Основы теории ошибок измерений. Виды измерений и погрешностей презентация

Виды измерений и погрешностей

Виды измерений классифицируются:
– по способу получения результата (прямые и косвенные);
– по методу измерений (абсолютные, относительные и пороговые);
– по условиям измерений (равноточные, неравноточные);
– по степени достаточности измерений (необходимые, избыточные)

Например, ускорение автомобиля при разгоне определяется по результатам измерения расстояния и времени разгона; вычисление плотности – по массе и объему

Абсолютные измерения – это прямые измерения в единицах измеряемой величины

Относительные измерения представляют собой отношения измеряемой величины к величине играющей роль единицы или к величине, принимаемой за исходную

При пороговых измерениях фиксируется только факт нахождения величины в одностороннем или двухстороннем допуске (по принципу "да/нет")

Неравноточные измерения не отвечают указанным выше требованиям

Избыточные измерения имеют по сравнению с необходимыми большее число измерений либо большую точность, содержат среди измерений зависимые, т. е. дают избыточную информацию

Надежность результатов исследования в значительной степени зависит от точности измерений
Под точностью измерений понимают степень соответствия результата измерения действительному значению измеряемой величины

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины

Под истинным значением измеряемой величины принято считать

– среднюю арифметическую величину ряда измерений;
– известное эталонное значение;
– величину, полученную в результате более точных (не менее чем на порядок) измерений

Второй источник – измерительное устройство, в котором возможны погрешности из-за неправильного функционирования его механических или электрических элементов

Третий источник – сам наблюдатель, который из-за неопытности или усталости неправильно считывает показания прибора

Ошибки могут возникнуть из-за влияния измерительного устройства на объект измерения (например, при разрушающем методе контроля), влияния окружающей среды (температура, загазованность и т. п.), методических погрешностей, допущенных экспериментатором

Случайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей

Эти источники ошибок приводят к появлению трех типов ошибок: случайных, систематических и грубых

В качестве примера систематической ошибки рассмотрим случай взвешивания на чашечных весах с помощью неточных гирь. Если взятая нами гиря имеет ошибку, скажем 0,1 г, то вес тела (пусть 1000 г) будет завышенным (или заниженным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычтя из него) 0,1 г, P=(1000±0,1) г

Грубая погрешность или промах вызывается просчетом экспериментатора или неисправностью средств измерения, или резко изменившимися внешними условиями

Грубые погрешности приводят к явному искажению рез-та, поэтому их надо исключить из общего числа измерений

где x – результат измерения; a – истинное значение

По форме числового представления погрешности делятся на абсолютные и относительные

Относительная погрешность – это погрешность, приходящаяся на единицу измеренной величины; она обычно выражается в процентах

Случайные погрешности и их распределение

Если каждое измерение дает заметные от других результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль

Наиболее вероятным значением измеряемой величины из серии измерений является ее среднее значение

Разброс измеряемой величины относительно ее среднего значения определяется величиной средней квадратической погрешности отдельного измерения

Пусть в эксперименте в результате независимых и равноточных измерений постоянной величины получены значения х1, х2, …, хn

В качестве оценки неизвестной величины по данным измерений обычно берут среднее арифметическое результатов измерений

Независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин , а равноточность – как подчинение величин одному и тому же закону распределения (кроме того измерения сделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности)

Дисперсия отдельных измерений

обычно неизвестна, и для ее оценки используется величина

называется коэффициентом вариации

Обычно принимается, что погрешности подчиняются нормальному закону распределения случайных величин

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

3) частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величин погрешностей

Эти предположения приводят к закону распределения погрешностей, описываемому формулой Гаусса:

Форма кривых Гаусса зависит от величин . Чем больше , тем больше рассеивание случайной погрешности

Закон сложения случайных ошибок

Если Z является суммой не двух, а большего числа слагаемых, то закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

или

Для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты

Пример: пусть X и Y – два слагаемых, определенных со средними квадратичными ошибками и , причем, известно, что В два раза меньше, чем . Тогда ошибка суммы будет

Из закона сложения ошибок следуют два чрезвычайно важных вывода

В первую очередь надо уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину

Если нужная величина Z является разностью двух независимо измеряемых величин X и Y, то из выражения для среднего значения следует, что ее относительная погрешность

Невозможно добиться хорошей точности измерений какой-либо величины, строя измерения так, что она находится как небольшая разность результатов независимых измерений двух величин, существенно превышающих искомую. В противоположность этому относительная погрешность суммы

очевидно, не зависит от соотношения величин X и Y

согласно закону сложения случайных погрешностей

– средняя квадратичная погрешность отдельного измерения

Cреднеарифметическое ряда измерений

Это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой

При практической работе очень важно строго разграничивать применение средней квадратичной ошибки отдельного измерения и средней квадратичной среднего арифметического

применяется всегда, когда нужно оценить погрешность того числа, которое получили в результате всех произведенных измерений

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Вероятность называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности. Интервал значений от до называется доверительным интервалом

или

При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95

Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень надежности, иногда задают доверительную вероятность 0,997

Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соответствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0,68. (Здесь и дальше полагаем, что ошибки распределены по нормальному закону)

Определение доверительного интервала и доверительной вероятности

При определении среднеквадратичной ошибки из малого числа наблюдений находим последнюю с малой точностью

Заменяя на , мы уменьшаем надежность нашей оценки. Чтобы учесть это обстоятельство, будем записывать вероятность через коэф. Стьюдента, найденные по

Их можно разделить на четыре группы:

1. Погрешности, природа которых нам известна, и их величина может быть достаточно точно определена

Такие ошибки могут быть устранены введением соотв-щих поправок. Источники таких ошибок нужно тщательно анализировать, величины поправок определять и учитывать в окончательном результате

ПРАВИЛО: если поправка не превышает 0,005 от средней квадратической ошибки результата измерений , то ею следует пренебречь

Электроизмерительные приборы характеризуются обычно классом точности в пределах от 0,05 до 4. Менее точные приборы обозначения класса не имеют

Максимальные погрешности, даваемые измерительными линейками, микрометрами и некоторыми другими приборами, иногда наносят на самом приборе, иногда указывают в прилагаемом к нему паспорте. Обычно дается наибольшая абсолютная погрешность, которую вынуждены считать постоянной по всей шкале прибора, если последний не сопровождается специальной таблицей поправок для каждого деления шкалы. Последняя прилагается только к наиболее точным измерительным приборам

Эта группа систематических ошибок самая опасная. Это − ошибки, о существовании которых мы не подозреваем, но их величина может быть значительной. Они чаще всего проявляются при сложных измерениях, и иногда бывает, что какая-нибудь величина, которая считается определенной с точностью, например, до 2 − 3%, в действительности оказывается в 2 раза больше измеренного значения

Систематическая ошибка, связанная со свойствами измеряемого объекта, часто может быть переведена в случайную. Перевод систематических ошибок в случайные часто оказывается полезным, так как позволяет улучшить точность получаемых результатов

Можно перевести систематическую ошибку в случайную, организовав измерения таким образом, что постоянный фактор, влияющий на результат измерений, в каждом из них действует разным образом, т.е. результат его действий носит случайный характер. Этот прием называется рандомизацией. Он позволяет практически исключить многие неизвестные систематические ошибки

Если известно точное значение , то вероятность появления значения, уклоняющегося от среднего арифметического более чем на 3 , равна 0,003; и все измерения, отличающиеся от на эту (или большую) величину, могут быть отброшены как очень маловероятные

Алгоритм определения грубых погрешностей

Пусть известен ряд измерений случайных величин:

Установим, есть ли среди этих значений измерения, проведенные с грубыми погрешностями (промахами)

По таблице оценки выскакивающих измерений, зная число измерений n и Vmax, находим вероятность β того, что данное измерение содержит случайную погрешность

Если случайная ошибка окажется меньше систематической, то очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной ошибки: все равно результаты измерений не станут от этого заметно точнее, и, желая получить большую точность, нужно искать пути к уменьшению систематической ошибки. Наоборот, если случайная ошибка больше систематической, то именно случайную ошибку нужно уменьшать в первую очередь

Для уменьшения случайной ошибки следует произвести ряд измерений, тем больший, чем меньшую величину случайной ошибки хотим получить. Но нет смысла производить измерений больше, чем это необходимо, чтобы систематическая ошибка существенно превышала случайную

2. Если случайная ошибка является определяющей, то измерения следует производить несколько раз. Число измерений целесообразно выбирать таким, чтобы случайная ошибка среднего арифметического была меньше систематической ошибки с тем, чтобы последняя опять определяла окончательную ошибку результата

Для уменьшения случайной ошибки результата могут быть использованы два пути: улучшение точности измерений, т.е. уменьшение величины σ, и увеличение числа измерений, т.е. использование соотношения

Уменьшать случайную ошибку целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был бы существенно меньше величины систематической ошибки. Иначе говоря,

Нет необходимости определять общую ошибку с точностью большей 10%.

Суммарная погрешность

Если систематическая и случайная погрешности измерений близки друг к другу, они обе в одинаковой степени определяют точность результата. Значение суммарных ошибок можно оценить так: обозначим величину систематической ошибки δ, дисперсию измерений – σ2, тогда в качестве верхней границы суммарной ошибки можно принять

Вопрос о сложении систематических и случайных ошибок актуален только тогда, когда одна из них не более чем в несколько раз превышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения следует указывать только большую ошибку

В той или иной мере ошибки Ι и ΙΙ рода всегда наблюдаются

Ввиду того, что ошибки Ι и ΙΙ рода всегда обусловлены многочисленными факторами, их количественные характеристики могут носить только статистический характер и задаваться как вероятности РI и РII

Методы графического изображения результатов измерений

Из неравномерных координатных сеток наиболее распространены полулогарифмические, логарифмические, вероятностные.
Назначение неравномерных сеток различное. В большинстве случаев их применяют для более наглядного изображения функций. Функция имеет различную форму на различных сетках. Так, многие криволинейные функции спрямляют на логарифмических сетках.

При графическом изображении результатов экспериментов большую роль играет выбор систем координат или координатной сетки. Координатные сетки бывают равномерными и неравномерными

Эмпирические формулы часто незаменимы для анализа измеренных величин. К эмпирическим формулам предъявляют два основных требования:
по возможности они должны быть наиболее простыми и
точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента

данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы

вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле

Метод выравнивания заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией

Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полу- или логарифмических координатных сетках, которые применяют при графическом методе подбора эмпирических формул

1. - степенная функция

Заменяя X = lgx и Y = lgy, имеем Y = lga + bX.
При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке

2. - показательная функция

Заменяя , имеем .