- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики презентация
Содержание
- 1. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики
- 2. КОМБИНАТОРИКА
- 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным
- 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Перестановками называют комбинации, состоящие из одних
- 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Перестановками называют комбинации, состоящие из одних
- 6. ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО РАССТАВИТЬ N ОБЪЕКТОВ?
- 7. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
- 8. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг? РЕШЕНИЕ.
- 9. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на
- 10. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на
- 11. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на
- 12. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на
- 13. ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на
- 14. ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел
- 15. ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел
- 16. ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел
- 17. ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел
- 18. ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел
- 19. ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел
- 20. ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 =
- 21. ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 = 5! =
- 22. ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 = 5! = 1•2•3•4•5 =
- 23. ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 = 5! = 1•2•3•4•5 = 120
- 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Размещениями называют комбинации, составленные из n
- 25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Размещениями называют комбинации, составленные из n
- 26. ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ
- 27. ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых
- 28. ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых
- 29. ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых
- 30. ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых
- 31. ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. A64 =
- 32. ПРИМЕР 3 РЕШЕНИЕ. A64 = 6•5•4•3 =
- 33. ПРИМЕР 3 РЕШЕНИЕ. A64 = 6•5•4•3 = 360
- 34. ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из
- 35. ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из
- 36. ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из
- 37. ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из
- 38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сочетаниями называют комбинации, составленные из n
- 39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сочетаниями называют комбинации, составленные из n
- 40. ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ M ОБЪЕКТОВ ИЗ N ОБЪЕКТОВ?
- 41. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 42. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 43. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 44. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 45. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 46. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 47. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 48. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 49. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 50. ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать
- 51. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 52. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 53. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 54. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 55. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 56. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 57. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 58. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 59. ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек
- 60. ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ Правило
- 61. ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша,
- 62. ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша,
- 63. ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша,
- 64. ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша,
- 65. ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша,
- 66. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать
- 67. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать
- 68. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами
- 69. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 70. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 71. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 72. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 73. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 74. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 75. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 76. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 77. ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3
- 78. ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ Правило
- 79. ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена
- 80. ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена
- 81. ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена
- 82. ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена
- 83. ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек - 5
- 84. ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя
- 85. ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя
- 86. ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя
- 87. ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя
- 88. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
- 89. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного события (P(A)).
- 90. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Мерой возможности появления события называется число,
- 91. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вероятностью события A называют отношение числа
- 92. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
- 93. Каждому случайному событию A соответствует определенное
- 94. Вероятность достоверного события равна единице
- 95. (аксиома сложения вероятностей). Пусть A
- 96. Следствие 1. если события A1,
- 97. Следствие 2. Если пространство
- 98. Следствие 3. Если пространство
- 99. Событием, противоположным событию A, называется событие
- 100. Теорема Вероятность невозможного события равна нулю
КОМБИНАТОРИКА
Слайд 1КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
КАЛАБУХОВА Галина Валентиновна
К.социол.н., доцент
Тема 1
Слайд 3ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из
элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества
Слайд 4ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Слайд 5ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок:
Pn = n!
где n! = 1*2*3 … n
При этом: 0! = 1
Число всех возможных перестановок:
Pn = n!
где n! = 1*2*3 … n
При этом: 0! = 1
Слайд 9ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
Слайд 10ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 =
P10 =
Слайд 11ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 = 10! =
P10 = 10! =
Слайд 12ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 = 10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 =
P10 = 10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 =
Слайд 13ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 = 10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 = 3 628 800
P10 = 10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 = 3 628 800
Слайд 14ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
Слайд 15ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Слайд 16ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной.
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной.
Слайд 17ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4.
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4.
Слайд 18ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся 5-ти местах в любом порядке.
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся 5-ти местах в любом порядке.
Слайд 19ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся 5-ти местах в любом порядке.
Следовательно, задача сводится к нахождению числа перестановок из пяти элементов.
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся 5-ти местах в любом порядке.
Следовательно, задача сводится к нахождению числа перестановок из пяти элементов.
Слайд 24ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются либо составом элементов либо их порядком.
Слайд 25ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются либо составом элементов либо их порядком.
Число всех возможных размещений:
Anm = n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)
Число всех возможных размещений:
Anm = n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)
Слайд 26ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА
СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ M ОБЪЕКТОВ ИЗ N И
В КАЖДОЙ ВЫБОРКЕ ПЕРЕСТАВИТЬ ИХ МЕСТАМИ (ЛИБО РАСПРЕДЕЛИТЬ МЕЖДУ НИМИ КАКИЕ-НИБУДЬ УНИКАЛЬНЫЕ АТРИБУТЫ)?
Слайд 27ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
Слайд 28ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Слайд 29ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в комбинациях могут участвовать не все буквы и порядок их следования важен (получаются разные слова),
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в комбинациях могут участвовать не все буквы и порядок их следования важен (получаются разные слова),
Слайд 30ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в комбинациях могут участвовать не все буквы и порядок их следования важен (получаются разные слова), то задача решается с помощью нахождения числа размещений, т.е.
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в комбинациях могут участвовать не все буквы и порядок их следования важен (получаются разные слова), то задача решается с помощью нахождения числа размещений, т.е.
Слайд 34ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
Слайд 35ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 =
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 =
Слайд 36ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 = 9•8•7 =
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 = 9•8•7 =
Слайд 37ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 = 9•8•7 = 504
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 = 9•8•7 = 504
Слайд 38ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом.
Слайд 39ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний:
Число сочетаний:
Слайд 41ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
Слайд 42ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Слайд 43ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 44ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 45ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 46ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 47ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 48ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 49ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 50ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 51ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
Слайд 52ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Слайд 53ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 54ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 55ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 56ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 57ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 58ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 59ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 60ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО КОМБИНАТОРИКЕ
Правило суммы. Если некоторый объект A может
быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно (m+n) способами.
Слайд 61ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
Слайд 62ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Слайд 63ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны:
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны:
Слайд 64ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны: 1 фрукт, 2 фрукта, 3 фрукты из находящихся в вазе.
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны: 1 фрукт, 2 фрукта, 3 фрукты из находящихся в вазе.
Слайд 65ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны: 1 фрукт, 2 фрукта, 3 фрукты из находящихся в вазе. Общее число способов – СУММА всех вариантов выбора: 1 фрукта, 2 фруктов и 3 фруктов.
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны: 1 фрукт, 2 фрукта, 3 фрукты из находящихся в вазе. Общее число способов – СУММА всех вариантов выбора: 1 фрукта, 2 фруктов и 3 фруктов.
Слайд 73ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из
3 можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать
3 фрукта из 3 можно выбрать
Слайд 74ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из
3 можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Слайд 75ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из
3 можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов:
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов:
Слайд 76ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из
3 можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов: 3 + 3 + 1 =
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов: 3 + 3 + 1 =
Слайд 77ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из
3 можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов: 3 + 3 + 1 = 7
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов: 3 + 3 + 1 = 7
Слайд 78ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО КОМБИНАТОРИКЕ
Правило произведения. Если объект A можно выбрать
из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана (m·n) способами.
Слайд 79ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
Слайд 80ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Слайд 81ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
РЕШЕНИЕ.
Если один член комиссии назначается на должность председателя комиссии, то заместитель председателя – из оставшихся членов комиссии.
РЕШЕНИЕ.
Если один член комиссии назначается на должность председателя комиссии, то заместитель председателя – из оставшихся членов комиссии.
Слайд 82ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
РЕШЕНИЕ.
Если один член комиссии назначается на должность председателя комиссии, то заместитель председателя – из оставшихся членов комиссии. Т.к. оба назначения должны произойти одновременно, то их общее количество является ПРОИЗВЕДЕНИЕМ вариантов первого и второго назначений
РЕШЕНИЕ.
Если один член комиссии назначается на должность председателя комиссии, то заместитель председателя – из оставшихся членов комиссии. Т.к. оба назначения должны произойти одновременно, то их общее количество является ПРОИЗВЕДЕНИЕМ вариантов первого и второго назначений
Слайд 84ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Слайд 85ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Общее число комбинаций:
Общее число комбинаций:
Слайд 86ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Общее число комбинаций:
5•4 =
Общее число комбинаций:
5•4 =
Слайд 87ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Общее число комбинаций:
5•4 = 20
Общее число комбинаций:
5•4 = 20
Слайд 89ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного события (P(A)).
Слайд 90ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного события (P(A)).
Закономерности,
появляющиеся при проведении достаточно большого количества испытаний с каким-либо объектом, называются вероятностными или статистическим закономерностями.
Слайд 91ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к
общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
P (A) = m/n,
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных элементарных исходов испытания
P (A) = m/n,
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных элементарных исходов испытания
Слайд 93
Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью
и удовлетворяющее условию:
0 ≤ P(A) ≤ 1
0 ≤ P(A) ≤ 1
Слайд 95
(аксиома сложения вероятностей).
Пусть A и В — несовместные события. Тогда
вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)
Слайд 96
Следствие 1.
если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то:
P(A1+А2+…+Аn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
Слайд 97
Следствие 2.
Если пространство элементарных событий состоит из N равновозможных элементарных
событий, то вероятность каждого из них:
Слайд 98
Следствие 3.
Если пространство элементарных событий состоит из N равновозможных элементарных
событий, то вероятность события A:
где NA - количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению события A
где NA - количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению события A
Слайд 99
Событием, противоположным событию A, называется событие Ā, состоящее в ненаступлении события
A
Теорема Для любого события вероятность противоположного события выражается равенством:
P(Ā ) = 1 - P(A)
Теорема Для любого события вероятность противоположного события выражается равенством:
P(Ā ) = 1 - P(A)
