)=? ны и независимы.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) = =0.4 + 0.3 – 0.4•0.3 = 0.58.

Вероятность появления хотя
бы одного события

P(Ai) = pi, (i = 1,n) .

Рассмотрим n независимых собы-тий A1, A2,…, An, вероятности появ-ления которых


Слайд 14
Текст слайда:

Тогда вероятности противополож-ных событий равны

P(Ai) = qi, где pi + qi = 1.

Событие
B ={хотя бы одно из Ai наступит},

Тогда

B ={ни одно из Ai не произойдет}.

B = A1•A2•…•An, то

Так как

P(B)=P(A1)P(A2)•…•P(An) =
= q1q2•…•qn

P(B) = 1 – P(B) = 1 - q1q2•…•qn.

Следствие. Если события Ai равно-возможны, то q1= q2=…= qn= q.



Слайд 15
Текст слайда:

Отсюда
P(B) = 1 – qn.

Задача. Для данного стрелка вероят-ность попасть в мишень при первой попытке равна 0.7, при второй попытке – 0.8, при третьей - 0.6, а всего даются три попытки. Определить вероятность того, что данный стрелок хотя бы один раз попадет в мишень.

Дано:

p1=0.7, q1=0.3 B={хотя бы один раз}

p2=0.8, q2=0.2 P(B) = 1 – q1q2q3 =

p3=0.6, q3=0.4 =1 – 0.3•0.2•0.4=0.976

P(B) = ?



Слайд 16
Текст слайда:

Формула полной вероятности

Рассмотрим n элементарных собы-тий B1,B2,…,Bn, несовместных и единственно возможных, т. е. Обра-зующих полную группу событий.

Тогда Σ P(Bi) = 1.

Событие A может появиться при наступлении одного из событий Bi.
Тогда события Bi называются

гипотезами. Известны вероятности гипотез P(Bi) и условные вероятнос-ти P(A/Bi). Требуется найти вероят-ность события A.

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить при усло-вии появления одного из событий Bi,


Слайд 17
Текст слайда:

образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

P(A) = Σ P(Bi)P(A | Bi). (*)

Задача. Одну и ту же операцию вы-полняют рабочие 5-го, 4-го и 3-го разрядов. В бригаде из 10 человек двое имеют 5-й разряд, пятеро – 4-й и трое – 3-й разряд. Рабочие 5–го

разряда допускают 1% брака, 4-го – 2%, 3–го разряда – 4%. Определить вероятность того, что изготовленная этой бригадой деталь окажется годной.



Слайд 18
Текст слайда:

N=10, B2={4-й разряд},

Дано: B1={5-й разряд},

M1=2, B3={3-й разряд},
M2=5, M3= 3, A={деталь годная},

P(A|B1)=0.99, P(B1)=2/10= 0.2,
P(A|B2)=0.98, P(B2)=5/10= 0.5,
P(A|B3)=0.96, P(B3)=3/10= 0.3,

P(A) = ?

Σ P(Bi) = 1.

P(A)=P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A|B2) +
+ P(B3)P(A|B3)=0.2•0.99 + 0.5•0.98 +
+ 0.3•0.96 = 0.976.

Формула (*) называется формулой полной вероятности, она применя-ется для вычисления P(A) до наступления события A.


Слайд 19
Текст слайда:

Формула Байеса

Пусть событие A может наступить при появлении одного из событий (гипотез) Bi, образующих полную

группу (i = 1,n). Предположим, что в результате испытания событие A наступило. События A и Bi – зависи-мы, поэтому, наступив, событие A может изменить вероятности

гипотез Bi. Условные вероятности гипотез P(Bi/A) определяются формулой Байеса:

Формула Байеса применяется после наступления события A.



Слайд 20
Текст слайда:

Задача. Вернемся к условиям пре-дыдущей задачи. Пусть наудачу взятая деталь оказалась годной (т.е. событие A наступило). Какова веро-ятность того, что эта деталь изготов-лена рабочим 3-го разряда.

=(0.3•0.96)/0.976 = 0.295.


Слайд 21
Текст слайда:

Задача. В компании есть 10% управленческого персонала, 30% технического персонала и 60% других категорий. В конкретный год вероятность продвижения по службе в этих категориях составляют 0.6, 0.2 и 0.05 соответственно. Учитывая, что какого–то сотрудника точно повысили, найдите вероятность того, что повышен был менеджер (сотрудник управляющего персонала).


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика