- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Численное решение уравнений нелинейной оптики презентация
Содержание
- 1. Численное решение уравнений нелинейной оптики
- 2. Содержание Описание световых волн. Уравнения для
- 3. Цель решения уравнений Современные оптические системы представляют
- 4. Электромагнитная природа света В рамках электромагнитной теории
- 5. Уравнения Максвелла При решении оптических задач очень
- 6. Уравнения Максвелла Получается система Применяя оператор
- 7. Волновое уравнение Максвелла Для решения необходимо знать
- 8. Материальные уравнения В самом общем виде линейная
- 9. Содержание Описание световых волн. Уравнения для
- 10. Линейный режим Так как зависимость между PL
- 11. Линейный режим ε(ω) − Зависимость в общем
- 12. Вид скалярных уравнений Уравнение Шредингера для огибающей
- 13. Вид скалярных уравнений Уравнение для поля импульса
- 14. Вид скалярных уравнений Уравнение для поля импульса
- 15. Содержание Описание световых волн. Уравнения для
- 16. Нормировка уравнения или
- 17. Отступление про вычислительную точность Дробные числа в
- 18. Отступление про вычислительную точность При этом
- 20. Содержание Описание световых волн. Уравнения для
- 21. Решение методом расщепления по физическим факторам Метод расщепления состоит в последовательном решении
- 22. В случае уравнения с дифракцией для поля
- 23. Дисперсионное уравнение Данное уравнение может быть переписано
- 24. Дисперсионное уравнение Либо в более общем
- 25. Решение дисперсионного уравнения Однако такое уравнение имеет точное решение
- 26. Решение дисперсионного уравнения Таким образом для решения
- 27. Про преобразование Фурье В случае когда сигнал
- 28. Отступление про сложность алгоритмов Определение f(n)=O(g(n)) В
- 29. Сложность алгоритмов вычисления преобразования Фурье Для ДПФ
- 30. Отступление про сложность алгоритмов Разного вида сложности N3 N2 N log(N) N log(N)
- 31. БПФ Ограничения накладываемые на данные из-за использования
- 32. Содержание Описание световых волн. Уравнения для
- 33. Решение дифракционного уравнения Переходим в спектральную область
- 34. Память и время работы Предположим G у
- 35. Скорость работы компьютера Одна из характеристик процессоров
- 36. Скорость работы компьютера Факты влияющие на скорость
- 37. Время работы Таким образом получается значение в районе 300 секунд на шаг алгоритма
- 38. Решение дифракционного уравнения Предположим, что импульс имеет
- 39. Решение дифракционного уравнения Сетка по r не обязана быть равномерной!
- 40. Решение дифракционного уравнения схема Кранка-Николсона .
- 41. Схема Кранка-Николсона
- 42. Содержание Описание световых волн. Уравнения для
- 43. Материальные уравнения В самом общем виде линейная
- 44. Решение нелинейного уравнения Для вычисления производной можно
- 45. Решение нелинейного уравнения Для нахождения
Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия света с веществом. Нормировка динамических уравнений. Решение уравнений методом расщепления. Решение уравнений с учётом дифракции.
Слайд 2Содержание
Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия
света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 3Цель решения уравнений
Современные оптические системы представляют собой сложные комплексы из различных
оптических элементов, в каждом из которых происходит взаимодействие оптического излучения (или электромагнитного излучения других диапазонов – например, терагерцового диапазона) с различными материалами.
Необходимо иметь возможность предсказывать как ведет себя оптическое излучение в различных условиях, для этих целей все чаще используется численное моделирование.
Необходимо иметь возможность предсказывать как ведет себя оптическое излучение в различных условиях, для этих целей все чаще используется численное моделирование.
Слайд 4Электромагнитная природа света
В рамках электромагнитной теории все излучение подчиняется законам Максвелла
D
- электрическая индукция, B - магнитная индукция,
E - напряжённость электрического поля,
H - напряжённость магнитного поля,
j - плотность электрического тока,
ρ − плотность стороннего электрического заряда
Слайд 5Уравнения Максвелла
При решении оптических задач очень часто отсутствуют свободные заряды и
токи:
А также вместо индукции поля используют поляризацию:
ε0 , μ0 – электрическая и магнитная постоянные, для которых справедливо ε0 μ0 =1/c2
Большинство сред в оптике немагнитные, т.е.
M = 0
Слайд 6Уравнения Максвелла
Получается система
Применяя оператор ротора к третьему уравнению системы и подставляя
четвертое, получаем волновое уравнение Максвелла
Слайд 7Волновое уравнение Максвелла
Для решения необходимо знать связь между P и E
–
материальные уравнения, они различны для разных сред
материальные уравнения, они различны для разных сред
Слайд 8Материальные уравнения
В самом общем виде линейная поляризация зависит от прошлых значений
поля в данной точке (если отклик среды локальный)
PNL обычно является малым по отношению к PL и в первом приближении им можно пренебречь
Слайд 9Содержание
Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия
света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 10Линейный режим
Так как зависимость между PL и E представляет собой свертку
ее удобно записывать в спектральном виде (после применения преобразования Фурье свертка превращается в произведение функций)
Слайд 11Линейный режим
ε(ω) − Зависимость в общем случае комплексная, она описывает как
дисперсию, так и поглощение, в случае отсутствия поглощения ε(ω) = n2(ω)
В случае изотропной среды в линейном приближении
В случае изотропной среды в линейном приближении
Тогда
Слайд 12Вид скалярных уравнений
Уравнение Шредингера для огибающей
Очень часто α считают равным 0,
а также пренебрегают последними двумя слагаемыми в этом уравнении, при этом надо учитывать что дисперсия описана здесь описана в следующем виде:
Слайд 13Вид скалярных уравнений
Уравнение для поля импульса с использованием приближения однонаправленного распространения
(без
учета дифракции, т.е. в оптическом волокне)
при этом дисперсия задана в виде
Слайд 14Вид скалярных уравнений
Уравнение для поля импульса с использованием приближения однонаправленного распространения
(с
учетом дифракции)
Здесь E уже зависит от трех координат и времени
- Поперечный лапласиан
Слайд 15Содержание
Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия
света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 17Отступление про вычислительную точность
Дробные числа в памяти компьютера могут иметь одинарную,
либо двойную точность
Одинарная точность – 4 байта – минимальное положительное число имеет порядок 10-38, максимальное: 1038 при этом хранятся около 7 значащих цифр.
Двойная точность – 8 байт – минимальное положительное число имеет порядок 10-308, максимальное: 10308, при этом хранятся около 15 значащих цифр
Одинарная точность – 4 байта – минимальное положительное число имеет порядок 10-38, максимальное: 1038 при этом хранятся около 7 значащих цифр.
Двойная точность – 8 байт – минимальное положительное число имеет порядок 10-308, максимальное: 10308, при этом хранятся около 15 значащих цифр
Слайд 18Отступление про вычислительную точность
При этом надо помнить, что для компьютера
после вычисления
a
= 1
a = a + 10-20
a будет равно по прежнему 1
a = a + 10-20
a будет равно по прежнему 1
Слайд 20Содержание
Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия
света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 21Решение методом расщепления по физическим факторам
Метод расщепления состоит в последовательном решении
Слайд 23Дисперсионное уравнение
Данное уравнение может быть переписано в спектральной области (применяя преобразование
Фурье к каждой из частей) и используя
Слайд 24Дисперсионное уравнение
Либо в более общем виде
Можно заменить производную по z конечной
разностью (апроксимация первого порядка по Δz)
Получим
Слайд 26Решение дисперсионного уравнения
Таким образом для решения дисперсионного уравнения необходимо
посчитать спектр
поля
умножить спектр на экспоненту от дисперсионной функции
посчитать обратный спектр
Можно использовать алгоритм БПФ
умножить спектр на экспоненту от дисперсионной функции
посчитать обратный спектр
Можно использовать алгоритм БПФ
Слайд 27Про преобразование Фурье
В случае когда сигнал у нас задан на сетке
в виде отсчетов sk справедлива следующая формула
Для того чтобы посчитать эти коэффициенты в общем случае требуется O(n2) операций
Слайд 28Отступление про сложность алгоритмов
Определение f(n)=O(g(n))
В нашем случае f(n) – количество операций
необходимых для расчета спектра сигнала из n отсчетов, а g(n)=n2
В общем случае для произвольного алгоритма расчет g(n) – сложная задача
В общем случае для произвольного алгоритма расчет g(n) – сложная задача
Слайд 29Сложность алгоритмов вычисления преобразования Фурье
Для ДПФ необходимо O(n2) операций, где n
– размер массива входных данных, т.е. количество отсчетов.
Для БПФ необходимо O(n log(n)) операций.
Для БПФ необходимо O(n log(n)) операций.
Так как
Основание алгоритма становится неважно
т.е., например
Слайд 31БПФ
Ограничения накладываемые на данные из-за использования БПФ
1) Равномерная сетка, т.е. ti+1-ti
= Δt
2) Количество отсчетов равно степени 2: т.е. N=2,4,8,16,32,64,…,1024,2048,4096,…
2) Количество отсчетов равно степени 2: т.е. N=2,4,8,16,32,64,…,1024,2048,4096,…
Слайд 32Содержание
Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия
света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 34Память и время работы
Предположим G у нас зависит от 3 координат
и времени, тогда если мы ведем расчет используя z как координату распространения нам необходимо для каждого значения z иметь функцию G(t,x,y). Предположим у нас сетка t от 1 до 1024, x от 1 до 1024, y от 1 до 1024, тогда Gt,x,y займет в памяти компьютера 1024 x 1024 x 1024 ячейки (16 Гб), а для расчета спектра понадобится
С · 1024 · 1024 · 1024 · log (1024)
операций
С · 1024 · 1024 · 1024 · log (1024)
операций
Слайд 35Скорость работы компьютера
Одна из характеристик процессоров – тактовая частота, например 3
ГГц, т.е.
3 000 000 000 тактов в секунду.
Для элементарной операции нужно от одного до нескольких десятков тактов.
3 000 000 000 тактов в секунду.
Для элементарной операции нужно от одного до нескольких десятков тактов.
Слайд 36Скорость работы компьютера
Факты влияющие на скорость
Тактовая частота
Реализация алгоритма
Количество тактов на операцию
Наличие
конвейеров
Медленная работа с памятью
Наличие кэша
Параллелизация алгоритма
Медленная работа с памятью
Наличие кэша
Параллелизация алгоритма
Слайд 38Решение дифракционного уравнения
Предположим, что импульс имеет осевую симметрию, т.е. E(t, r,
z), G(ω, r, z), где
тогда Gt,r займет в памяти компьютера 1024 x 1024 ячеек, а процесс вычисления займет
C x 1024 x 1024 x log (1024)
Слайд 42Содержание
Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия
света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 43Материальные уравнения
В самом общем виде линейная поляризация зависит от прошлых значений
поля в данной точке (если отклик среды локальный)
PNL уже не является малым по отношению к PL
Слайд 44Решение нелинейного уравнения
Для вычисления производной можно использовать БПФ, а можно центральную
разность
Для шага по z может также использоваться схема Кранка-Николсона, однако так как уравнение нелинейное, необходимы внутренние итерации
Для шага по z может также использоваться схема Кранка-Николсона, однако так как уравнение нелинейное, необходимы внутренние итерации
Слайд 45Решение нелинейного уравнения
Для нахождения значения на расстоянии “полушага” используются итерации. На
первой итерации уравнение решается явным методом
Далее до сходимости осуществляется процесс:
