Относительная частота наступления события презентация

она называется уровнем значимости и обозначается α.

Относительная частота наступления события

Кроме классической вероятности применяется статистическая веро-ятность, которая называется отно-сительной частотой наступления события.

раз. Тогда относи-тельная частота наступления со-бытия

(частость) равна

В отличие от классической вероят-ности частость вычисляется после проведения испытаний по их ре-зультатам и

0 ≤ w(A) ≤ 1.

Пример. Было проведено обследова-ние 50 деталей, изготовленных брига-дой. Из них 2 детали оказались брако-ванными. Относительная частота бра-кованных деталей в данной бригаде

называется событие

C = A + B,

которое состоит в наступлении либо A, либо B, либо и A, и B одновремен-но. Например,

A= студент проспит ,

B= студент застрянет в «пробке» ,

C= студент опоздает на лекцию ,

тогда C = A + B.

Определение 14. Произведением двух событий A и B называется

A= вещь нравится ,

B= покупатель платежеспособен ,

C= вещь будет куплена , тогда

C = A•B.

Аналогично выполняются сложение и умножение n событий.

Пример. B1= математика – “5” ,

B2= микроэкономика - “5” ,

B3= политология - “5” ,

A = сессия – на “5” .

Тогда
A = B1•B2•B3.

- союз “ и “.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных собы-тий, безразлично какого, равна сум-ме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A или B) = P(A) + P(B)

Пример. Для данного студента вероятность пообедать в кафе равна 0.3, а в студенческой столовой 0.5.

Какова вероятность того, что студенту удастся пообедать?

,

B= обед в столовой ,

C= удастся пообедать .

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8

Следствие 1. Вероятность появле-ния одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P(B1+B2+…+Bn)=P(B1)+P(B2)+…+P(Bn)

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную груп-пу, равна 1.

P(B1)+P(B2)+…+P(Bn)=1.

= P(A) + P(A) = 1.

Пусть P(A) = p, P(A) =q, тогда

p + q =1 или q = 1 – p.

Пример: Пусть А = {попадание}

Тогда А = {промах}.

Р(А) = p = 0.8

P(A) = q.

q = 1- p = 0.2.

Зависимые и независимые события

Определение 1. Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из событий зависит от появления или не появления другого события.

B произошло, называется условной вероятностью события А и обозна-чается Р(А | В).

Определение 3. Два события назы-ваются независимыми, если вероят-ность появления одного из них не зависит от появления или не появ-ления другого.

Если события А и В независимы, то Р(А | В) = Р(А).

Пример. В ящике 12 черных и шесть белых шаров. Последовательно извлекаются два шара. Первый шар – черный. Найти вероятность того, что вторым будет извлечен белый шар.

схема возвращенного
шара.

А = {черный шар}

В = {белый шар}

P(A) = 12/18 = 2/3

События независимы.

P(B | A) = P(B) = 6/18 = 1/3.

б) схема не возвращенного шара.

P(B | A) = 6/17.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Теорема. Вероятность совместного наступления двух зависимых со-бытий равна произведению вероят-

Дано: А={1-я карта – червы},
P(A)=9/36, B={2-я карта – червы},

P(B|A)=8/35 P(AB) = P(A)P(B | A) =

P(AB)=? =9/36•8/35= 2/35.

Теорема умножения вероятностей трех зависимых событий A, B и C:
P(ABC)= P(A)P(B | A)P(C | AB).

Теорема умножения вероятностей независимых событий

двух независимых со-бытий равна произведению вероят-
ностей этих событий:

P(AB) = P(A)P(B).

Пример. Для студентки Умновой вероятность сдать на “5” экзамен по математике равна 0.9, а по микро-экономике – 0.8. Найти вероятность того, что оба экзамена Умнова сдаст на “5”.

P(A)=0.9 B={микроэкономика –“5”}

Дано: A= {математика - “5”},

P(B)=0.8 P(AB) = P(A)P(B) = P(AB)=? =0.9•08 = 0.72.

совместных событий

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB),

причем, если A и B– независимы, то
P(AB) = P(A)P(B),

а если зависимы, то
P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).

0.3. Найти вероятность того, что платье нельзя носить.

P(A)=0.4 B ={порвать платье},

Дано: A ={испачкать платье},

P(B)=0.3 События A и B совмест-
P(A+B)=? ны и независимы.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) = =0.4 + 0.3 – 0.4•0.3 = 0.58.

Вероятность появления хотя
бы одного события

P(Ai) = pi, (i = 1,n) .

Рассмотрим n независимых собы-тий A1, A2,…, An, вероятности появ-ления которых

+ qi = 1.

Событие
B ={хотя бы одно из Ai наступит},

Тогда

B ={ни одно из Ai не произойдет}.

B = A1•A2•…•An, то

Так как

P(B)=P(A1)P(A2)•…•P(An) =
= q1q2•…•qn

P(B) = 1 – P(B) = 1 - q1q2•…•qn.

Следствие. Если события Ai равно-возможны, то q1= q2=…= qn= q.

в мишень при первой попытке равна 0.7, при второй попытке – 0.8, при третьей - 0.6, а всего даются три попытки. Определить вероятность того, что данный стрелок хотя бы один раз попадет в мишень.

Дано:

p1=0.7, q1=0.3 B={хотя бы один раз}

p2=0.8, q2=0.2 P(B) = 1 – q1q2q3 =

p3=0.6, q3=0.4 =1 – 0.3•0.2•0.4=0.976

P(B) = ?

т. е. Обра-зующих полную группу событий.

Тогда Σ P(Bi) = 1.

Событие A может появиться при наступлении одного из событий Bi.
Тогда события Bi называются

гипотезами. Известны вероятности гипотез P(Bi) и условные вероятнос-ти P(A/Bi). Требуется найти вероят-ность события A.

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить при усло-вии появления одного из событий Bi,

условную вероятность события A:

P(A) = Σ P(Bi)P(A | Bi). (*)

Задача. Одну и ту же операцию вы-полняют рабочие 5-го, 4-го и 3-го разрядов. В бригаде из 10 человек двое имеют 5-й разряд, пятеро – 4-й и трое – 3-й разряд. Рабочие 5–го

разряда допускают 1% брака, 4-го – 2%, 3–го разряда – 4%. Определить вероятность того, что изготовленная этой бригадой деталь окажется годной.

разряд},

Дано: B1={5-й разряд},

M1=2, B3={3-й разряд},
M2=5, M3= 3, A={деталь годная},

P(A|B1)=0.99, P(B1)=2/10= 0.2,
P(A|B2)=0.98, P(B2)=5/10= 0.5,
P(A|B3)=0.96, P(B3)=3/10= 0.3,

P(A) = ?

Σ P(Bi) = 1.

P(A)=P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A|B2) +
+ P(B3)P(A|B3)=0.2•0.99 + 0.5•0.98 +
+ 0.3•0.96 = 0.976.

Формула (*) называется формулой полной вероятности, она применя-ется для вычисления P(A) до наступления события A.

событий (гипотез) Bi, образующих полную

группу (i = 1,n). Предположим, что в результате испытания событие A наступило. События A и Bi – зависи-мы, поэтому, наступив, событие A может изменить вероятности

гипотез Bi. Условные вероятности гипотез P(Bi/A) определяются формулой Байеса:

Формула Байеса применяется после наступления события A.

годной (т.е. событие A наступило). Какова веро-ятность того, что эта деталь изготов-лена рабочим 3-го разряда.

=(0.3•0.96)/0.976 = 0.295.

60% других категорий. В конкретный год вероятность продвижения по службе в этих категориях составляют 0.6, 0.2 и 0.05 соответственно. Учитывая, что какого–то сотрудника точно повысили, найдите вероятность того, что повышен был менеджер (сотрудник управляющего персонала).