Метод главных компонент презентация

Содержание

Предположим, что x – это вектор p случайных или детерминированных величин. Дисперсия этих величин и структуры ковариации или корреляции между переменными представляют для нас

Слайд 1Тема 3. МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ


Слайд 2





Предположим, что x – это вектор p случайных или детерминированных величин.


Дисперсия этих величин и структуры ковариации или корреляции между переменными представляют для нас интерес.
Если p мало или структура слишком проста, то зачастую бесполезно оценивать p дисперсий и все ½ p(p-1) корреляций и ковариаций.


Главные компоненты








Слайд 3


Поиск нового фактора



комбинации элементов , имеющей максимальную дисперсию

Главные

компоненты






Далее, ищется

исходных факторов, которая не коррелированна с z1 и имеет максимальную дисперсию, и так далее


линейная комбинация

Альтернативным вариантом является поиск таких комбинаций факторов, которые сохраняют большую часть информации/

— линейной


Слайд 4


Далее, ищется



исходных факторов, которая не коррелированна с

Главные компоненты





Главный смысл выделения

главных компонент заключается в том чтобы достаточно хорошо описать изменчивость x с помощью m главных компонент, где m<



— линейная комбинация


и имеет максимальную дисперсию, и т.д.


Слайд 5


50 наблюдений переменных x1 и x2.





Главные компоненты


Слайд 6


Комбинируя переменные, мы можем найти две комбинации имеющих разные дисперсии




Главные компоненты





Слайд 7


50 наблюдений переменных z1 и z2.




Главные компоненты


Слайд 8





Переменные x  можно достаточно хорошо описать с помощью первой главной компоненты.

Главные

компоненты











Если мы знаем значение переменной


то используя первое уравнение системы (1) получим

(1)



Слайд 9


Прогнозирование по главным компонентам




Главные компоненты


Слайд 10


Рассмотрим задачу поиска такой линейной комбинации



необходимо использовать метод множителей Лагранжа. Функция

Лагранжа имеет вид






Чтобы максимизировать

, которая максимизирует.




с учетом



Главные компоненты






дисперсию равной


Слайд 11


Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю градиента







Величина, которая

максимизируется, равна

Дифференцируем по




Главные компоненты









Слайд 12


Вторая комбинация

с сохранением некоррелированности с






максимизирует
При этом




, т.е.

В связи с

этим, любое из уравнений


может быть использовано для определения нулевой корреляции между 1 и 2 главными компонентами









,

,

Главные компоненты










Слайд 13


Опять используем множители Лагранжа. При этом функция Лагранжа равна



приводит к




а умножение

уравнения на

Дифференцирование по




дает




Главные компоненты








Слайд 14


Таким образом



вновь становятся




и
приводят к тому, что



собственным значением и собственным вектором

матрицы






Наши доказательства приведены для k=2, для k > 2 доказательство более сложное, но в целом выполняется по аналогичной схеме.

Главные компоненты





Слайд 15Расчет главных компонент



Ковариационная матрица определяется по формуле



Собственные векторы ковариационной матрицы

определяются из уравнения



Слайд 16


Формируется матрица собственных векторов, которым соответствуют наибольшие собственные значения





Расчет главных компонент



Слайд 17


На основе собственных векторов вычисляются главные компоненты


Расчет главных компонент


Слайд 18Пусть рынок акций описывается набором признаков
Курс доллара (USD)
Курс евро (EURO)
Индекс РТС

(RTC)
Цена на нефть Юралс (OIL)
Доходность ГКО-ОФЗ, % (GKO)
Межбанковская ставка, % (MB)


Анализ курса акций


Слайд 19
Анализ курса акций
Ковариационная матрица


Слайд 20
Анализ курса акций
Корреляционная матрица


Слайд 21





Анализ курса акций


Слайд 22








Первая главная компонента
Анализ курса акций


Слайд 23








Реконструкция курса доллара США по двум ГК
Анализ курса акций



Слайд 24


Пусть состояние динамической сис-темы описывается набором показателей








Модель динамической системы формируется

из p ( p<< n) главных компонент.






Прогнозирование методом главных компонент









Слайд 25


Таким образом, n показателей динамической системы зависят от p

главных компонент.
Сценарное прогнозирование заключается в задание сценария в виде изменения p показателей динамической системы и вычисление по этим сценарным показателям значений главных компонент














Прогнозирование методом главных компонент









Слайд 26


Жесткий алгоритм. В жестком алгоритме прогнозирование ведется по сценарию, который содержит

число показателей равное числу главных компонент модели.














Прогнозирование методом главных компонент










Слайд 27


Однако полученные главные компоненты не являются ортогональными ортогональности, т.е. ковариационная матрица

главных компонент не является диагональной. Поэтому используется процедура ортогонализации.














Прогнозирование методом главных компонент









Слайд 28


Мягкий алгоритм.
При использовании мягкого алгоритма число показателей в сценарии прогнозирования

может быть не равно числу главных компонент модели.














Прогнозирование методом главных компонент









Слайд 29


Шаг 1. Формируется учебная выборка, которая используется для вычисления матрицы весовых

коэффициентов главных компонент и матрицы главных компонент .
Шаг 2. Главные компоненты тестовой выборки вычисляются по сценарным значениям показателей














Прогнозирование методом главных компонент











Слайд 30


Шаг 3. Показатели динамической системы вычисляются по формуле













Прогнозирование методом главных

компонент









Шаг 4. Главные компоненты уточняются по формуле



Слайд 31Ошибки прогноза

Оценка ошибок прогноза


Среднее абсолютное отклонение (Mean Absolute Derivation, MAD)








Слайд 32Среднеквадратическая ошибка (Mean Squared Error, MSE)

Оценка ошибок прогноза


Средняя абсолютная ошибка

в процентах (Mean Absolute Percentage Error, МАРЕ)











Слайд 33Стандартная ошибка оценки

Оценка ошибок прогноза


Относительная среднеквадратическая ошибка










Слайд 34Рассматривается задача прогнозирование курсов валют. В качестве независимых переменных используются курс

китайского юаня, курс доллара США, курс Евро, цена на нефть.


Прогнозирование курсов валют


Слайд 35Для построения модели используем обучающую выборку, которая включает первые 700 наблюдений.


Весовые коэффициенты главных компонент


Прогнозирование курсов валют


Слайд 36Модель на основе первых двух главных компонент.
Полученная модель является двух

факторной, в связи с этим в качестве сценария будем использовать значения двух показателей цена на нефть и курс доллара
Ошибки прогноза (жесткий алгоритм)


Прогнозирование курсов валют


Слайд 37 Прогноз курса

юаня (жесткий алгоритм)


Прогнозирование курсов валют


Слайд 38 Прогноз курса

евро(жесткий алгоритм)


Прогнозирование курсов валют


Слайд 39Ошибки прогноза (мягкий алгоритм)

Прогнозирование курсов валют


Слайд 40

Прогноз курса юаня (мягкий алгоритм)


Прогнозирование курсов валют


Слайд 41

Прогноз курса евро(мягкий алгоритм)


Прогнозирование курсов валют


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика