Численное интегрирование презентация

Содержание

1. Численное интегрирование
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
3. Найти определенный интеграл на отрезке
4. Постановка задачи: (1) (2) 0 x y a b x0 x1 xn-1 xn
5. Погрешность численного интегрирования - погрешность вычисления интеграла
6. Связь Пусть и
7. Метод прямоугольников основан на непосредственном определении
8. Вычисление определенного интеграла геометрически
9. Учитывая, что высота Прямоугольника
10. Для увеличения точности численного интегрирования
11. Практически удобно делить отрезок
12. Если точку совместить с левым
14. Если же в качестве точки
16. Формула средних прямоугольников a b f(x) x0
17. Погрешность формул средних прямоугольников
18. Метод трапеций Заменим на отрезке
20. Если отрезок разделить на несколько
22. Для простоты вычислений удобно разделить отрезок
23. А на всем отрезке соответственно
24. Погрешность формулы трапеций
25. Составная формула трапеции
26. Метод парабол (метод Симпсона) h h
27. Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
28. Формула Симпсона
30. Определитель матрицы отличен от 0 => система уравнений имеет единственное решение
31. Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола
32. Вычислим значение функции в точках
33. Найдём интеграл
34. Для увеличения точности вычислений отрезок
35. ……………………………………
36. Тогда численное значение определенного интеграла
37. Составная формула Симпсона
38. Пример: Вычислить определённый интеграл График подынтегральной функции
39. Ответ:
40. Метод Монте-Карло Методы Монте-Карло – это
41. Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем:
42. Пример использования метода Монте-Карло Предположим, что нам
43. Вычисление числа π методом Монте-Карло Рассмотрим четверть

Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и имеет

Слайд 1ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Слайд 2Если функция f(x)
непрерывна на отрезке

то определенный интеграл
от этой функции
в пределах от a до b
существует и имеет вид

Слайд 3
Найти определенный интеграл
на отрезке
если подынтегральная функция
на

отрезке задана таблично.

Формулы
приближенного интегрирования
называются
квадратурными формулами.

Задача численного интегрирования

Слайд 4Постановка задачи:
(1)
(2)

0
x
y
a
b
x0
x1
xn-1
xn

Слайд 5Погрешность численного интегрирования
- погрешность вычисления интеграла
- погрешность в целом
- погрешность в

малом

- погрешность вычисления интеграла

Слайд 6Связь
Пусть
и

Слайд 7Метод прямоугольников
основан на непосредственном
определении интеграла:

где
- интегральная сумма, соответствующая

некоторому разбиению отрезка

и некоторому выбору точек

,…,

на отрезках разбиения

Слайд 8Вычисление определенного
интеграла
геометрически сводится
к вычислению площади
криволинейной трапеции,

ограниченной функцией f(x),
осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

Слайд 9Учитывая,
что высота
Прямоугольника
ABba есть
значение
функции
в точке
f(x)
–

Слайд 10Для увеличения точности
численного интегрирования
можно отрезок

разбить на несколько частей
и для каждой из них вычислить
приближенное значение
площади криволинейной
трапеции, основанием которой
является отрезок

(i = 0, 1, …,n – 1),
а высотой число

т.е. значение функции
в точке

Слайд 11
Практически удобно делить
отрезок
на равные части, а

точки

(i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми

или с правыми

концами отрезков разбиения.

Слайд 12Если точку
совместить с левым концом
отрезка
то приближенное значение

интеграла может быть
представлено
формулой левых
прямоугольников:

где

– шаг.

Слайд 14Если же в качестве точки
выбрать правый конец отрезка
то

приближенное значение
интеграла вычисляется
по формуле правых
прямоугольников:

Слайд 16Формула средних прямоугольников
a
b
f(x)
x0
xn

– составная формула

Слайд 17Погрешность формул средних прямоугольников

Слайд 18Метод трапеций
Заменим на отрезке
дугу AB графика
подынтегральной функции y = f(x)

стягивающей ее хордой и
вычислим площадь трапеции ABba.
Примем значение определенного
интеграла численно равным
площади этой трапеции:

Это и есть формула трапеций

Слайд 20Если отрезок
разделить на несколько
частей и применить
формулу трапеции

к каждому отрезку

Тогда

Слайд 22Для простоты вычислений
удобно разделить отрезок
на

равные части,
в этом случае длина
каждого из отрезков
разбиения есть

Численное значение
интеграла на отрезке

равно

Слайд 23А на всем отрезке
соответственно
Эта формула называется
общей формулой трапеции.

Ее можно переписать в виде

где

– шаг.

Слайд 24Погрешность формулы трапеций

Слайд 25Составная формула трапеции

Слайд 26Метод парабол (метод Симпсона)
h
h

Слайд 27Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

Слайд 28Формула Симпсона

Слайд 30Определитель матрицы отличен от 0 => система уравнений имеет единственное решение

Слайд 31Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола

Слайд 32Вычислим значение функции в точках

Слайд 33Найдём интеграл

Слайд 34Для увеличения точности
вычислений отрезок
разбивают на n пар участков

и заменяя подынтегральную
функцию интерполяционным
многочленом Ньютона
второй степени, получают
приближенное значение
интеграла на каждом участке
длины 2h:

Слайд 35

……………………………………

Слайд 36Тогда численное значение
определенного интеграла
на отрезке
будет равно сумме

интегралов

Это соотношение называется
общей формулой Симпсона.
Ее можно записать также в виде

где

Слайд 37Составная формула Симпсона

Слайд 38Пример: Вычислить определённый интеграл
График подынтегральной функции

Слайд 40Метод Монте-Карло
Методы Монте-Карло – это общее название группы методов для

решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Название этой группе методов дал город Монте-Карло – столица европейского игорного бизнеса (казино).

Слайд 41Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем:
Требуется найти значение а некоторой

изучаемой величины.
Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:
М(Х)=A.

Слайд 42Пример использования метода Монте-Карло
Предположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры,

расположенной внутри квадрата, сторона которого равна единице , при этом площадь квадрата Sкв=1. Выберем внутри квадрата наугад N точек. Обозначим через M количество точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь фигуры S приближенно равна отношению M/N . Отсюда, чем больше N, тем больше точность такой оценки.

S/Sкв≈M/N или
S ≈ M/N

Слайд 43Вычисление числа π методом Монте-Карло
Рассмотрим четверть круга единичного радиуса. Площадь четверти

круга равна: S=πr2/4. Для r=1 S=π/4

C
1

M/N ≈ π/4

Скачать презентацию

Численное интегрирование презентация

Содержание

Слайд 1ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Слайд 2Если функция f(x) непрерывна на отрезке

Слайд 3Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на

Слайд 4Постановка задачи:(1)(2)0xyabx0x1xn-1xn

Слайд 5Погрешность численного интегрирования- погрешность вычисления интеграла- погрешность в целом- погрешность в

Слайд 6Связь Пустьи

Слайд 7Метод прямоугольниковоснован на непосредственном определении интеграла:где - интегральная сумма, соответствующая

Слайд 8Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции,

Слайд 9Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке f(x)–

Слайд 10Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок

Слайд 11Практически удобно делить отрезок на равные части, а

Слайд 12Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение

Слайд 13

Слайд 14Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то

Слайд 15

Слайд 16Формула средних прямоугольниковabf(x)x0xn– составная формула

Слайд 17Погрешность формул средних прямоугольников

Слайд 18Метод трапецийЗаменим на отрезке дугу AB графика подынтегральной функции y = f(x)

Слайд 19

Слайд 20Если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеции

Слайд 21

Слайд 22Для простоты вычислений удобно разделить отрезок на

Слайд 23А на всем отрезке соответственноЭта формула называется общей формулой трапеции.