пространства
Преобразование координат;
Матрица перехода
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Линейные векторные пространства. Базис презентация
Содержание
- 1. Линейные векторные пространства. Базис
- 2. Определение. Множество V называется линейным векторным пространством,
- 3. Линейные векторные пространства
- 4. Линейные векторные пространства
- 5. Линейные векторные пространства
- 6. Линейная зависимость векторов Определение . Векторы
- 7. Теорема. Система из k векторов
- 8. Базис линейного пространства Пусть
- 9. Равенство
- 10. Теорема. Любой элемент линейного
- 11. В силу линейной независимости базисных элементов
- 12. Из
- 13. Равенство (1) означает, что при сложении двух
- 14. Размерность линейного пространства Определение. Если
- 15. Размерность линейного пространства Линейное пространство,
- 16. Переход от одного базиса к
- 17. Переход от одного базиса к
- 18. Замечание . Каждый вектор
- 19. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. Определение. Скалярным произведением
- 20. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
- 21. В любом евклидовом пространстве определяют: длину вектора:
- 22. Ортогональные элементы. Ортонормированный базис Определение. Базис
- 23. Пусть –
- 24. Процесс построения указанным способом ортогонального
- 25. Примеры Выяснить, являются ли векторы линейно
- 26. Примеры
- 27. Примеры
- 28. Т.е. координаты данного разложения удовлетворяют линейной системе алгебраических уравнений: Примеры
- 29. Примеры
- 30. Примеры
- 32. Ответ :
Определение. Множество V называется линейным векторным пространством, если для любых его элементов и , называемых векторами этого пространства, и любого действительного числа
Слайд 1
Линейные векторные пространства. Базис
Линейные векторные пространства;
Линейная зависимость векторов;
Базис и размерность
Слайд 2Определение. Множество V называется линейным векторным пространством, если для любых его
элементов и , называемых векторами этого пространства, и любого действительного числа так определены в V векторы и , что верны следующие аксиомы:
Линейные векторные пространства
Слайд 4Линейные векторные пространства
Пример. Множество всех векторов плоскости или трехмерного пространства является
линейным пространством относительно операций сложения двух
векторов и умножения векторов на число.
векторов и умножения векторов на число.
Слайд 6Линейная зависимость векторов
Определение . Векторы
линейного векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа
, не все равные нулю, такие, что справедливо равенство:
. (1 )
Определение . Векторы линейного векторного пространства называются линейно независимыми, если выполнение равенства (1) возможно только при условии:
.
, не все равные нулю, такие, что справедливо равенство:
. (1 )
Определение . Векторы линейного векторного пространства называются линейно независимыми, если выполнение равенства (1) возможно только при условии:
.
Слайд 7Теорема. Система из k векторов
пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда матрица A , столбцы (строки) которой составлены из этих векторов, имеет ранг k.
Следствие. Система, состоящая более чем из n векторов пространства , линейно зависима .
Следствие. Система, состоящая более чем из n векторов пространства , линейно зависима .
Линейные векторные пространства
Слайд 8Базис линейного пространства
Пусть произвольное
линейное пространство.
Определение . Линейная независимая система элементов пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент пространства является линейной комбинацией этих элементов, т.е.
где некоторые числа называемые координатами элемента относительно базиса
Определение . Линейная независимая система элементов пространства называется базисом этого пространства, если любой элемент пространства является линейной комбинацией этих элементов, т.е.
где некоторые числа называемые координатами элемента относительно базиса
Слайд 9Равенство
называется
разложением элемента по базису
Пример 1. В линейном пространстве всех векторов плоскости любые два неколлинеарные вектора являются базисом этого пространства.
Пример 2. В линейном пространстве всех векторов пространства любые три некомпланарные вектора являются базисом этого пространства.
разложением элемента по базису
Пример 1. В линейном пространстве всех векторов плоскости любые два неколлинеарные вектора являются базисом этого пространства.
Пример 2. В линейном пространстве всех векторов пространства любые три некомпланарные вектора являются базисом этого пространства.
Базис линейного пространства
Слайд 10 Теорема. Любой элемент линейного пространства
разлагается по базису этого пространства единственным способом.
Доказательство. Предположим обратное, пусть элемент разлагается по базису двумя различными способами:
Доказательство. Предположим обратное, пусть элемент разлагается по базису двумя различными способами:
Базис линейного пространства
Слайд 11В силу линейной независимости базисных элементов
, равенство справедливо только и
только тогда, когда
только тогда, когда
Базис линейного пространства
Теорема доказана.
Слайд 12
Из этих равенств, в силу аксиом 1-8 линейного векторного
пространства, получим
и
и
Базис линейного пространства
Пусть элементы линейного пространства
разложены по базису
Слайд 13 Равенство (1) означает, что при сложении двух элементов линейного пространства
их координаты складываются.
Равенство (2) означает, что при умножении элемента линейного пространства на некоторое число координаты этого элемента умножаются на
Равенство (2) означает, что при умножении элемента линейного пространства на некоторое число координаты этого элемента умножаются на
Базис линейного пространства
Слайд 14
Размерность линейного пространства
Определение. Если линейное пространство
имеет базис, состоящий из n
элементов, то это число n называется размерностью линейного пространства
, а само пространство называется n – мерным
линейным или векторным пространством.
Размерность линейного пространства обозначается через dim L.
, а само пространство называется n – мерным
линейным или векторным пространством.
Размерность линейного пространства обозначается через dim L.
Слайд 15
Размерность линейного пространства
Линейное пространство, в котором не существует базис,
назывется бесконечномерным.
Теорема.
В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число элементов.
Размерность линейного пространства всех векторов плоскости равна двум.
Размерность линейного пространства всех векторов
пространства равна трем.
Размерность линейного пространства равна
Размерность линейного пространства всех векторов плоскости равна двум.
Размерность линейного пространства всех векторов
пространства равна трем.
Размерность линейного пространства равна
Слайд 16
Переход от одного базиса к другому
Пусть
и два произвольных
базиса n-мерного линейного пространства .
Элементы разложим по базису
базиса n-мерного линейного пространства .
Элементы разложим по базису
Слайд 17
Переход от одного базиса к другому
Обозначим
Матрицу А называют матрицей перехода от нового
базиса к старому базису .
Определитель этой матрицы отличен от нуля.
Слайд 18Замечание . Каждый вектор пространства имеет координаты
как в старом базисе, так и в новом.
Справедливо равенство:
которое связывает координаты вектора в старом базисе и координаты вектора в новом базисе, где – матрица перехода от нового базиса к старому.
Справедливо равенство:
которое связывает координаты вектора в старом базисе и координаты вектора в новом базисе, где – матрица перехода от нового базиса к старому.
Переход от одного базиса к другому
Слайд 19ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.
Определение. Скалярным произведением векторов
и линейного векторного пространства называется число, обозначаемое
и удовлетворяющее следующим условиям:
1.
2.
3.
4.
и удовлетворяющее следующим условиям:
1.
2.
3.
4.
Слайд 20
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
тогда, когда , нулевой элемент
пространства .
Определение. Линейное векторное пространство ,
в котором определено скалярное произведение
векторов, называется евклидовым пространством.
Пространство является евклидовым, так как оно
линейное векторное и в нем определено скалярное
произведение элементов.
пространства .
Определение. Линейное векторное пространство ,
в котором определено скалярное произведение
векторов, называется евклидовым пространством.
Пространство является евклидовым, так как оно
линейное векторное и в нем определено скалярное
произведение элементов.
Слайд 21В любом евклидовом пространстве определяют:
длину вектора:
расстояние между двумя векторами:
косинус угла
между векторами и :
:
.
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Слайд 22Ортогональные элементы. Ортонормированный базис
Определение. Базис
евклидова
пространства называется ортогональным, если
при любых
Определение. Ортогональный базис
евклидова пространства называется
ортонормированным, если
пространства называется ортогональным, если
при любых
Определение. Ортогональный базис
евклидова пространства называется
ортонормированным, если
Слайд 23 Пусть –
базис в евклидовом пространстве . Тогда векторов, вычисленных по формулам
где
образуют ортогональный базис в евклидовом
пространстве .
где
образуют ортогональный базис в евклидовом
пространстве .
ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ БАЗИСА
Слайд 24 Процесс построения указанным способом
ортогонального базиса
по некоторому
данному базису называется процессом
ортогонализации Шмидта.
Определение. Нормированием вектора называется
замена его вектором , имеющим длину, равную 1.
данному базису называется процессом
ортогонализации Шмидта.
Определение. Нормированием вектора называется
замена его вектором , имеющим длину, равную 1.
ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ БАЗИСА
Слайд 25Примеры
Выяснить, являются ли векторы
линейно зависимыми.
Решение. Составим матрицу, у которой, например,
строками
являются векторы . Приведем ее к ступенчатому виду:
Слайд 28
Т.е. координаты данного разложения удовлетворяют линейной системе алгебраических уравнений:
Примеры
