Матрицы и определители презентация

Определение

Матрицей А размерности называется
совокупность чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы, содержащей m строк и
n столбцов

Упорядоченная совокупность элементов

называется главной диагональю квадратной матрицы

А = В

Вид матрицы-строки/столбца

А+В=С, где

и

и

5. (α · β) ·A= α ·(β·A)= β ·(α · A)
6. A+0=A
7. (-A)=(-1)·A и A+(-A)=O
7*. A-B=A+(-B)

Умножением матрицы на матрицу
определено, когда число столбцов в первой
матрице равно числу строк во второй матрице,
то есть n=p

1.

4. (A+B) ·C=A·C+B·C
5. A·(B+C)=A·B+A·C
6. A ·E=E ·A=A

матрицы

- минор элемента

матрицы

- алгебраическое дополнение элемента

Теорема о разложении определителя

Разложение определителя по строке

Разложение определителя по столбцу

При транспонировании матрицы ее
определитель не изменится

1

2

3

Если в определителе элементы некоторой
строки или столбца содержат общий множитель
λ, то этот общий множитель можно вынести за
знак определителя

Замечание из свойства 3

4

5

Если i=j, то имеем определитель n-ого порядка

6

Определитель произведения двух
квадратных матриц равен произведению
их определителей, то есть

7

8

Метод понижения порядка

Метод приведения определителя к треугольному виду

Если в определителе все элементы, стоящие
по одну сторону от главной диагонали равны
нулю, то такой определитель равен
произведению элементов, стоящих на главной
диагонали

Определение

Матрица называется обратной для матрицы А,если

Матрицы А и перестановочны, при этом -
- квадратная матрица того же порядка, что и А

2. Из свойств определителя и правила умножения
матриц

1 этап матрица A невырожденная,
а значит имеет обратную матрицу

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Пример миноров второго порядка

Обозначение ранга матрицы А: r(A); rang A

Определение

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы
называется базисным

Замечание:

Понятия минор матрицы и минор
элемента определителя – разные понятия

Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку или
нулевой столбец, то ее ранг не изменится

Ранг матрицы не изменится при элементарных
преобразованиях:
при умножении всех элементов строки (столбца)
матрицы на число не равное нулю
при изменении порядка строк (столбцов) матрицы
при прибавлении к каждому элементу одной строки
(столбца) матрицы соответствующих элементов др.
строки (столбца), умноженных на одно и то же число

Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид

где

Определение

r(A)=r

Определение

Определение 1

Определение 2

Строки матрицы А называются линейно
независимыми, если равенство (1) выполняется
только тогда, когда все , для

(1)

Теорема означает

Теорема

Пусть дана матрица и r(A)=r

- линейно независимы

- линейно зависимы

- любая строка матрицы A