- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Математическое моделирование в биологии и медицине презентация
Содержание
- 1. Математическое моделирование в биологии и медицине
- 2. Модель Вольтерра (хищник-жертва) Допустим, в некотором замкнутом
- 3. Модель Вольтерра (хищник-жертва) При совместном существовании зайцев
- 4. Скорость изменения популяций Т.е. мы имеем систему нелинейных дифференциальных уравнений.
- 5. Стационарное состояние При неизменяющейся численности зайцев и
- 6. Решение уравнений стационарного состояния
- 7. Устойчивость в стационарных состояниях
- 8. Устойчивость в стационарных состояниях Подставим производные в уравнения скорости изменения популяций
- 9. Устойчивость в стационарных состояниях Подставим производные в уравнения скорости изменения популяций
- 10. Устойчивость в стационарных состояниях Раскроем скобки, приведем
- 11. Устойчивость в стационарных состояниях Найдем вторую производную:
- 12. Устойчивость в стационарных состояниях Окончательно получаем систему
- 13. Решение системы дифференциальных уравнений Напишем характеристическое уравнение: Зададим начальные условия: Тогда:
- 14. Решение системы дифференциальных уравнений Выражаем функцию n2 через n1:
- 15. Окончательное решение системы двух дифференциальных уравнений:
- 16. Решение системы дифференциальных уравнений
- 17. Вывод. Популяции
- 18. Фазовый портрет системы Рассмотрим график зависимости N1 от N2, т.е. избавимся от t.
- 19. Фазовый портрет системы Произведя несложные математические преобразования,
- 20. Решение дифференциальных уравнений Упрощенное решение системы дифференциальных
- 21. Решение дифференциальных уравнений Разделим переменные, поделив правую
- 22. Решение дифференциальных уравнений Преобразуем полученное выражение:
- 23. Полученная замкнутая
- 24. Однако и здесь имеют место следующие закономерности:
- 25. Фармакокинетическая модель Рассмотрим модель, описывающую кинематику распределения
- 26. Фармакокинетическая модель Из физиологии известно, что концентрация
- 27. Схематичное изображение фармакокинетической модели
- 28. Уравнения изменения скоростей концентраций
- 29. Упрощение системы Допустим, что препарат непрерывно со
- 30. Дифференциальное уравнение и его частное решение Предположим,
- 31. Зависимость концентрации препарата от времени Для получения
- 32. Скорость введения препарата Для достижения в крови
- 33. Нагрузочная доза препарата Для более быстрого достижения
- 34. Уравнения изменения концентрации или
- 35. Нагрузочная доза препарата Скорость достижения уровня С*
- 36. Выводы Этот теоретический вывод был подтвержден экспериментально,
Модель Вольтерра (хищник-жертва) Допустим, в некотором замкнутом районе живут зайцы (N1), питающиеся бесконечным количеством растительной пищи, и рыси (N1), питающиеся зайцами. Запишем дифференциальные уравнения, описывающие процесс изменения числа особей во времени.
Слайд 1Математическое моделирование в биологии и медицине
Авторы
Тишков Артем Валерьевич
Король Алина Владимировна
2017
Слайд 2Модель Вольтерра (хищник-жертва)
Допустим, в некотором замкнутом районе живут зайцы (N1), питающиеся
бесконечным количеством растительной пищи, и рыси (N1), питающиеся зайцами. Запишем дифференциальные уравнения, описывающие процесс изменения числа особей во времени.
При отсутствии рысей, изменение числа зайцев:
dN1=αN1dt
α - коэффициент, характеризующий размножение зайцев (жертв).
При отсутствии зайцев, изменение числа рысей:
dN2=-βN2dt
β - коэффициент, характеризующий вымирание рысей (хищников).
При отсутствии рысей, изменение числа зайцев:
dN1=αN1dt
α - коэффициент, характеризующий размножение зайцев (жертв).
При отсутствии зайцев, изменение числа рысей:
dN2=-βN2dt
β - коэффициент, характеризующий вымирание рысей (хищников).
Слайд 3Модель Вольтерра (хищник-жертва)
При совместном существовании зайцев и рысей:
ε - коэффициент, характеризующий
убыль зайцев, вследствие их встреч с рысями.
γ - коэффициент, характеризующий прирост рысей, вследствие их встреч с зайцами.
γ - коэффициент, характеризующий прирост рысей, вследствие их встреч с зайцами.
Слайд 5Стационарное состояние
При неизменяющейся численности зайцев и рысей (N1= const и N2=
const) N’1= N’2 =0, т.е:
Слайд 6Решение уравнений стационарного состояния
Из чего следует вывод:
Стационарные состояния не зависят от
численности популяции, а определяются только коэффициентами прироста и потерь для другого вида.
Слайд 7Устойчивость в стационарных состояниях
n1 и n2 – случайные отклонения и флуктуации
Производные
(с учетом того, что то производная от стационарного состояния равна 0)
Слайд 8Устойчивость в стационарных состояниях
Подставим производные в уравнения скорости изменения популяций
Слайд 9Устойчивость в стационарных состояниях
Подставим производные в уравнения скорости изменения популяций
Слайд 10Устойчивость в стационарных состояниях
Раскроем скобки, приведем подобные члены и пренебрежем членами
εn1n2 и γn1n2 вследствие их предполагаемой малости. В результате преобразования получим:
Слайд 12Устойчивость в стационарных состояниях
Окончательно получаем систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка,
описывающих консервативную колебательную систему, (т.е. идеализированную систему, в которой запас энергии в процессе колебаний остается постоянным):
Слайд 13Решение системы дифференциальных уравнений
Напишем характеристическое уравнение:
Зададим начальные условия:
Тогда:
Слайд 15Окончательное решение системы двух дифференциальных уравнений:
где n01,n02 - амплитудные значения флуктуаций
Решение
системы дифференциальных уравнений
Слайд 16Решение системы дифференциальных уравнений
- период колебаний
- частота колебаний
- круговая частота
Слайд 17
Вывод. Популяции жертв и хищников испытывают периодические колебания одинаковой частоты, смещенные
по фазе (причем максимум численности жертв всегда опережает максимум численности хищников).
Зависимость изменения популяций от времени
Слайд 19Фазовый портрет системы
Произведя несложные математические преобразования, мы получили уравнение эллипса, с
координатами центра (N1ст,N2ст).
При n01=n02=n уравнение эллипса превращается в уравнение окружности с радиусом n.
При n01=n02=n уравнение эллипса превращается в уравнение окружности с радиусом n.
Слайд 20Решение дифференциальных уравнений
Упрощенное решение системы дифференциальных уравнений привело к тому, что
модель пришлось слишком идеализировать, что плохо соответствует реальной модели.
Сделаем попытку решить систему дифференциальных уравнений другим методом. Разделим одно уравнение на другое, тогда получим
или, перемножив, получим выражение
Сделаем попытку решить систему дифференциальных уравнений другим методом. Разделим одно уравнение на другое, тогда получим
или, перемножив, получим выражение
Слайд 21Решение дифференциальных уравнений
Разделим переменные, поделив правую и левую части уравнения на
N1N2:
Проинтегрируем:
Проинтегрируем:
Слайд 22Решение дифференциальных уравнений
Преобразуем полученное выражение:
или
Мы получили выражение, связывающее две переменные N1 и N2, т.е.
зависимость N1=f(N1) в неявном виде
Слайд 23
Полученная замкнутая кривая не является эллипсом, хотя отдаленно и напоминает эллипс,
который получается при сложении колебаний одинаковой частоты и произвольной фазы.
Графическая зависимость изменения численности популяций
Слайд 24Однако и здесь имеют место следующие закономерности:
1.Колебания численности популяций N1 и N2 , действительно имеют
место.
2.Частоты этих колебаний весьма близки.
3.Сдвиг по фазе, хотя и не равен π/2 , однако он явно наблюдается.
2.Частоты этих колебаний весьма близки.
3.Сдвиг по фазе, хотя и не равен π/2 , однако он явно наблюдается.
Графическая зависимость изменения численности популяций
Слайд 25Фармакокинетическая модель
Рассмотрим модель, описывающую кинематику распределения введенных в организм препаратов (лекарств).
Будем считать, что терапевтический эффект зависит от концентрации препарата в больном органе (органе-мишени) и времени нахождения лекарства в действующей концентрации. Модель должна дать ответ о дозе лекарства, пути и периодичности введения, которое обеспечивало бы достаточный терапевтический эффект при минимальном побочном действии.
Слайд 26Фармакокинетическая модель
Из физиологии известно, что концентрация препарата в органе может зависеть
от ряда процессов, скорости которых характеризуются константами К:
1) Всасывание препарата в кровяное русло при внесосудистом введении – константа – К12.
2) Транспорт препарата из крови в органы – К23.
3) Транспорт препарата из органа в кровь – К32.
1) Всасывание препарата в кровяное русло при внесосудистом введении – константа – К12.
2) Транспорт препарата из крови в органы – К23.
3) Транспорт препарата из органа в кровь – К32.
Слайд 28Уравнения изменения скоростей концентраций
Всегда решаются, т.е. интегрируются, только дифференциальные уравнения первой
степени, к которым и стараются свести путем преобразований и упрощений системы из нескольких уравнений.
Слайд 29Упрощение системы
Допустим, что препарат непрерывно со скоростью Q поступает в кровь,
тогда изменение его количества в крови:
где k – константа удаления препарата из крови
где k – константа удаления препарата из крови
Слайд 30Дифференциальное уравнение и его частное решение
Предположим, что в момент t=0, масса
препарата в крови m=0.
Слайд 31Зависимость концентрации препарата от времени
Для получения зависимости C(t) разделим обе части
уравнения на объем V, в котором распределяется препарат.
При
При
Слайд 32Скорость введения препарата
Для достижения в крови некоторой постоянной концентрации препарата С* его
следует вводить со скоростью Q= С*Vk
Время достижения уровня С* будет также будет зависеть от константы скорости выведения препарата k. Таким образом, лечебная концентрация препарата в крови устанавливается не мгновенно, как хотелось бы в лечебных целях, а по прошествии некоторого времени.
Время достижения уровня С* будет также будет зависеть от константы скорости выведения препарата k. Таким образом, лечебная концентрация препарата в крови устанавливается не мгновенно, как хотелось бы в лечебных целях, а по прошествии некоторого времени.
Слайд 33Нагрузочная доза препарата
Для более быстрого достижения уровня С* сочетать непрерывное введение
препарата с начальным разовым введением некоторой нагрузочной дозы mn.
Нагрузочная доза препарата в крови будет уменьшаться по закону , из которого следует закон изменения количества препарата со временем:
Нагрузочная доза препарата в крови будет уменьшаться по закону , из которого следует закон изменения количества препарата со временем:
Слайд 34Уравнения изменения концентрации
или
Из последнего уравнения видно, что конечный уровень концентрации препарата,
т.е. при по-прежнему равен С* и не зависит от нагрузочной дозы.
Слайд 35Нагрузочная доза препарата
Скорость достижения уровня С* зависит от величины
, т.е. нагрузочная доза для мгновенного достижения уровня С* может быть получена из равенства . Она равна
Таким образом для мгновенного создания в крови желаемой концентрации С* необходимо ввести нагрузочную дозу m* и вести инфузию со скоростью Q=C*Vk.
Таким образом для мгновенного создания в крови желаемой концентрации С* необходимо ввести нагрузочную дозу m* и вести инфузию со скоростью Q=C*Vk.
Слайд 36Выводы
Этот теоретический вывод был подтвержден экспериментально, что и является решающей проверкой
правильности модели.
Более сложные модели можно построить путем суммирования блоков, если мы будем оставаться в рамках линейного приближения, т.е. описывать ситуацию линейными дифференциальными уравнениями.
Более сложные модели можно построить путем суммирования блоков, если мы будем оставаться в рамках линейного приближения, т.е. описывать ситуацию линейными дифференциальными уравнениями.
