Ауд.1602, тел. 240-40-65
Natalya.Odiyako@vvsu.ru
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы. Действия над матрицами презентация
Содержание
- 1. Матрицы. Действия над матрицами
- 2. Содержание лекции
- 3. Ключевые понятия
- 4. Основные понятия и определения Матрицей называется таблица,
- 5.
- 6. Обозначение матрицы Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами
- 7.
- 8.
- 9. Действия над матрицами Две матрицы одинаковой размерности
- 10. Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица,
- 11.
- 12. Для того чтобы матрицу умножить на число,
- 13. Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m, где cij=aij-bij.
- 14. Введём операцию умножения матрицы таким образом, чтобы выполнялось условие: Аn×p∙Вp×m=Сn×m.
- 15.
- 16. Свойства операций над матрицами А+В=В+А А∙В≠В∙А α∙(А+В)= αА+ αВ А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)
- 17. 5) Если в матрице А строки заменить
- 18. 6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц,
- 19. Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной матрице
- 20.
- 21. Квадратная матрица, у которой определитель отличен от
- 22. Теорема о единственности обратной матрицы. Если матрица имеет обратную, то единственную.
- 23. Теорема о существовании обратной матрицы. Чтобы матрица
- 24. Алгоритм построения обратной матрицы 1) Убеждаемся, что
- 25. 3) Если определитель не равен 0, то
- 26.
- 27. Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк
- 28. Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна
- 29. Теорема. Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один
- 30. Ранг матрицы Дана матрица размером n×m. Минором
- 31.
- 32.
- 33. Минор порядка r называется базисным, если он
- 34. Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция.
- 35. Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых
- 36. Теорема. Линейные преобразования столбцов или строк матрицы
- 37. перестановка строк местами; прибавление к одной строке
- 38. Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк
- 39.
- 40. Применим к матрице элементарные преобразования. Подчеркнём элементы,
- 41.
- 42. Вопросы и задания для самопроверки
- 43. Рекомендуемая литература
- 44. Использование материалов презентации Использование данной презентации,
Содержание лекции
Слайд 1Алгебра и геометрия
Глава 1. Матрицы. Действия над матрицами
Одияко Наталья Николаевна,
доцент кафедры
математики и моделирования
Слайд 4Основные понятия и определения
Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и
m столбцов.
Таблица имеет вид:
Таблица имеет вид:
Слайд 6Обозначение матрицы
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или
А={аij}n×m.
Матрица, у которой все элементы внутри равны 0, называется нулевой матрицей и обозначается «O».
Матрица, у которой все элементы внутри равны 0, называется нулевой матрицей и обозначается «O».
Слайд 9Действия над матрицами
Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы,
стоящие на одинаковых местах.
Слайд 10Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по
правилу:
А={аij}n×m, B={bij}n×m
A+B=C={cij}n×m.
cij=aij+bij - складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.
А={аij}n×m, B={bij}n×m
A+B=C={cij}n×m.
cij=aij+bij - складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.
Слайд 12Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы
умножить на это число:
А={аij}n×m; α-число
α∙А={аij}n×m
А={аij}n×m; α-число
α∙А={аij}n×m
Слайд 13Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица
C={cij}n×m, где cij=aij-bij.
Слайд 175) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так
называемую транспонированную матрицу.
Если А – матрица, то АТ – транспонированная матрица, тогда (АТ)Т=А; (А∙В)Т=ВТ∙АТ
Если А – матрица, то АТ – транспонированная матрица, тогда (АТ)Т=А; (А∙В)Т=ВТ∙АТ
Слайд 186) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА;
|A|; ||A||; detA (детерминант), являющиеся числом.
det(A∙B)=detA∙detB
Замечание! Все операции определены.
det(A∙B)=detA∙detB
Замечание! Все операции определены.
Слайд 19Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е.
Вывод 1: обратная
матрица существует для квадратной матрицы.
Слайд 21Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется
невырожденной. В противном случае называется вырожденной.
Слайд 23Теорема о существовании обратной матрицы.
Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно,
чтобы она была квадратной и невырожденной.
Необходимость доказательства следует из выводов. Доказательство достаточности представляет собой процесс представления матрицы, которая, по определению, и будет обратной.
Необходимость доказательства следует из выводов. Доказательство достаточности представляет собой процесс представления матрицы, которая, по определению, и будет обратной.
Слайд 24Алгоритм построения обратной матрицы
1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц
нет обратных).
2) Вычисляем определитель квадратной матрицы. Если определитель равен 0, то делаем вывод, что у матрицы нет обратной.
2) Вычисляем определитель квадратной матрицы. Если определитель равен 0, то делаем вывод, что у матрицы нет обратной.
Слайд 253) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов
матрицы.
4) Из алгебраических дополнений составляем так называемую присоединённую матрицу (Ã={Aij}n×n).
5) Транспонируем присоединённую матрицу.
4) Из алгебраических дополнений составляем так называемую присоединённую матрицу (Ã={Aij}n×n).
5) Транспонируем присоединённую матрицу.
Слайд 28Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0.
Столбцы
называются линейно-зависимыми, если линейная комбинация равна 0 не при всех α=0.
Слайд 29Теорема.
Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.
Теорема.
Столбцы
матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е.
Слайд 30Ранг матрицы
Дана матрица размером n×m.
Минором порядка r (Mr) называется определитель, составленный
из элементов, стоящих на пересечении любых r строк и любых r столбцов матрицы.
r≤min{n;m}
r≤min{n;m}
Слайд 33Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и
миноры более высоких порядков равны 0 или не существуют.
Порядок базисного минора называется рангом матрицы (число r).
Порядок базисного минора называется рангом матрицы (число r).
Слайд 34Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно
легко найти ранг и базисный минор.
Слайд 35Теорема.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейно-независимых строк
равно максимальному числу линейно-независимых столбцов.
Слайд 36Теорема.
Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы.
К линейным
преобразованиям строк относятся следующие преобразования:
Слайд 37перестановка строк местами;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое
число;
умножение строки на некоторое число;
те же действия со столбцами.
умножение строки на некоторое число;
те же действия со столбцами.
Слайд 38Теорема.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения
элементарных преобразований, которые позволяют выделить строки и столбцы, являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т.е. выделить базисный минор.
Слайд 40 Применим к матрице элементарные преобразования.
Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы.
Ниже или выше
этих элементов будем получать 0, если понадобится, устраним линейно-зависимые строки.
Слайд 44Использование материалов презентации
Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения
требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления.
Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.
Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.
