функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие график функции, точки.
Определим точки экстремума для функции двух переменных.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Экстремум функции двух переменных презентация
Содержание
- 1. Экстремум функции двух переменных
- 2. Точка М(х0,у0) называется точкой максимума (минимума) функции
- 3. Экстремум имеет локальный характер, поскольку рассматривается максимальное
- 4. ТЕОРЕМА. Пусть точка (х0,у0) является точкой
- 5. Доказательство: Пусть точка М(х0,у0) – точка максимума.
- 6. Точки, в которых выполняются условия экстремума функции z=f(x,y), т.е. называются критическими или стационарными.
- 7. Необходимое условие экстремума можно сформулировать иначе: В
- 8. max min
- 9. Однако, сформулированное выше условие является необходимым, но
- 11. В точке М(х0,у0) выполняется необходимое условие экстремума:
- 12. ТЕОРЕМА. Достаточное условие экстремума Пусть
- 13. 2 Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка:
- 14. Тогда, если то в данной точке
- 15. СХЕМА исследования функции нескольких переменных на экстремум 1 Найти частные производные
- 16. 2 Решить систему уравнений и найти критические точки
- 17. 3 Найти частные производные второго порядка, вычислить
- 18. 4 Найти значения функции в точках экстремума.
- 19. Пример. Найти экстремум функции
- 20. Решение.
- 21. Экстремума нет.
- 22. Экстремум есть. Т.к. А
Точка М(х0,у0) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если существует окрестность точки М, такая что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство: max min
Слайд 2Точка М(х0,у0) называется точкой
максимума (минимума) функции z=f(x,y),
если существует окрестность точки
М,
такая что для всех точек (х,у) из этой
окрестности выполняется неравенство:
такая что для всех точек (х,у) из этой
окрестности выполняется неравенство:
max
min
Слайд 3Экстремум имеет локальный характер, поскольку рассматривается максимальное и минимальное значение функции
в достаточно малой окрестности точки М(х0,у0).
Сформулируем аналог теоремы Ферма для функции двух переменных:
Сформулируем аналог теоремы Ферма для функции двух переменных:
необходимое условие
экстремума
Слайд 4ТЕОРЕМА.
Пусть точка (х0,у0) является точкой экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y).
Тогда частные
производные в этой точке
равны нулю:
Слайд 5Доказательство:
Пусть точка М(х0,у0) – точка максимума.
Зафиксируем одну из переменных, например, у:
у=у0
Тогда
получим функцию одной переменной
z1=f(х,у0)
которая будет иметь максимум при х=х0.
Согласно теореме Ферма
z1=f(х,у0)
которая будет иметь максимум при х=х0.
Согласно теореме Ферма
Аналогично можно доказать, что
Слайд 6Точки, в которых выполняются условия
экстремума функции z=f(x,y), т.е.
называются критическими или
стационарными.
Слайд 7Необходимое условие экстремума можно сформулировать иначе:
В точках максимума или минимума
дифференцируемой
функции градиент этой
функции равен нулю:
функции равен нулю:
Слайд 9Однако, сформулированное выше условие является необходимым, но не достаточным.
Т.е., если
частные производные функции в точке равны нулю, то это еще не означает, что в данной точке имеется экстремум функции.
Например:
Например:
Слайд 11В точке М(х0,у0) выполняется необходимое условие экстремума:
Но эта точка не
является точкой экстремума.
Она называется седловой точкой (аналог точки перегиба).
Чтобы отличать такие точки от точек экстремума, необходимо рассмотреть достаточное условие экстремума.
Она называется седловой точкой (аналог точки перегиба).
Чтобы отличать такие точки от точек экстремума, необходимо рассмотреть достаточное условие экстремума.
Слайд 12ТЕОРЕМА.
Достаточное условие экстремума
Пусть функция z=f(x,y)
1
Определена в некоторой окрестности критической точки
(х0,у0), в которой
Слайд 14
Тогда, если
то в данной точке функция имеет экстремум, причем
если А>0, то
минимум
если А<0, то максимум
если
если А<0, то максимум
если
то функция экстремума не имеет,
если
то вопрос остается открытым.
Слайд 173
Найти частные производные
второго порядка, вычислить
их значения в критических точках
и с помощью
достаточного условия
экстремума сделать вывод о
наличии экстремума функции.
экстремума сделать вывод о
наличии экстремума функции.
