- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Lek2_AFK презентация
Содержание
- 1. Lek2_AFK
- 2. §1. Уравнение линии на плоскости Линии на
- 3. Определение Уравнение
- 4. §2. Прямая линия. Различные уравнения
- 5. 2.2. Уравнение прямой, проходящей через
- 6. 2.3. Уравнение прямой в
- 7. 2.4. Уравнение прямой с угловым
- 8. Если в качестве
- 9. 2.5. Уравнение прямой, проходящей через
- 10. 2.6. Общее уравнение прямой
- 11. §3. Взаимное расположение прямых 3.1. Угол
- 12. 3.2. Условие параллельности прямых
- 13. 3.3. Условие перпендикулярности прямых
- 14. Замечание Если прямые заданы общими
- 15. §4. Расстояние от точки до прямой
- 16. §5. Кривые второго порядка 5.1. Окружность
- 17. 5.2. Эллипс Определение Эллипсом называется кривая, представляющая
- 18. Свойства эллипса 1. Эллипс симметричен
- 19. 5.3. Гипербола Определение Гиперболой называется множество
- 20. Свойства гиперболы 1.
- 21. 5.4. Парабола Определение Параболой называется множество точек
- 22. Свойства параболы 1. Парабола симметрична
- 23. §6 Векторы в пространстве
- 24. 6.1.Координаты вектора в пространстве
- 25. 6.2. Разложение вектора по ортам
- 26. 6.3. Задача деления отрезка в данном отношении
- 27. 6.4. Длина вектора Пусть
- 28. 6.6. Условие коллинеарности двух векторов
- 29. Следствия из свойств скалярного произведения в координатной
- 30. 6.8. Векторное произведение векторов Определение Векторным
- 31. Модуль векторного
- 32. 6.9. Направляющие косинусы векторов Определение
- 33. §7. Плоскости в пространстве 7.1. Уравнение
- 34. 7.2. Угол между двумя плоскостями
- 35. 7.3. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- 36. §8. Прямая в пространстве 8.1. Уравнения
- 37. - параметрические уравнения прямой, - канонические
- 38. 8.2. Направляющие косинусы прямой Определение
- 39. 8.3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- 40. условие перпендикулярности угол между прямыми
- 41. Пусть уравнение прямой:
- 42. условие параллельности условие перпендикулярности
§1. Уравнение линии на плоскости Линии на плоскости рассматриваются как геометрические места точек, их составляющих. Введение на плоскости системы координат позволяет положение точек плоскости однозначно определять заданием пар действительных
Слайд 2§1. Уравнение линии на плоскости
Линии на плоскости рассматриваются как геометрические места
точек, их составляющих.
Введение на плоскости системы координат позволяет положение точек плоскости однозначно определять заданием пар действительных чисел – их координат, а положение линий на плоскости определять с помощью равенств, связывающих пары чисел – координаты точек этих линий, то есть с помощью уравнений.
Введение на плоскости системы координат позволяет положение точек плоскости однозначно определять заданием пар действительных чисел – их координат, а положение линий на плоскости определять с помощью равенств, связывающих пары чисел – координаты точек этих линий, то есть с помощью уравнений.
Слайд 3Определение Уравнение
называется
уравнением линии L, если координаты любой точки линии удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не принадлежащих линии L, этому уравнению не удовлетворяют.
Введение на плоскости системы координат позволяет изучение геометрических свойств линий заменить исследованием соответствующих им уравнений.
уравнением линии L, если координаты любой точки линии удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не принадлежащих линии L, этому уравнению не удовлетворяют.
Введение на плоскости системы координат позволяет изучение геометрических свойств линий заменить исследованием соответствующих им уравнений.
0
y
x
М
y
x
L
Слайд 4 §2. Прямая линия.
Различные уравнения прямой
2.1. Уравнение прямой, проходящей через
данную точку, параллельно данному вектору
Проведем прямую через данную точку ,
параллельно данному вектору .
Возьмем на прямой произвольную точку , тогда
векторы и - коллинеарны и их координаты
пропорциональны.
, то получим:
- уравнение прямой, проходящей через
данную точку, параллельно данному
вектору
Проведем прямую через данную точку ,
параллельно данному вектору .
Возьмем на прямой произвольную точку , тогда
векторы и - коллинеарны и их координаты
пропорциональны.
, то получим:
- уравнение прямой, проходящей через
данную точку, параллельно данному
вектору
Так как
Слайд 5
2.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Проведем прямую через две данные точки
и .
Возьмем произвольную точку на прямой, тогда
векторы и - коллинеарны и их координаты
пропорциональны.
Так как ,
- уравнение прямой, проходящей через
две данные точки
и .
Возьмем произвольную точку на прямой, тогда
векторы и - коллинеарны и их координаты
пропорциональны.
Так как ,
- уравнение прямой, проходящей через
две данные точки
, то получим:
Слайд 6
2.3. Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая отсекает на осях
координат соответственно
отрезки и . Можно считать, что прямая проходит через
две данные точки и и по пункту 2.2.
имеем:
отрезки и . Можно считать, что прямая проходит через
две данные точки и и по пункту 2.2.
имеем:
x
y
0
- уравнение прямой в отрезках
Слайд 7
2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Рассмотрим уравнение прямой из
пункта 2.1.:
Обозначим
- уравнение прямой, проходящей
через данную точку с угловым
коэффициентом k
Обозначим
- уравнение прямой, проходящей
через данную точку с угловым
коэффициентом k
x
y
0
(так как )
Слайд 8Если в качестве возьмем точку с
координатами (0;b),
то есть точку пересечения прямой с осью OY, то получим:
- уравнение прямой с угловым
коэффициентом
то есть точку пересечения прямой с осью OY, то получим:
- уравнение прямой с угловым
коэффициентом
x
y
0
Слайд 9
2.5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Проведем прямую через данную точку
перпендикулярно данному вектору . Возьмем на
прямой произвольную точку и рассмотрим вектор
.
Вектор и взаимно перпендикулярны ( )
и по условию перпендикулярности векторов
получим:
- уравнение прямой,
проходящей через данную
точку перпендикулярно
данному вектору
Слайд 10
2.6. Общее уравнение прямой
Рассмотрим
предыдущее уравнение и раскроем скобки:
Обозначим , получим:
- общее уравнение прямой
Замечание При решении задач на составление уравнений прямых ответ принято записывать в виде общего уравнения или уравнения с угловым коэффициентом.
Обозначим , получим:
- общее уравнение прямой
Замечание При решении задач на составление уравнений прямых ответ принято записывать в виде общего уравнения или уравнения с угловым коэффициентом.
Слайд 11 §3. Взаимное расположение прямых
3.1. Угол между двумя прямыми
Пусть прямые
заданы уравнениями ,
- угол между прямыми. Известно , что
, и
(по теореме о внешнем угле
треугольника)
Тогда ,
- угол между двумя прямыми
- угол между прямыми. Известно , что
, и
(по теореме о внешнем угле
треугольника)
Тогда ,
- угол между двумя прямыми
x
y
0
I
II
Слайд 12
3.2. Условие параллельности прямых
Если прямые параллельны, то
и
или .
- условие параллельности двух прямых
или .
- условие параллельности двух прямых
x
y
0
I
II
Слайд 13
3.3. Условие перпендикулярности прямых
Если прямые перпендикулярны, то
.
не существует, а это случится тогда, когда
или
- условие перпендикулярности
двух прямых
не существует, а это случится тогда, когда
или
- условие перпендикулярности
двух прямых
x
y
0
I
II
Слайд 14
Замечание Если прямые заданы общими уравнениями
, , то
- условие параллельности двух прямых
- условие перпендикулярности
двух прямых
- условие параллельности двух прямых
- условие перпендикулярности
двух прямых
Слайд 15 §4. Расстояние от точки до прямой
Пусть дана прямая
и точка , не лежащая на прямой. Построим проекцию точки на прямую. Тогда - расстояние от точки до прямой.
- расстояние от точки до прямой
- расстояние от точки до прямой
Слайд 16 §5. Кривые второго порядка
5.1. Окружность
Определение Окружностью называется кривая, представляющая собой
множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
- уравнение окружности с центром в
начале координат
- уравнение окружности с
центром в точке (а;b)
0
y
x
Слайд 175.2. Эллипс
Определение Эллипсом называется кривая, представляющая собой множество точек плоскости, сумма
расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
- каноническое уравнение эллипса с
центром в начале координат
Для любой произвольной точки , лежащей на эллипсе выполняется следующее условие: .
Между параметрами имеет место соотношение:
- каноническое уравнение эллипса с
центром в начале координат
Для любой произвольной точки , лежащей на эллипсе выполняется следующее условие: .
Между параметрами имеет место соотношение:
0
y
x
М
А1
А2
В2
В1
F1
F2
-b
-a
a
b
с
-с
Слайд 18 Свойства эллипса
1. Эллипс симметричен относительно осей координат.
2. Эллипс имеет два
фокуса , и четыре вершины , , , .
3. Эллипс имеет две оси: - большая ось, - малая ось.
. .
4.Степень сжатости эллипса определяет число , называемое эксцентриситетом.
5. Четырехугольник, проходящий через точки со сторонами, параллельными осям координат, называется характеристическим.
3. Эллипс имеет две оси: - большая ось, - малая ось.
. .
4.Степень сжатости эллипса определяет число , называемое эксцентриситетом.
5. Четырехугольник, проходящий через точки со сторонами, параллельными осям координат, называется характеристическим.
Слайд 195.3. Гипербола
Определение Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности
расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
- каноническое уравнение гиперболы с
центром в начале координат
Для любой произвольной точки , лежащей на гиперболе выполняется следующее условие: .
Между параметрами имеет место соотношение:
- каноническое уравнение гиперболы с
центром в начале координат
Для любой произвольной точки , лежащей на гиперболе выполняется следующее условие: .
Между параметрами имеет место соотношение:
0
y
x
М
А1
А2
В2
В1
F1
F2
-b
-a
a
b
Слайд 20
Свойства гиперболы
1. Гипербола симметрична относительно осей координат.
2. Гипербола имеет
два фокуса , и две вершины , .
3. Гипербола имеет две оси: - действительная ось,
- мнимая ось. . .
4.Степень сжатости гиперболы определяет число , называемое эксцентриситетом.
5.Четырехугольник, проходящий через точки
со сторонами, параллельными осям координат, называется характеристическим. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот:
и .
3. Гипербола имеет две оси: - действительная ось,
- мнимая ось. . .
4.Степень сжатости гиперболы определяет число , называемое эксцентриситетом.
5.Четырехугольник, проходящий через точки
со сторонами, параллельными осям координат, называется характеристическим. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот:
и .
Слайд 215.4. Парабола
Определение Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной
точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
- каноническое уравнение параболы с
вершиной в начале координат
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы , тогда
– уравнение директрисы.
Расстояние от фокуса до директрисы делится точкой начала координат пополам.
Для любой произвольной точки , лежащей на
параболе выполняется следующее условие: .
- каноническое уравнение параболы с
вершиной в начале координат
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы , тогда
– уравнение директрисы.
Расстояние от фокуса до директрисы делится точкой начала координат пополам.
Для любой произвольной точки , лежащей на
параболе выполняется следующее условие: .
0
y
x
М
F
K
Слайд 22 Свойства параболы
1. Парабола симметрична относительно оси OX.
2. Парабола имеет один
фокус и одну вершину в точке .
3. Парабола расположена вправо от оси OY.
3. Парабола расположена вправо от оси OY.
0
y
x
F
0
y
x
F
0
y
x
F
Слайд 23§6 Векторы в пространстве
В пространстве, как и
на плоскости, вектором называется направленный отрезок.
Так же определяются основные понятия для векторов в пространстве: модуль вектора, равные вектора.
Определение Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Три вектора, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, считаются компланарными.
Так же определяются основные понятия для векторов в пространстве: модуль вектора, равные вектора.
Определение Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Три вектора, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, считаются компланарными.
Слайд 246.1.Координаты вектора в пространстве
Введем
в пространстве прямоугольную систему координат XOYZ. Возьмем произвольный вектор .
- координаты вектора
Записывают
Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), то
- координаты вектора
Записывают
Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), то
Слайд 256.2. Разложение вектора по ортам
Векторы , ,
удовлетворяющие следующим условиям:
1. начало каждого из них лежит в начале координат;
2. , , ;
3. вектор направлен по направлению оси OX,
называются ортами или прямоугольным базисом .
1. начало каждого из них лежит в начале координат;
2. , , ;
3. вектор направлен по направлению оси OX,
называются ортами или прямоугольным базисом .
направлен по оси OY,
направлен по оси OZ,
- разложение вектора по
ортам, где
Слайд 266.3. Задача деления отрезка в данном отношении
Пусть А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2) и отрезок
АВ разделен точкой
М(x;y;z) в отношении , то координаты
точки М находят по формулам:
М(x;y;z) в отношении , то координаты
точки М находят по формулам:
Слайд 276.4. Длина вектора
Пусть
, тогда
6.5. Действия над векторами в координатной форме
Пусть , , тогда
1.
2.
3. Если , то , , .
6.5. Действия над векторами в координатной форме
Пусть , , тогда
1.
2.
3. Если , то , , .
Слайд 286.6. Условие коллинеарности двух векторов
Если
и - коллинеарны, то
и наоборот.
6.7. Скалярное произведение векторов в координатной форме
Если и , то
и наоборот.
6.7. Скалярное произведение векторов в координатной форме
Если и , то
Слайд 306.8. Векторное произведение векторов
Определение Векторным произведением двух векторов
и
называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:
1)
2) вектор перпендикулярен плоскости, определяемой
векторами и , то есть и .
3) Вектор направлен так, что кратчайший поворот вектора к вектору виден из конца вектора
происходящим против часовой стрелки (то есть векторы образуют правую тройку).
Обозначают:
1)
2) вектор перпендикулярен плоскости, определяемой
векторами и , то есть и .
3) Вектор направлен так, что кратчайший поворот вектора к вектору виден из конца вектора
происходящим против часовой стрелки (то есть векторы образуют правую тройку).
Обозначают:
Слайд 31 Модуль векторного произведения равен
площади параллелограмма S, построенного на векторах
и , то есть
Если , , то
и , то есть
Если , , то
Слайд 326.9. Направляющие косинусы векторов
Определение Косинусы углов, образуемых
радиус-
вектором с координатными осями OX, OY, OZ, называются
направляющими косинусами вектора .
вектором с координатными осями OX, OY, OZ, называются
направляющими косинусами вектора .
Слайд 33 §7. Плоскости в пространстве
7.1. Уравнение плоскости в пространстве
Пусть P – плоскость, - точка,
принадлежащая этой плоскости, а - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р, который называется нормальным вектором плоскости.
- произвольная точка на плоскости Р.
принадлежащая этой плоскости, а - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р, который называется нормальным вектором плоскости.
- произвольная точка на плоскости Р.
- уравнение плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении
- уравнение плоскости в векторной форме
- общее уравнение плоскости
Слайд 347.2. Угол между двумя плоскостями
Угол между
двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.
Пусть две пересекающиеся плоскости
имеют нормальные векторы
Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле:
Пусть две пересекающиеся плоскости
имеют нормальные векторы
Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле:
и
и
Слайд 357.3. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Если
, - нормальные
векторы двух плоскостей, то
векторы двух плоскостей, то
условие параллельности двух
плоскостей
условие перпендикулярности двух плоскостей
Слайд 36 §8. Прямая в пространстве
8.1. Уравнения прямой в пространстве
Пусть – прямая, - точка,
принадлежащая данной прямой, - радиус-вектор точки
а - вектор, параллельный прямой ,
- произвольная точка прямой, - радиус-вектор
точки .
принадлежащая данной прямой, - радиус-вектор точки
а - вектор, параллельный прямой ,
- произвольная точка прямой, - радиус-вектор
точки .
- векторно-параметрическое уравнение прямой,
Вектор называется направляющим вектором прямой, а его координаты – направляющими коэффициентами прямой.
где – параметр, принимающий всевозможные действительные значения
Слайд 37- параметрические уравнения прямой,
- канонические уравнения прямой
- уравнения прямой, проходящей
через две точки
где
и
- общие уравнения прямой
Если прямую в пространстве рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то ее можно задать системой линейных уравнений двух плоскостей:
Слайд 388.2. Направляющие косинусы прямой
Определение Направляющие косинусы вектора
называются направляющими косинусами прямой.
Слайд 398.3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми
Пусть
заданы две прямые:
условие параллельности
Тогда
Слайд 41
Пусть уравнение прямой:
,
а уравнение плоскости:
угол между прямой и плоскостью
§9. Плоскость и прямая
Тогда
