Презентация на тему Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Презентация на тему Презентация на тему Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 41 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

21.8. ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим случай, когда в уравнении

функции p(x) и g(x) – постоянные величины.


Слайд 2
Текст слайда:

Уравнение вида


называется линейным ДУ с
постоянными коэффициентами

9


Слайд 3
Текст слайда:

Где у – искомая функция, p, g – постоянные величины.

Если f(х)=0, то уравнение называется
линейным однородным.

Если f (х) не равно 0, то уравнение
называется линейным неоднородным.


Слайд 4
Текст слайда:

Рассмотрим сначала однородное уравнение:


Будем искать решение этого уравнения в виде


Где k - некоторое число.
Находим производные и подставляем в исходное уравнение:

10


Слайд 5
Текст слайда:



Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (10).


Слайд 6
Текст слайда:

Вид решения линейного однородного ДУ (10) существенно зависит от того, какие корни имеет его характеристическое уравнение.
Обозначим эти корни как k1 и k2.


Слайд 7
Текст слайда:

ТЕОРЕМА.


Если корни характеристического уравнения вещественные и разные

то общее решение однородного уравнения (9) имеет вид:



Слайд 8
Текст слайда:


Если корни характеристического уравнения вещественные и равные

то общее решение однородного уравнения (10) имеет вид:



Слайд 9
Текст слайда:


Если характеристическое уравнение не имеет вещественных корней, то общее решение однородного уравнения (10) имеет вид:


где

-комплексные корни характеристического уравнения.


Слайд 10
Текст слайда:

ПРИМЕРЫ.

Решить дифференциальное уравнение:


1


Слайд 11
Текст слайда:

Решение:

Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:


Слайд 12
Текст слайда:

Решить дифференциальное уравнение:


2


Слайд 13
Текст слайда:

Решение:

Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение будет иметь вид:


Слайд 14
Текст слайда:

Решить дифференциальное уравнение:


3


Слайд 15
Текст слайда:

Решение:

Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:


Слайд 16
Текст слайда:

Теперь рассмотрим решение неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами (9).

Общее решение неоднородного ЛДУ
с постоянными коэффициентами
находится как сумма общего решения
однородного уравнения и какого-либо
частного решения неоднородного
уравнения.


Слайд 17
Текст слайда:

ПРИМЕР.

Решить дифференциальное уравнение:



Слайд 18
Текст слайда:

Решение:

Сначала находим общее решение однородного уравнения:


Слайд 19
Текст слайда:

Корни вещественные и разные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Теперь находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных в виде:


Слайд 20
Текст слайда:

Пусть

Тогда

Подставляем в уравнение:


Слайд 21
Текст слайда:

Получаем:


Слайд 22
Текст слайда:

Вычитаем из второго уравнения первое:

Теперь подставляем в первое уравнение:


Слайд 23
Текст слайда:

Интегрируем эти выражения:

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Общее решение будет:


Слайд 24
Текст слайда:

Частное решение неоднородного уравнения можно найти, используя следующую схему:


Слайд 25
Текст слайда:

1

Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:


где Р(х) – многочлен.
Тогда частное решение неоднородного уравнения (9) будет иметь вид:


Слайд 26
Текст слайда:


где Q(х) – многочлен той же степени, что и Р(х).
Причем, если m не является корнем характеристического уравнения, то
r=0,
а если является, то r – кратность этого корня.


Слайд 27
Текст слайда:

ПРИМЕР.

Решить дифференциальное уравнение:



Слайд 28
Текст слайда:

Решение:

Корни вещественные и одинаковые, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Сначала решаем однородное уравнение:


Слайд 29
Текст слайда:

Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:

m – не является корнем характеристического уравнения, следовательно r=0. Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:


Слайд 30
Текст слайда:

Находим производные и подставляем в исходное уравнение:

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:


Слайд 31
Текст слайда:

Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:


Слайд 32
Текст слайда:

2

Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:



Слайд 33
Текст слайда:

Если числа

не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения (9) будет иметь вид:


Если числа

являются корнями характеристического уравнения, то частное решение будет иметь вид:



Слайд 34
Текст слайда:

ПРИМЕР.

Решить дифференциальное уравнение:



Слайд 35
Текст слайда:

Решение:

Сначала решаем однородное уравнение:


Слайд 36
Текст слайда:

Корни комплексные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая часть представляет собой рассмотренный случай:

2i и –2i не являются корнями характеристического уравнения, следовательно частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:


Слайд 37
Текст слайда:

Находим производные и подставляем в исходное уравнение:


Слайд 38
Текст слайда:

Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Общее решение неоднородного уравнения запишем как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:


Слайд 39
Текст слайда:

3

Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:


где Р1(х) и Р2(х) – многочлены.


Слайд 40
Текст слайда:

Если числа

не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения (9) будет иметь вид:


Если числа

являются корнями характеристического уравнения, то частное решение будет иметь вид:



Слайд 41
Текст слайда:

где R1(х) и R2(х) – многочлены той же степени, что и многочлены Р1(х) и Р2(х) .


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика