- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Кривые на плоскости презентация
Содержание
- 1. Кривые на плоскости
- 2. Задача построения произвольных кривых Линия может быть
- 3. Задача построения произвольных кривых Однако на практике
- 4. Задача интерполяции На заданном классе функций (например,
- 5. Сплайны В этом случае широко применяется подход,
- 6. Сплайновое приближение Вместо этого воспроизводится достаточно точное
- 7. Интерполяционные полиномы Лагранжа Пусть на плоскости задан
- 8. Недостатки многочлена Лагранжа Многочлен Лагранжа описывает кривую
- 9. Кубические сплайны Вместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют
- 10. Кубические сплайны Таким образом, задача сводится к
- 11. Кубические сплайны Коэффициенты полиномов определяются системой линейных
- 12. Кубические сплайны 2-х дополнительных условий в граничных
- 13. Задача аппроксимации Задача заключается в построении гладкой
- 14. Методы аппроксимации Наиболее известные методы аппроксимации: метод наименьших квадратов метод кривых Безье метод B-сплайнов.
- 15. Метод наименьших квадратов На заданном классе функций
- 16. Аппроксимация полиномом
- 17. Аппроксимация полиномом
- 18. Аппроксимация полиномом
- 19. Кривые Безье Пусть в пространстве или на
- 20. Кривые Безье Кривой Безье, определяемой массивом V,
- 21. Свойства кривых Безье Гладкость Линия начинается
- 22. Кубическая кривая Безье При m = 3
- 27. Недостатки кривых Безье Степень функциональных коэффициентов связана
- 28. Составная кубическая кривая Безье В практических вычислениях
- 29. Пример составной линии Безье
Задача построения произвольных кривых Линия может быть задана в форме неявного уравнения или в параметрической форме Задача в этом случае сводится к нахождению соответствующих функциональных зависимостей
Слайд 2Задача построения произвольных кривых
Линия может быть задана в форме неявного уравнения
или в параметрической форме
Задача в этом случае сводится к нахождению соответствующих функциональных зависимостей
Задача в этом случае сводится к нахождению соответствующих функциональных зависимостей
Слайд 3Задача построения произвольных кривых
Однако на практике линия обычно задается некоторым множеством
точек и задача ее построения может быть сформулирована одним из двух способов:
как задача интерполяции
как задача аппроксимации
как задача интерполяции
как задача аппроксимации
Слайд 4Задача интерполяции
На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция,
обеспечивающая прохождение описываемой ею кривой через заданное множество точек
Слайд 5Сплайны
В этом случае широко применяется подход, основанный на использовании полиномов невысокой
степени, называемых сплайнами
Основная идея заключается в том, чтобы не пытаться найти функциональные зависимости, которые описывали бы линию в целом
Основная идея заключается в том, чтобы не пытаться найти функциональные зависимости, которые описывали бы линию в целом
Слайд 6Сплайновое приближение
Вместо этого воспроизводится достаточно точное описание отдельных участков этой линии
с обеспечением плавного перехода между такими участками
Подобное кусочно-гладкое описание кривой, заданной конечным множеством своих точек, называется ее сплайновым приближением
Подобное кусочно-гладкое описание кривой, заданной конечным множеством своих точек, называется ее сплайновым приближением
Слайд 7Интерполяционные полиномы Лагранжа
Пусть на плоскости задан набор точек (xi, yi), i
= 0,1,…,n
Кривая, проходящая через каждую из этих точек, описывается полиномом n-й степени - многочленом Лагранжа, который имеет вид:
Кривая, проходящая через каждую из этих точек, описывается полиномом n-й степени - многочленом Лагранжа, который имеет вид:
Слайд 8Недостатки многочлена Лагранжа
Многочлен Лагранжа описывает кривую в целом, однако такое описание
имеет ряд недостатков:
высокая степень полинома приводит к сильным колебаниям интерполирующей функции между узлами интерполяции
интерполирующая функция обладает высокой чувствительностью к узловым значениям
изменение одного из узлов приводит к необходимости пересчета всей функции
высокая степень полинома приводит к сильным колебаниям интерполирующей функции между узлами интерполяции
интерполирующая функция обладает высокой чувствительностью к узловым значениям
изменение одного из узлов приводит к необходимости пересчета всей функции
Слайд 9Кубические сплайны
Вместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют кубические сплайны
Кубическим сплайном называется функция
S(x), обладающая следующими свойствами:
описываемая ею кривая проходит через каждую точку заданного множества, т.е. S(xi)=yi
на каждом из отрезков [xi, xi+1] функция является многочленом 3-й степени
на всем отрезке [x0, xn] функция имеет непрерывную вторую производную
описываемая ею кривая проходит через каждую точку заданного множества, т.е. S(xi)=yi
на каждом из отрезков [xi, xi+1] функция является многочленом 3-й степени
на всем отрезке [x0, xn] функция имеет непрерывную вторую производную
Слайд 10Кубические сплайны
Таким образом, задача сводится к построению n полиномов вида:
y =
ai3 * x3 + ai2 * x2 + ai1 * x + ai0, i=1, 2,…,n
Соответственно, потребуется найти 4n коэффициентов aij (i=1,…,n; j=0,1,2,3) этих полиномов
Соответственно, потребуется найти 4n коэффициентов aij (i=1,…,n; j=0,1,2,3) этих полиномов
Слайд 11Кубические сплайны
Коэффициенты полиномов определяются системой линейных уравнений, которые получаются из следующих
условий:
прохождения через каждый из узлов (n+1 условие),
непрерывности функции в промежуточных узлах (n-1 условие),
непрерывности 1-й производной функции в промежуточных узлах (n-1 условие),
непрерывности 2-й производной функции в n-1 промежуточных узлах (n-1 условие),
прохождения через каждый из узлов (n+1 условие),
непрерывности функции в промежуточных узлах (n-1 условие),
непрерывности 1-й производной функции в промежуточных узлах (n-1 условие),
непрерывности 2-й производной функции в n-1 промежуточных узлах (n-1 условие),
Слайд 12Кубические сплайны
2-х дополнительных условий в граничных узлах (например, равенства нулю первых
производных)
Тем самым, удается получить систему 4n линейных уравнений с 4n неизвестными, имеющую при ненулевом детерминанте единственное решение
Тем самым, удается получить систему 4n линейных уравнений с 4n неизвестными, имеющую при ненулевом детерминанте единственное решение
Слайд 13Задача аппроксимации
Задача заключается в построении гладкой кривой, наилучшим образом приближенной к
некоторому множеству точек в пространстве или на плоскости
Слайд 14Методы аппроксимации
Наиболее известные методы аппроксимации:
метод наименьших квадратов
метод кривых Безье
метод B-сплайнов.
Слайд 15Метод наименьших квадратов
На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется
функция, обеспечивающая минимальное значение суммы квадратов отклонений на некотором множестве точек
Слайд 19Кривые Безье
Пусть в пространстве или на плоскости задан упорядоченный набор точек,
определяемый векторами V0, V1, … , Vm.
Ломаная V0V1 …Vm называется контрольной ломаной, порожденной массивом V ={ V0, V1, … , Vm }.
Ломаная V0V1 …Vm называется контрольной ломаной, порожденной массивом V ={ V0, V1, … , Vm }.
Слайд 20Кривые Безье
Кривой Безье, определяемой массивом V, называется линия задаваемая векторным уравнением
где
- биномиальные коэффициенты.
Слайд 21Свойства кривых Безье
Гладкость
Линия начинается в точке и заканчивается в точке
касаясь при этом отрезков и контрольной ломаной
Коэффициенты при вершинах Vi являются многочленами Бернштейна; они неотрицательны и их сумма равна 1.
Коэффициенты при вершинах Vi являются многочленами Бернштейна; они неотрицательны и их сумма равна 1.
Слайд 22Кубическая кривая Безье
При m = 3 получаем кубическую кривую Безье, описываемую
векторным параметрическим уравнением
Порядок точек в заданном наборе существенно влияет на вид кривой Безье. что демонстрируется на следующих слайдах.
Порядок точек в заданном наборе существенно влияет на вид кривой Безье. что демонстрируется на следующих слайдах.
Слайд 27Недостатки кривых Безье
Степень функциональных коэффициентов связана с числом точек в заданном
наборе
При добавлении хотя бы одной точки в набор все коэффициенты должны быть пересчитаны
Изменение хотя бы одной точки приводит к заметному изменению вида всей кривой.
При добавлении хотя бы одной точки в набор все коэффициенты должны быть пересчитаны
Изменение хотя бы одной точки приводит к заметному изменению вида всей кривой.
Слайд 28Составная кубическая кривая Безье
В практических вычислениях оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными
из элементарных кривых Безье, как правило кубических. При этом обеспечить гладкость в точках стыковки.
Составная кривая называется G1–непрерывной, если вдоль нее непрерывен единичный вектор касательной и G2–непрерывной, если непрерывен также и вектор кривизны.
Составная кривая называется G1–непрерывной, если вдоль нее непрерывен единичный вектор касательной и G2–непрерывной, если непрерывен также и вектор кривизны.
