Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии презентация

Содержание

Векторы. Линейные операции над векторами. Вектор – направленный отрезок. Обозначение . Длина вектора – длина отрезка АВ. Обозначение длины

Слайд 1Лекция №2
Элементы векторной алгебры и
аналитической геометрии:

Векторы. Линейные операции над векторами. Базис

на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов. Аналитическая геометрия на плоскости.

1

Слайд 2Векторы. Линейные операции над векторами.
Вектор – направленный отрезок.
Обозначение

.
Длина вектора – длина отрезка АВ.
Обозначение длины
или .
Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной прямой.
Обозначения:
– векторы сонаправлены;
– векторы противоположно направлены;
– в общем случае (без указания взаимной направленности).

2

Слайд 3Векторы. Линейные операции над векторами.
3
Равные векторы – векторы, удовлетворяющие условиям :
1)

имеют одинаковую длину;
2) коллинеарны;
3) сонаправлены.

Компланарные векторы — векторы, параллельные одной плоскости.

Слайд 4Векторы. Линейные операции над векторами.
Линейными операциями над векторами называются операции сложения

векторов и умножения вектора на число.
Сумма векторов a и b определяется по правилу треугольника или параллелограмма.
Обозначение суммы или .

4

Слайд 5Векторы. Линейные операции над векторами.
Произведением вектора ā на число λ

называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) ;
2) при λ>0 и при λ<0 . Обозначение .

5

Слайд 6Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
6
Два неколлинеарных вектора

и образуют базис на плоскости.
Три некомпланарных вектора , и образуют базис в пространстве.
Ортонормированный (декартовый) базис – это базис составляющие векторы которого взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
Будем обозначать декартовый базис на плоскости - , ; в пространстве - , , .

Слайд 7Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Разложить вектор по базису –

значит представить его в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. в форме

7

Числа α, β, γ, (коэффициенты линейной комбинации) называются координатами вектора в данном базисе. Вектор может быть задан в координатной форме: – на плоскости; – в пространстве.

- на плоскости,

- в протранстве.

Слайд 8Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Линейным операциям над векторами
8
и
1.
2.
3.
Если заданы

координаты начала и конца вектора

тогда координаты вектора вычисляются:

и

Слайд 9Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Условия коллинеарности и компланарности векторов

в координатной форме выглядит следующим образом:

9

1. Два вектора коллинеарны, если

2. Три вектора компланарны, если

Слайд 10Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Пример. Даны четыре вектора:
10
Показать, что

три первых вектора образуют базис в трехмерном пространстве и разложить четвертый вектор по этому базису.

Δ≠0, а значит это базис.

Слайд 11Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Разложим четвертый вектор по этому

базису:

11

Запишем в координатном виде:

Слайд 12Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Запишем систему уравнений:
12

Слайд 13Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
Осталось решить систему из 3-х

уравнений на 3-и неизвестные:

13

Слайд 14Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора
14

Слайд 15Скалярное произведение векторов.
15
Скалярным произведением векторов называют сумму произведений их координат:
a·b=a1·b1+a2·b2+a3·b3
Скалярным произведением

векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:
a·b=|a|·|b|·cos(α)
Скалярное произведение векторов можно еще представить:



где проекция вектора а на вектор b.

Слайд 16Скалярное произведение векторов.
16
С помощью скалярного произведения можно вычислить:
Длину вектора:


Расстояние между двумя

точками:


Косинус угла между двумя векторами:

Слайд 17Скалярное произведение векторов.
17
Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов:

Слайд 18Свойства скалярного произведения векторов.
18
(критерий ортогональности векторов);
7.

Работа силы , действующей на материальную точку при перемещении её из начала в конец вектора вычисляется по формуле (физический смысл).

Слайд 19Векторное произведение.
Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор c

такой, что:
- модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b;
2.
3. Тройка векторов правая.

19

Слайд 20Векторное произведение.
Обозначение:
20
Координаты вектора
вычисляются по формуле:

Слайд 21Свойства векторного произведения.
21
критерий коллинеарности векторов.

Слайд 22Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением векторов
22
Абсолютная величина смешанного произведения векторов
называется число:
или

равна объему

параллелепипеда построенного

на этих векторах.

Слайд 23Свойства смешанного произведения.
23
- компланарны.

Слайд 24Примеры.
Найти угол между векторами p и q, если p=2m+3n, q=m+2n, |m|=2,

|n|=3, а угол между векторами m и n равен π/3.

24

Напомним, что:

вычислим

и

Слайд 25Примеры.
Теперь вычислим длину наших векторов:
25

Слайд 26Примеры.
В результате получим:
26

Слайд 27Примеры.
Найти векторное произведение векторов
27

Слайд 28Примеры.
Вычислить смешанное произведение векторов
28

Слайд 29Аналитическая геометрия на плоскости.
29
1. Расстояние d между точками M1(x1,y1) и M2(x2,y2)

на плоскости:

2. Деление отрезка в заданном отношении λ. Даны точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Тогда координаты точки N(x,y), делящей отрезок М1М2 в отношении

определяется по формуле:

При λ=1:

Слайд 30Аналитическая геометрия на плоскости.
30
б) уравнение прямой с угловым коэффициентом
- нормальный вектор

прямой,

3. Основные виды уравнений прямой на плоскости:

а) общее уравнение:

- угловой коэффициент, равный

тангенсу угла α, который образует прямая с положительным направлением оси Ox, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy;

Слайд 31Аналитическая геометрия на плоскости.
31
г) уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1)

и M2(x2,y2)

д) уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0,y0) в данном направлении

- угловой коэффициент.

в) уравнение прямой в отрезках
где а – абсцисса, b – ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу соответственно;

Слайд 32Аналитическая геометрия на плоскости.
4. Взаимное расположение двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2:

а)

угол между прямыми:

32

– угол, на который нужно повернуть первую прямую против часовой стрелки до совпадения со второй прямой;

где k1 и k2 – угловые коэффициенты этих прямых;

Слайд 33Аналитическая геометрия на плоскости.
33
б) признак параллельности двух прямых: k1=k2;

в) признак перпендикулярности

двух прямых:

5. Расстояние от точки M0(x0,y0) до прямой Ax+By+C=0 находиться по формуле:

Слайд 34Примеры.
34
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–2,1), В(2,9), С(-7,8). Hайти: 1) систему

неравенств, определяющих множество точек треугольника АВС; 2) угол С в радианах с точностью до двух знаков; 3) уравнение высоты AD и ее длину; 4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения этой медианы с высотой AD; 5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр.
Решение:
Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости: под прямой и над прямой – это обозначается в уравнении прямой знаком неравенства.
Построим прямые проходящие через точки А, В и С по формуле:

Слайд 35Примеры.
35
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Слайд 36Примеры.
36
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Слайд 37Примеры.
37
А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Слайд 38Примеры.
38
Уравнения АС и ВС имеют вид:
2) угол С в радианах с

точностью до двух знаков;

А(–2,1), В(2,9), С(-7,8)

Соответственно коэффициенты КА=-7/5, КВ=1/9.
Мы знаем, что

Слайд 39Примеры.
39
3) уравнение высоты AD и ее длину;

Вспомним признак перпендикулярности прямых:
В нашем

случае

Т.е. К=-9, тогда уравнение прямой будет записываться по формуле:

А(–2,1)

Слайд 40Примеры.
Расстояние от точки до прямой вычисляется
40
А(–2,1)

Слайд 41Примеры.
4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения этой медианы

с высотой AD.
Чтобы найти уравнение медианы СЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны АВ.

41

А(–2,1), В(2,9)

Слайд 42Примеры.
42
С(-7,8), Е(0,5)

Слайд 43Примеры.
43
Для нахождения координат точки пересечения медианы и высоты, решим систем уравнений

составленную их уравнения медианы и уравнения высоты:

Слайд 44Примеры.
44
5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр.

Слайд 45Примеры.
Осталось записать уравнение окружности
45

Похожие презентации

Решение задач. Теорема Пифагора 456
Степень числа. Квадрат и куб числа 330
Математика в моей будущей профессии металлурга 416
Задача о поиске устойчивых паросочетаний. (Лекция 11) 408
Функции и графики 354
Проверка теоретического материала по геометрии 7 класс 242

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика