Кривые и поверхности второго порядка. Методические материалы презентация

О.А. Иванова

Е.Е. Красновский

О.В. Новожилова

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Кафедра «Прикладная математика»

Эллипс

Гипербола

Парабола

Поверхности второго порядка

Кривые второго порядка

Поверхности второго порядка

Кривые второго порядка

Поверхности второго порядка

Эллипс

Гипербола

Парабола

Поверхности второго порядка

Кривые второго порядка

Поверхности второго порядка

Кривые второго порядка

Поверхности второго порядка

Основные теоретические сведения

Предисловие

Вариант 2

Метод сечений

Предисловие

Предисловие

Эллипс, основные определения

Эллипс, основные определения

Каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси Ox

Эксцентриситет и директрисы эллипса с фокусами на оси Ox

Уравнения директрис эллипса

Фокальный параметр

Фокальный параметр эллипса с фокусами на оси Ox

Уравнения директрис эллипса

Каноническое уравнение эллипса с фокусами на оси Oy

Фокусы F1 и F2 имеют координаты

то есть F1 и F2 располагаются в начале координат и совпадают друг с другом.

Окружность как эллипс с совпадающими фокусами

Форма эллипса при различных соотношениях полуосей

Форма эллипса при различных соотношениях полуосей

Оптическое свойство эллипса

Гипербола, основные определения

Каноническое уравнение
гиперболы

Величину b>0 называют мнимой полуосью гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox

Асимптоты и эксцентриситет гиперболы

Уравнения директрис гиперболы

.

Директрисы гиперболы

Фокальный параметр гиперболы

Фокусы расположены на оси Ox.

Форма гиперболы при различных соотношениях полуосей

Оптическое свойство гиперболы

а в системе координат Oxy уравнение той же гиперболы записывается в виде

Данное уравнение называется уравнением гиперболы в асимптотах.

Гипербола, приведенная к асимптотам

а в системе координат Oxy уравнение той же гиперболы записывается в виде

Данное уравнение называется уравнением гиперболы в асимптотах.

Гипербола, приведенная к асимптотам – вариант 2

Гипербола, приведенная к асимптотам

Уравнение директрисы

Выберем прямоугольную систему координат Oxy на плоскости так, чтобы вершина параболы находилась в начале координат, а фокус располагался на оси абсцисс. Такую систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные – каноническими.

Каноническое уравнение параболы с осью на оси Ox

1. p=0.25;
2. p=0.5;
3. p=0.125.

Форма параболы в зависимости от фокального параметра

Оптическое свойство параболы

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

Решение:
Выделим в уравнении полные квадраты:

Пример 1

Полуоси эллипса равны a=1, b=4; его вершины в системе координат O1x1y1 имеют координаты (–1,0), (1,0), (0,–4), (0,4), а в системе координат Oxy – (1,2), (3,2), (2,–2), (2,6). Так как b>a, фокусы эллипса расположены на оси O1y1.
.

Пример 1

Эксцентриситет эллипса равен

Расстояния от точки до фокусов равны

Поскольку F1C+F2C=8=2b, точка C принадлежит эллипсу.

Пример 1

Решение:
Выделим в уравнении полные квадраты:

Пример 2

Полуоси гиперболы равны
ее вершины в системе координат O1x1y1 имеют координаты (0,1), (0,–1), а в системе координат Oxy – (1,3), (1,1).

Пример 2

Действительная полуось гиперболы равна мнимая полуось равна b=1, ее вершины в системе координат O1x1y1 имеют координаты (0,1), (0,–1), а в системе координат Oxy – (1,3), (1,1).

Пример 2 – вариант 2

Эксцентриситет гиперболы равен

Расстояния от точки до фокусов равны

Поскольку |F1C-F2C|=2=2b, точка C принадлежит гиперболе.

Пример 2

Решение:
Выделим в уравнении полный квадрат по y:

Пример 3

Фокальный параметр параболы равен

а в системе координат Oxy –

Фокус параболы в системе координат O1x1y1 имеет координаты

Пример 3

расстояние до директрисы равно

Так как расстояния от точки C до фокуса и до директрисы равны, точка C принадлежит параболе.

Пример 3

Решение:
Малая полуось эллипса равна а его центр – середина отрезка

AB – имеет координаты О1 (–3,–2).

Пример 4

где a – большая полуось эллипса.
Подставив в уравнение эллипса координаты точки C (0,–1), найдем a:

Итак, в исходной системе координат Oxy эллипс задается уравнением

Пример 4

Полуоси эллипса равны
его вершины в системе
O1x1y1 имеют координаты




а в системе Oxy – координаты





соответственно.

Пример 4

эксцентриситет эллипса равен

Расстояния от точки C (0,–1) до фокусов равны

Пример 4

Решение:
Поскольку вертикальная асимптота гиперболы – прямая x=1, уравнение гиперболы имеет вид

Подставив в это уравнение координаты
точек C и A, получим

откуда

Искомая гипербола описывается уравнением

Горизонтальной асимптотой гиперболы
является прямая y= –3. Подставив в полученное уравнение гиперболы координаты точки С, найдем const= –4.

Пример 5

где – полуоси
гиперболы. Ее вершины в системе координат O1x1y1 имеют координаты


а в системе координат Oxy – координаты


соответственно.

Пример 5

эксцентриситет гиперболы равен

Расстояния от точки
до фокусов равны

Следовательно,

Пример 5

Решение:
Поскольку парабола симметрична относительно прямой x=3, ее вершина лежит на этой прямой и имеет координаты (3,y0), а уравнение имеет вид

Расстояние от вершины до директрисы равно p/2, поэтому фокальный параметр равен


Подставляя в уравнение координаты точки C, получим

Поскольку вершина параболы лежит в четвертой четверти, y0<0. Поэтому в левой части уравнения должен стоять знак «плюс». Отсюда

Пример 6

Фокус параболы в системе координат O1x1y1 имеет координаты

а в системе координат Oxy – координаты

Уравнение параболы имеет вид

Пример 6

Пример 6

Решение:
Фокусы лежат на прямой y=2; эта прямая является действительной осью гиперболы. Вершина гиперболы – середина отрезка F1F2 – имеет координаты O1(6,2). Так как расстояние между фокусами гиперболы равно 2c=10, то c=5.
Уравнение гиперболы имеет вид

Подставив в уравнение гиперболы координаты точки C и учитывая, что


получим

Пример 7

Пример 7

Вершины гиперболы в системе координат O1x1y1 имеют координаты

а в системе координат Oxy –

Пример 7

Решение:
Выделим в уравнении полные квадраты по каждой из переменных:

Пример 8

приводим уравнение к каноническому виду

Это уравнение описывает двуполостный гиперболоид.

Пример 8

Решение:
Выделим в уравнении полные квадраты по каждой из переменных:

Пример 9

приводим уравнение к каноническому виду

Это уравнение описывает эллипти-ческий параболоид.

Пример 9

Решение:
Выделим в уравнении полные квадраты по каждой из переменных:

Пример 10

приводим уравнение к каноническому виду

Это уравнение описывает эллипсоид.

Пример 10

Решение:
Выделим в уравнении полный квадрат по переменной y:

Пример 11

приводим уравнение к канони-ческому виду

Это уравнение описывает параболический цилиндр.

Пример 11

Решение:
Выделим в уравнении полные квадраты по каждой из переменных:

Пример 12

приводим уравнение к каноническому виду

Это уравнение описывает гиперболический параболоид.

Пример 12

Решение:

.

Квадратичная форма имеет вид

В матричном виде уравнение этой кривой второго порядка имеет вид

где

.

Найдём собственные числа и собственные векторы матрицы А квадратичной формы

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

.

.

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxy и Ox1y1.

Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член останется прежним.
В результате уравнение поверхности в системе координат Ox1y1 принимает вид

После деления обеих частей уравнения на 2 получаем

Разделив обе части уравнения на 8, получаем каноническое уравнение эллипса

Преобразование параллельного переноса

По каждой из переменных выделяем полный квадрат:

.

Эти векторы откладываем от начала O системы координат, они задают координатные оси новой системы координат Ox1y1.

Для того, чтобы построить эллипс, заданный в исходной системе координат Oxy уравнением

поступаем следующим образом:

.

Квадратичная форма имеет вид

В матричном виде уравнение этой кривой второго порядка имеет вид

где

.

Найдём собственные числа и собственные векторы матрицы А квадратичной формы

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

.

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxy и Ox1y1.

Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член останется прежним.
В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

После деления обеих частей уравнения на -5 получаем

Разделив обе части уравнения на 8, получаем каноническое уравнение гиперболы

поступаем следующим образом:

1. Изображаем исходную систему Oxy, а в ней векторы и .

Эти векторы откладываем от начала O системы координат, они задают координатные оси новой системы координат Ox1y1.

.

Квадратичная форма имеет вид

В матричном виде уравнение этой кривой второго порядка имеет вид

где

Найдём собственные числа и собственные векторы матрицы А квадратичной формы

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

.

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxy и Ox1y1.

Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член отсутствует.
В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

После деления обеих частей уравнения на 25 получаем

В системе координат O2x2y2 уравнение параболы имеет канонический вид

Эти векторы откладываем от начала O системы координат, они задают координатные оси новой системы координат Ox1y1.

Для того, чтобы построить параболу, заданную в исходной системе координат Oxy уравнением

поступаем следующим образом:

Пример 16

.

В матричном виде уравнение этой поверхности второго порядка имеет вид

где

Решение:

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

Пример 16

.

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxyz и Ox1y1z1.
Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных cлагаемых равен

Свободный член останется прежним.
В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

После деления обеих частей уравнения на 3 получаем

Параллельный перенос из системы координат Ox1y1z1 в O2x2y2z2 определен соотношениями

Пример 16

Разделив на 2, получаем каноническое уравнение эллипсоида

Пример 16

Пример 17

.

В матричном виде уравнение этой поверхности второго порядка имеет вид

где

Решение:

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

Пример 17

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxyz и Ox1y1z1.
Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член отсутствует.
В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

или, что тоже самое

Пример 17

Он приводит к уравнению поверхности в системе координат O2x2y2z2, началом

которой является точка , заданная в системе координат Ox1y1z1,

Пример 18

.

В матричном виде уравнение этой поверхности второго порядка имеет вид

где

Решение:

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

Пример 18

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxyz и Ox1y1z1.
Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член остается прежним.

В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

Параллельный перенос из системы координат Ox1y1z1 в O2x2y2z2 определен соотношениями

Разделив на -4/5, получаем каноническое уравнение двуполостного гиперболоида

Пример 18

Пример 19

.

В матричном виде уравнение этой поверхности второго порядка имеет вид

где

Решение:

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

Пример 19

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxyz и Ox1y1z1.
Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку , то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член останется прежним.
В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

Параллельный перенос из системы координат Ox1y1z1 в O2x2y2z2 определен соотношениями

Разделив на 24, получаем каноническое уравнение эллиптического параболоида

Пример 19

Пример 20

.

В матричном виде уравнение этой поверхности второго порядка имеет вид

где

Решение:

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных

Пример 20

.

Порядок следования собственных чисел соответствует порядку собственных векторов в матрице ортогонального преобразования – матрице перехода между ортонормированными базисами систем координат Oxyz и Ox1y1z1.
Линейные слагаемые преобразуются следующим образом.
Поскольку то вектор-строка коэффициентов при линейных слагаемых равен

Свободный член остается прежним.
В результате уравнение поверхности в новых координатах принимает вид

После деления обеих частей уравнения на 9 получаем

Пример 20

Разделив на 4, получаем каноническое уравнение гиперболического параболоида

Пример 20