Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии презентация

Содержание

Векторы. Линейные операции над векторами. Вектор – направленный отрезок. Обозначение . Длина вектора – длина отрезка АВ. Обозначение длины

Слайд 1Лекция №2
Элементы векторной алгебры и
аналитической геометрии:

Векторы. Линейные операции над векторами. Базис

на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов. Аналитическая геометрия на плоскости.

1

Слайд 2Векторы. Линейные операции над векторами.
Вектор – направленный отрезок.
Обозначение

.
Длина вектора – длина отрезка АВ.
Обозначение длины
или .
Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной прямой.
Обозначения:
– векторы сонаправлены;
– векторы противоположно направлены;
– в общем случае (без указания взаимной направленности).

2

Слайд 3Векторы. Линейные операции над векторами.
3
Равные векторы – векторы, удовлетворяющие условиям :
1)

имеют одинаковую длину;
2) коллинеарны;
3) сонаправлены.

Компланарные векторы — векторы, параллельные одной плоскости.

Слайд 4Векторы. Линейные операции над векторами.
Линейными операциями над векторами называются операции сложения

векторов и умножения вектора на число.
Сумма векторов a и b определяется по правилу треугольника или параллелограмма.
Обозначение суммы или .

4

Слайд 5Векторы. Линейные операции над векторами.
Произведением вектора ā на число λ

называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) ;
2) при λ>0 и при λ<0 . Обозначение .

5

Слайд 6Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
6
Два неколлинеарных вектора

и образуют базис на плоскости.
Три некомпланарных вектора , и образуют базис в пространстве.
Ортонормированный (декартовый) базис – это базис составляющие векторы которого взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
Будем обозначать декартовый базис на плоскости - , ; в пространстве - , , .

Слайд 7Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Разложить вектор по базису –

значит представить его в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. в форме

7

Числа α, β, γ, (коэффициенты линейной комбинации) называются координатами вектора в данном базисе. Вектор может быть задан в координатной форме: – на плоскости; – в пространстве.

- на плоскости,

- в протранстве.

Слайд 8Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Линейным операциям над векторами
8
и
1.
2.
3.
Если заданы

координаты начала и конца вектора

тогда координаты вектора вычисляются:

и

Слайд 9Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Условия коллинеарности и компланарности векторов

в координатной форме выглядит следующим образом:

9

1. Два вектора коллинеарны, если

2. Три вектора компланарны, если

Слайд 10Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Пример. Даны четыре вектора:
10
Показать, что

три первых вектора образуют базис в трехмерном пространстве и разложить четвертый вектор по этому базису.

Δ≠0, а значит это базис.

Слайд 11Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Разложим четвертый вектор по этому

базису:

11

Запишем в координатном виде:

Слайд 12Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Запишем систему уравнений:
12

Слайд 13Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Осталось решить систему из 3-х

уравнений на 3-и неизвестные:

13

Слайд 14Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
14

Слайд 15Скалярное произведение векторов.
15
Скалярным произведением векторов называют сумму произведений их координат:
a·b=a1·b1+a2·b2+a3·b3
Скалярным произведением

векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:
a·b=|a|·|b|·cos(α)
Скалярное произведение векторов можно еще представить:



где проекция вектора а на вектор b.

Слайд 16Скалярное произведение векторов.
16
С помощью скалярного произведения можно вычислить:
Длину вектора:


Расстояние между двумя

точками:


Косинус угла между двумя векторами:

Слайд 17Скалярное произведение векторов.
17
Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов:

Слайд 18Свойства скалярного произведения векторов.
18
(критерий ортогональности векторов);
7.

Работа силы , действующей на материальную точку при перемещении её из начала в конец вектора вычисляется по формуле (физический смысл).

Слайд 19Векторное произведение.
Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор c

такой, что:
- модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b;
2.
3. Тройка векторов правая.

19

Слайд 20Векторное произведение.
Обозначение:
20
Координаты вектора
вычисляются по формуле:

Слайд 21Свойства векторного произведения.
21
критерий коллинеарности векторов.

Слайд 22Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением векторов
22
Абсолютная величина смешанного произведения векторов
называется число:
или

равна объему

параллелепипеда построенного

на этих векторах.

Слайд 23Свойства смешанного произведения.
23
- компланарны.

Слайд 24Примеры.
Найти угол между векторами p и q, если p=2m+3n, q=m+2n, |m|=2,

|n|=3, а угол между векторами m и n равен π/3.

24

Напомним, что:

вычислим

и

Слайд 25Примеры.
Теперь вычислим длину наших векторов:
25

Слайд 26Примеры.
В результате получим:
26

Слайд 27Примеры.
Найти векторное произведение векторов
27

Слайд 28Примеры.
Вычислить смешанное произведение векторов
28

Слайд 29Аналитическая геометрия на плоскости.
29
1. Расстояние d между точками M1(x1,y1) и M2(x2,y2)

на плоскости:

2. Деление отрезка в заданном отношении λ. Даны точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Тогда координаты точки N(x,y), делящей отрезок М1М2 в отношении

определяется по формуле:

При λ=1:

Слайд 30Аналитическая геометрия на плоскости.
30
б) уравнение прямой с угловым коэффициентом
- нормальный вектор

прямой,

3. Основные виды уравнений прямой на плоскости:

а) общее уравнение:

- угловой коэффициент, равный

тангенсу угла α, который образует прямая с положительным направлением оси Ox, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy;

Слайд 31Аналитическая геометрия на плоскости.
31
г) уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1)

и M2(x2,y2)

д) уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0,y0) в данном направлении

- угловой коэффициент.

в) уравнение прямой в отрезках
где а – абсцисса, b – ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу соответственно;

Слайд 32Аналитическая геометрия на плоскости.
4. Взаимное расположение двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2:

а)

угол между прямыми:

32

– угол, на который нужно повернуть первую прямую против часовой стрелки до совпадения со второй прямой;

где k1 и k2 – угловые коэффициенты этих прямых;

Слайд 33Аналитическая геометрия на плоскости.
33
б) признак параллельности двух прямых: k1=k2;

в) признак перпендикулярности

двух прямых:

5. Расстояние от точки M0(x0,y0) до прямой Ax+By+C=0 находиться по формуле:

Слайд 34Примеры.
34
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–2,1), В(2,9), С(-7,8). Hайти: 1) систему

неравенств, определяющих множество точек треугольника АВС; 2) угол С в радианах с точностью до двух знаков; 3) уравнение высоты AD и ее длину; 4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения этой медианы с высотой AD; 5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр.
Решение:
Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости: под прямой и над прямой – это обозначается в уравнении прямой знаком неравенства.
Построим прямые проходящие через точки А, В и С по формуле:

Слайд 35Примеры.
35
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Слайд 36Примеры.
36
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Слайд 37Примеры.
37
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Слайд 38Примеры.
38
Уравнения АС и ВС имеют вид:
2) угол С в радианах с

точностью до двух знаков;

А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Соответственно коэффициенты КА=-7/5, КВ=1/9.
Мы знаем, что

Слайд 39Примеры.
39
3) уравнение высоты AD и ее длину;

Вспомним признак перпендикулярности прямых:
В нашем

случае

Т.е. К=-9, тогда уравнение прямой будет записываться по формуле:

А(–2,1)

Слайд 40Примеры.
Расстояние от точки до прямой вычисляется
40
А(–2,1)

Слайд 41Примеры.
4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения этой медианы

с высотой AD.
Чтобы найти уравнение медианы СЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны АВ.

41

А(–2,1), В(2,9)

Слайд 42Примеры.
42
С(-7,8), Е(0,5)

Слайд 43Примеры.
43
Для нахождения координат точки пересечения медианы и высоты, решим систем уравнений

составленную их уравнения медианы и уравнения высоты:

Слайд 44Примеры.
44
5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр.

Слайд 45Примеры.
Осталось записать уравнение окружности
45

Похожие презентации

Построение сечений многогранников 304
Свойства натурального ряда чисел 351
Дискретная математика. Периоды развития математики 1156
Решение задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби 456
Необходимость математики в жизни 499
Математика, 3 класс. Устный счёт 1027

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика