Полагаем, что все функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Метод множителей Лагранжа презентация
Содержание
- 1. Метод множителей Лагранжа
- 2. Для решения задачи построим функцию Лагранжа - называются множителями Лагранжа
- 3. Определим частные производные Приравняем
- 4. Всякое решение системы уравнений определяет точку в которой может иметь место экстремум функции F
- 5. Решения задачи методом Лагранжа включает следующие этапы:
- 6. Пример По плану производства продукции предприятию
- 7. Решение. Составим математическую модель задачи.
- 8. Составим функцию Лагранжа Вычислим частные производные функции L и приравняем их нулю.
- 9. Решая данную систему, получим
- 10. Метод множителей Лагранжа может быть применен и
- 11. Решение такой задачи находится в 2 этапа: Находят
- 12. Из всех решений системы выбираем только
- 13. Находят точки условного экстремума целевой функции F
- 14. В результате, на 1 и 2 этапе
- 15. Пример. Найти минимальное и максимальное значение функции При условиях
- 16. Решение Определим точки безусловного экстремума целевой
- 17. получим Так как 22+32=13
- 18. Строим функцию Лагранжа для случая, когда ограничение имеет вид
- 19. Вычислим частные производные функции L по и приравняем их к нулю.
- 20. Первое уравнение системы домножим на x2 ,
- 21. получаем два решения – две точки B(4,
Для решения задачи построим функцию Лагранжа - называются множителями Лагранжа
Слайд 1Метод множителей Лагранжа
Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования, предполагая,
что система ограничений содержит только уравнения:
Слайд 3Определим частные производные
Приравняем их к нулю. В результате получим систему
уравнений относительно n+m переменных.
Слайд 4Всякое решение системы уравнений определяет точку в которой может иметь место
экстремум функции F
Слайд 5Решения задачи методом Лагранжа включает следующие этапы:
Составляют функцию Лагранжа.
Находят частные производные
от функции Лагранжа по переменным и приравнивают их нулю.
Решают систему уравнений и находят все точки, в которых целевая функция F может иметь экстремум.
Среди найденных точек находят такие, в которых целевая функция F достигает максимального (минимального) значения
Решают систему уравнений и находят все точки, в которых целевая функция F может иметь экстремум.
Среди найденных точек находят такие, в которых целевая функция F достигает максимального (минимального) значения
Слайд 6Пример
По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий.
Эти
изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами.
При производстве изделий I способом затраты равны 4x1+x12
При изготовлении изделий II способом они составляют 8x2+x22
Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными
При производстве изделий I способом затраты равны 4x1+x12
При изготовлении изделий II способом они составляют 8x2+x22
Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными
Слайд 9Решая данную систему, получим
В этой точке может быть экстремум целевой
функции F. Используя вторые частные производные, можно показать, что в данной точке функция F имеет условный минимум
Если предприятие изготовит 91 изделие I способом и 89 изделий II способом, то общие затраты будут минимальными и составят 17278 руб
Слайд 10Метод множителей Лагранжа может быть применен и для случая, когда система
ограничений задачи нелинейного программирования содержит только неравенства
Слайд 11Решение такой задачи находится в 2 этапа:
Находят стационарные точки безусловного экстремума целевой
функции F
Для этого определяют частные производные функции F и приравнивают их к нулю.
В результате получают систему n уравнений относительно n переменных.
Для этого определяют частные производные функции F и приравнивают их к нулю.
В результате получают систему n уравнений относительно n переменных.
Слайд 12
Из всех решений системы выбираем только те точки , которые удовлетворяют
системе строгих неравенств:
Слайд 13Находят точки условного экстремума целевой функции F при условиях
Для этого
строят функцию Лагранжа
Находят частные производные от функции Лагранжа и приравнивают их нулю.
Решают систему n+m уравнений относительно n+m переменных
Слайд 14В результате, на 1 и 2 этапе находится множество точек, в
которых целевая функция F может иметь экстремальные значения.
Для определения максимального (минимального) значения целевой функции F необходимо вычислить значения этой функции в полученных точках
Для определения максимального (минимального) значения целевой функции F необходимо вычислить значения этой функции в полученных точках
Слайд 16Решение
Определим точки безусловного экстремума целевой функции F, лежащие внутри области.
Для
этого найдем частные производные функции F и приравняем их к нулю.
Слайд 20Первое уравнение системы домножим на x2 , второе уравнение x1 .
В результате получим:
Решая систему
Слайд 21получаем два решения – две точки B(4, 6) и C(-4, -6),
в которых целевая функция F может иметь экстремумы
Таким образом, минимальное значение целевой функции
достигается в точке A(2, 3),
максимальное значение
в точке C(-4, -6)
