Бином Ньютона. Полиномиальная формула. (Лекция 11) презентация

АНАЛИЗ

Выводы

Тема: Бином Ньютона. Полиномиальная формула

Цель лекции – изучить формулы представления и свойства биномиальных и полиномиальных коэффициентов

теории графов. Донецк, ДПИ, 1982. 368 с.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977. 368 с.
Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики: Пер. с укр. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства Наука, 1977. 80 с.
Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. М.: Просвещение, 1976. 48 с.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. С.63-67.

(полиномиальный) коэффициент
Треугольник Паскаля

целых чисел k1,k2,…,km, для которых k1+k2+ … + km=n, функция

Cn(k1,k2, …, km) или

определяемая формулой



называется полиномиальным коэффициентом.

нулю и любого натурального числа n имеет место формула:




при этом суммирование распространяется на все наборы натуральных чисел k1,k2, …, km, для которых k1+k2+ … + km=n.
При а1=а2= …=аm=1 формула принимает вид

– «С из n по k»; – «n над k»

Def: для всех неотрицательных целых чисел , функция, заданная формулой




называется биномиальным коэффициентом.

и писатель
Сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии
Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей
Сконструировал (1641, по другим сведениям — 1642) суммирующую машину
Один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон
Работы по теории воздушного давления

,
Каждый коэффициент образуется путем сложения двух стоящих над ним (справа и слева):


Крайние значения известны для любого n:


В строке с номером n слева направо стоят значения:

именно:
Def: функция




определенная для ,
называется биномиальным коэффициентом.
Для a∈Z+ оба определения для биномиального коэффициента совпадают.

треугольнике Паскаля строку с номером n.
Если заменить b на -b, то из формулы бинома Ньютона следует

nomos − член) означает «двучлен»
Для натурального n формула бинома была известна задолго до Ньютона многим ученым разных времен и стран
Индусы знали формулу для биномиальных коэффициентов и умели их вычислять
Якоб Бернулли (1713г.) дал строгое доказательство для разложения натуральной степени бинома
Заслуга Ньютона заключается в том, что он распространил формулу на любое действительное n, а также показал, что формула верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом.
Ньютон был первым человеком в мире, начавшим систематически употреблять в алгебре показатели, отличные от целых положительных.

коэффициенты определяются формулой:
а) б)

в) г)

3. Полиномиальные коэффициенты определяются формулой:
а) б)

в) г)