являются значениями непрерывной функции при
целых значениях аргумента :
и пусть монотонно убывает в интервале
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный
интеграл
и расходится, если интеграл расходится.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Интегральный признак Коши. (Лекция 2.16) презентация
Содержание
- 1. Интегральный признак Коши. (Лекция 2.16)
- 2. Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию,
- 3. Пример. Применим интегральный признак Коши.
- 4. Оценка ошибки при приближенных вычислениях суммы ряда.
- 5. 13.1.4. Знакопеременные ряды. Пример знакопеременного ряда
- 6. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 1) Если ряд
- 7. 2) Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно
- 8. 13.1.5. Знакочередующиеся
- 9. Тогда
- 10. Пример. Ряд сходится по признаку
- 11. 13.2. Функциональные ряды. 13.2.1. Общие определения.
- 12. Пример.
Доказательство.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линией с основанием от 1 до
Слайд 1Лекция 2-16.
13.1.3.4. Интегральный признак Коши.
Теорема. Пусть дан ряд
члены которого
являются значениями непрерывной функции при
целых значениях аргумента :
и пусть монотонно убывает в интервале
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный
интеграл
и расходится, если интеграл расходится.
являются значениями непрерывной функции при
целых значениях аргумента :
и пусть монотонно убывает в интервале
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный
интеграл
и расходится, если интеграл расходится.
Слайд 2Доказательство.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную
линией
с основанием от 1 до
Площадь ее равна
Рассмотрим две ступенчатые фигуры:
Сравним площади
Рассмотрим два варианта.
1) Интеграл сходится, т.е. Тогда
На основании леммы ряд сходится.
2) Интеграл расходится, т.е. Тогда из ряд расходится.
Площадь ее равна
Рассмотрим две ступенчатые фигуры:
Сравним площади
Рассмотрим два варианта.
1) Интеграл сходится, т.е. Тогда
На основании леммы ряд сходится.
2) Интеграл расходится, т.е. Тогда из ряд расходится.
Слайд 4Оценка ошибки при приближенных вычислениях суммы ряда.
Примеры: 1)
Для заданного можно оценить из условия
Для
Данный ряд медленно (плохо) сходится.
2)
3)
Слайд 513.1.4. Знакопеременные ряды.
Пример знакопеременного ряда
Знакопеременный ряд
сходится, если сходится
ряд В этом случае ряд называется абсолютно
сходящимся.
Сходящийся ряд называют условно сходящимся,
если ряд расходится.
ряд В этом случае ряд называется абсолютно
сходящимся.
Сходящийся ряд называют условно сходящимся,
если ряд расходится.
Слайд 6Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1) Если ряд
сходится абсолютно, то возможна
перестановка бесконечного множества его членов. Если
ряд сходится условно, то при перестановке
бесконечного множества его членов можно получить
расходящийся ряд или изменится сумма ряда.
перестановка бесконечного множества его членов. Если
ряд сходится условно, то при перестановке
бесконечного множества его членов можно получить
расходящийся ряд или изменится сумма ряда.
Слайд 7
2) Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать.
Например
Сумма полученного ряда равна произведению сумм исходных рядов.
Пример. сходится абсолютно, т.к. ряд
сходится.
Сумма полученного ряда равна произведению сумм исходных рядов.
Пример. сходится абсолютно, т.к. ряд
сходится.
Слайд 813.1.5. Знакочередующиеся
ряды.
Теорема Лейбница. Если в
знакочередующемся ряде
и то ряд сходится. Причем
Доказательство. Возьмем для определенности
Рассмотрим последовательность сумм
Она возрастающая.
Выражение в квадратных скобках возрастающая последо-
вательность. Следовательно последовательность убывающая.
и то ряд сходится. Причем
Доказательство. Возьмем для определенности
Рассмотрим последовательность сумм
Она возрастающая.
Выражение в квадратных скобках возрастающая последо-
вательность. Следовательно последовательность убывающая.
Слайд 9Тогда
т.к. если то
если то
Последовательность с четными индексами возрастает
и ограничена сверху. Значит существует
т. к. то
Если бы перед рядом стоял минус, то картина
зеркально отразится относительно точки
Остаток ряда удовлетворяет
условиям признака Лейбница. Поэтому его сумма
Слайд 1113.2. Функциональные ряды. 13.2.1. Общие определения.
Такие ряды называют функциональными. Предполагается, что
определены и непрерывны. Для одних значений ряд может сходится, для других – расходиться. При значении получим числовой
ряд Если он сходится, то точка
называется точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Область сходимости – интервал оси
ряд Если он сходится, то точка
называется точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Область сходимости – интервал оси
Слайд 12Пример. Ряд сходится в области
При ряд расходится.
Сумма ряда
есть функция независимой переменной В примере
Эта функция есть сумма только при
Частичная сумма первых членов ряда обозначается
остаток ряда - Если ряд сходится при каком-либо , то
При конечном числе функций интеграл или производная от суммы равна сумме интегралов или производных. Для ряда этого может и не иметь место.
