- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы и определители презентация
Содержание
- 1. Матрицы и определители
- 2. Тема 1. Матрицы и определители §1. Понятие
- 3. Любая матрица, имеющая одинаковое число строк и
- 4. Важную роль в теории матриц играют следующие
- 5. треугольная матрица – квадратная матрица, в которой
- 6. cкалярная матрица – диагональная матрица, все элементы
- 7. Действия с матрицами 1. Две матрицы A=(aij)
- 8. 3. Операция умножения матрицы на число:
- 9. Пример. Найти матрицу C=2A+4B, если
- 10. 4. Операция умножения матрицы Am×n на матрицу
- 11. Тогда произведением матрицы A размера m×n со
- 12. Пример 1. Вычислить произведение матриц
- 13. Пример 2. Вычислить значение многочлена f(x)=3x2 −2x+5 от матрицы
- 14. Свойства операции умножения матриц:
- 15. 5. Транспонированием матрицы называется операция замены строк
- 16. Свойства операции транспонирования:
- 17. §2. Определители и их свойства Понятие определителя
- 18. Пример. Найти алгебраические дополнения матрицы третьего порядка.
- 19. Тогда
- 20. Определитель n-го порядка вводится по индукции аналогичным
- 21. Пример. Вычислить определитель матрицы
- 22. Свойства определителей: Определитель транспонированной матрицы равен
- 23. Часто определители удобно вычислять, используя их свойства.
- 24. §3. Обратная матрица Матрица B=A−1 называется обратной
- 25. Если для матрицы A существует обратная A−1,
- 26. Теорема. Если определитель матрицы A отличен от
- 27. Пример1. Найти обратную матрицу для
- 28. Пример2. Найти обратную матрицу для
- 29. Решение матричных уравнений С помощью обратной
- 30. Пример 1. Решить матричное уравнение A X B = C, где
- 31. Пример 2. Решить матричное уравнение
- 32. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- 33. Для отыскания обратной матрицы A−1 следует: 1)
- 34. Пример. Найти обратную матрицу A−1 для матрицы
- 35. Решение матричного уравнения методом элементарных преобразований Для
- 36. Для решения уравнения вида ХА= В следует:
- 37. Пример 2. Решить матричное уравнение
Тема 1. Матрицы и определители §1. Понятие матрицы. Действия с матрицами Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей строк и столбцов. Матрицу
Слайд 2Тема 1. Матрицы и определители
§1. Понятие матрицы. Действия с матрицами
Прямоугольной матрицей
размера m×n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей строк и столбцов.
Матрицу записывают в виде
Матрицу записывают в виде
Слайд 3Любая матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов (m=n), называется квадратной
матрицей порядка n.
Её элементы a11, a22,…, ann составляют главную диагональ,
а элементы a1n, a2 n-1,…,an1 − побочную диагональ.
При m=n=1 матрица состоит из одного числа и отождествляется с ним.
Её элементы a11, a22,…, ann составляют главную диагональ,
а элементы a1n, a2 n-1,…,an1 − побочную диагональ.
При m=n=1 матрица состоит из одного числа и отождествляется с ним.
Слайд 4Важную роль в теории матриц играют следующие частные виды матриц:
матрица-столбец (матрица
размера m×1)
матрица-строка (матрица размера 1×n)
ступенчатая матрица
матрица-строка (матрица размера 1×n)
ступенчатая матрица
Слайд 5треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы выше (ниже)
главной диагонали равны нулю
диагональная матрица – квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы главной диагонали
диагональная матрица – квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы главной диагонали
Слайд 6cкалярная матрица – диагональная матрица, все элементы которой равны (a11=a22=…=ann=λ)
единичная матрица
– скалярная матрица при λ=1
нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.
нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.
Слайд 7Действия с матрицами
1. Две матрицы A=(aij) и B=(bij) называются равными, если
они одного размера и соответствующие их элементы равны aij= bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
2. Сумма A+B матриц A и B одного размера m×n есть матрица C того же размера, где cij=aij+bij.
Свойства:
A+B=B+A;
(A+B)+C=A+(B+C).
2. Сумма A+B матриц A и B одного размера m×n есть матрица C того же размера, где cij=aij+bij.
Свойства:
A+B=B+A;
(A+B)+C=A+(B+C).
Слайд 83. Операция умножения матрицы на число: tA=At=(t aij).
Свойства операции:
t⋅(l⋅A)=(t⋅l)⋅A;
(t+l)⋅A=t⋅A+l⋅A;
t⋅(A+B)=t⋅A+t⋅B.
Слайд 104. Операция умножения матрицы Am×n на матрицу Bk×p определена только в
том случае, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, то есть n=k.
Определим первоначально умножение матрицы-строки на матрицу-столбец
Определим первоначально умножение матрицы-строки на матрицу-столбец
Слайд 11Тогда произведением матрицы A размера m×n со строками A1, A2,…, Am
на матрицу B размером n×p со столбцами B1, B2,…, Bp называется матрица размера m×p, элементы которой получаются следующим образом: каждая строка матрицы последовательно умножается на каждый столбец матрицы и записывается в i-ю строку и j-й столбец матрицы C, т.е. и
Слайд 155. Транспонированием матрицы называется операция замены строк матрицы её столбцами с
сохранением их номеров.
Например, если то
− транспонированная матрица.
Например, если то
− транспонированная матрица.
Слайд 17§2. Определители и их свойства
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц
и при n≥3 связано с понятием минора и алгебраического дополнения элемента матрицы А.
Минор Мij элемента aij матрицы A − определитель матрицы (n−1)-го порядка, полученной из данной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называют число Aij=(−1)i+jMij
Минор Мij элемента aij матрицы A − определитель матрицы (n−1)-го порядка, полученной из данной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называют число Aij=(−1)i+jMij
Слайд 20Определитель n-го порядка вводится по индукции аналогичным образом через определители (n−1)-го
порядка:
Краткая запись:
Краткая запись:
Слайд 22Свойства определителей:
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: det AT=det
A.
При перестановке местами двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Определитель не изменится, если к некоторой строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число λ.
При перестановке местами двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Определитель не изменится, если к некоторой строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число λ.
Слайд 23Часто определители удобно вычислять, используя их свойства. Например, определитель удобно разлагать
по строке (столбцу), содержащей нули, использовать пропорциональность строк (столбцов) и т.д.
Пример. Вычислить определитель
Пример. Вычислить определитель
Слайд 24§3. Обратная матрица
Матрица B=A−1 называется обратной к квадратной матрице A, если
A⋅A−1=A−1⋅A=E.
Замечание. Не для всякой матрицы существует обратная.
Например, пусть
Тогда
Матрица A не имеет обратной, так как A⋅A−1≠E.
Замечание. Не для всякой матрицы существует обратная.
Например, пусть
Тогда
Матрица A не имеет обратной, так как A⋅A−1≠E.
Слайд 25Если для матрицы A существует обратная A−1, то матрица называется
обратимой (или невырожденной).
В противном случае матрица называется вырожденной.
Свойства операции обратимости матрицы.
1. (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
2. (A−1)−1=A, так как А−1А=Е.
3. (АТ)−1=(А−1)Т, так как Е=ЕТ=(А⋅А−1)Т=(А−1)Т⋅АТ.
4. Если для матрицы существует обратная , то она единственна.
Теорема. Если определитель матрицы А равен нулю, то матрица А не имеет обратной.
В противном случае матрица называется вырожденной.
Свойства операции обратимости матрицы.
1. (A⋅B)−1=B−1⋅A−1.
2. (A−1)−1=A, так как А−1А=Е.
3. (АТ)−1=(А−1)Т, так как Е=ЕТ=(А⋅А−1)Т=(А−1)Т⋅АТ.
4. Если для матрицы существует обратная , то она единственна.
Теорема. Если определитель матрицы А равен нулю, то матрица А не имеет обратной.
Слайд 26Теорема. Если определитель матрицы A отличен от нуля, то обратная матрица
A−1 существует и вычисляется по формуле
где Аij − алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А.
Замечание. По этой формуле удобно вычислять обратную матрицу для матриц 2-го или 3-го порядка.
где Аij − алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А.
Замечание. По этой формуле удобно вычислять обратную матрицу для матриц 2-го или 3-го порядка.
Слайд 29Решение матричных уравнений
С помощью обратной матрицы можно решить матричное уравнение АХ
= В (или ХА = В).
Если матрица А невырожденная (detA≠0 ), то для нее существует обратная A−1.
Тогда, умножив уравнение АХ = В слева на A−1
(а уравнение ХА = В справа на A−1),
получим X = A−1B (X = BA−1).
Если матрица А невырожденная (detA≠0 ), то для нее существует обратная A−1.
Тогда, умножив уравнение АХ = В слева на A−1
(а уравнение ХА = В справа на A−1),
получим X = A−1B (X = BA−1).
Слайд 32Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
Рассмотрим следующие элементарные преобразования матрицы:
1) перестановка
строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
Слайд 33Для отыскания обратной матрицы A−1 следует:
1) построить расширенную матрицу (A|E), приписывая
к матрице A справа единичную матрицу;
2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте единичной матрицы будет обратная матрица A−1.
Схема этого процесса: (A|E)~…~(E| A−1)
2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте единичной матрицы будет обратная матрица A−1.
Схема этого процесса: (A|E)~…~(E| A−1)
Слайд 35Решение матричного уравнения методом элементарных преобразований
Для решения уравнения вида АХ =
В следует:
1) построить расширенную матрицу (A|В);
2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте матрицы В будет искомая матрица Х.
Схема этого процесса: (A|В)~…~(E| Х)
1) построить расширенную матрицу (A|В);
2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте матрицы В будет искомая матрица Х.
Схема этого процесса: (A|В)~…~(E| Х)
Слайд 36Для решения уравнения вида ХА= В следует:
1) транспонировать исходное уравнение (ХА)Т=
ВТ,
тогда АТХТ= ВТ (получаем уравнение, соответствующее предыдущему случаю);
2) реализовать схему: (AТ| ВТ)~…~(E| ХТ);
3) найти решение: Х=(ХТ) Т.
тогда АТХТ= ВТ (получаем уравнение, соответствующее предыдущему случаю);
2) реализовать схему: (AТ| ВТ)~…~(E| ХТ);
3) найти решение: Х=(ХТ) Т.
