- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Аналитическая геометрия на плоскости презентация
Содержание
- 2. Основные задачи метода координат
- 3. Прямоугольная система координат Определение: Прямоугольной (декартовой) системой
- 4. Число х называется абсциссой, у – ординатой
- 5. Расстояние от точки М(х; у) до начала
- 6. Пример: Даны точки
- 7. Деление отрезка в данном отношении Пусть на
- 8. Задача о делении отрезка в данном отношении
- 9. Следствие: Если точка М делит отрезок
- 10. Пример: Даны точки М1(1; 1) и М2(7;
- 11. Полярная система координат Полярная система
- 12. Установим связь между прямоугольными и полярными координатами
- 13. Тогда из прямоугольного треугольника ONM
- 14. Пример: Найти полярные координаты точки Решение:
- 15. Пример: Найти прямоугольные координаты точки Решение:
- 16. Уравнение прямой на плоскости
- 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Определение: Углом
- 18. Выведем уравнение прямой, если ее положение определено
- 19. Из треугольника:
- 20. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в
- 21. (3) – уравнение прямой, проходящей через данную
- 22. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- 23. Но прямая проходит через точку М2(х2; у2).
- 24. Если х1=х2 , то уравнение прямой имеет
- 25. Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки
- 26. Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки
- 27. Общее уравнение прямой Теорема: В прямоугольной
- 28. Уравнение прямой «в отрезках» Рассмотрим
- 29. Введем обозначение:
- 30. Геометрический смысл уравнения (6) состоит в том,
- 31. Пример: Прямая задана уравнением
- 32. Угол между двумя прямыми Пусть заданы прямые
- 33. Определим угол между прямыми:
- 34. Пример: Две прямые заданы уравнениями:
- 35. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Если
- 36. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Если
- 37. Расстояние от точки до прямой
- 38. Пример: Определить расстояние от точки до
- 39. Кривые второго порядка
- 40. Окружность Определение: Окружностью называется множество всех точек
- 41. Если r – радиус окружности, а точка
- 42. Эллипс Определение: Эллипсом называется множество всех точек
- 43. По определению
- 45. Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния
- 46. При эллипс
- 47. Гипербола Определение: Гиперболой называется множество всех точек
- 48. По определению
- 49. Для построения гиперболы необходимо сначала построить осевой
- 51. Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины
- 52. Определение: Две гиперболы, у которых оси совпадают
- 53. Асимптоты сопряженных гипербол совпадают, а сами гиперболы
- 54. Парабола Определение: Параболой называется множество всех точек
- 55. Согласно определению точка М будет лежать на
- 56. Парабола
- 57. Парабола
- 58. Парабола
- 59. Парабола
Основные задачи метода координат
Слайд 3Прямоугольная система координат
Определение: Прямоугольной (декартовой) системой координат на плоскости называется две
взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу.
Ох называется осью абсцисс, Оу – осью ординат. Из произвольной точки М опустим перпендикуляры на оси Ох и Оу.
Ох называется осью абсцисс, Оу – осью ординат. Из произвольной точки М опустим перпендикуляры на оси Ох и Оу.
Слайд 4Число х называется абсциссой, у – ординатой точки М. Упорядоченная пара
(х; у) называется координатами точки М.
Каждой точке на плоскости в прямоугольной системе координат соответствует единственная пара действительных чисел (х; у).
Метод определения положения точек на плоскости с помощью чисел называется методом координат.
Каждой точке на плоскости в прямоугольной системе координат соответствует единственная пара действительных чисел (х; у).
Метод определения положения точек на плоскости с помощью чисел называется методом координат.
Слайд 5Расстояние от точки М(х; у) до начала координат определяется по формуле:
(1)
Теорема: Для любых двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2)
на плоскости расстояние между ними выражается
формулой: (2)
Слайд 6Пример: Даны точки
. Найти расстояние между этими точками.
Решение:
Используя формулу (2) получим:
Решение:
Используя формулу (2) получим:
Слайд 7Деление отрезка в данном отношении
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2
и пусть М – любая точка, принадлежащая этому отрезку.
(3)
Определение: Число λ>0, определяемое равенством (3), называется отношением в котором точка М делит отрезок М1М2 .
(3)
Определение: Число λ>0, определяемое равенством (3), называется отношением в котором точка М делит отрезок М1М2 .
Слайд 8Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы
по данному отношению λ и координатам точек М1 и М2 найти координаты точки М.
Теорема: Если точка М делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются по формулам:
(4)
где (х1; у1) – координаты точки М1 ,
(х2; у2) – координаты точки М2 .
Теорема: Если точка М делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки определяются по формулам:
(4)
где (х1; у1) – координаты точки М1 ,
(х2; у2) – координаты точки М2 .
Слайд 9
Следствие: Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то есть
( ), то координаты этой точки определяются по формулам:
(5)
(5)
Слайд 10Пример: Даны точки М1(1; 1) и М2(7; 4). Найти точку М,
которая в два раза ближе к М1, чем к М2.
Решение:
Искомая точка делит отрезок в отношении
Применяя формулы (4), получим:
Следовательно, М(3; 2).
Решение:
Искомая точка делит отрезок в отношении
Применяя формулы (4), получим:
Следовательно, М(3; 2).
Слайд 11Полярная система координат
Полярная система координат состоит из точки О,
называемой полюсом, и исходящего из него луча ОЕ, полярной оси.
Кроме того задается единица масштаба для измерения длин отрезков.
Полярными координатами точки М называют числа ρ и φ.
Кроме того задается единица масштаба для измерения длин отрезков.
Полярными координатами точки М называют числа ρ и φ.
Слайд 12Установим связь между прямоугольными и полярными координатами точки.
Для этого совместим начало
прямоугольной и полярной систем координат, а ось направим по направлению полярной оси ОЕ. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты (х; у), полярные (ρ; φ).
Слайд 13Тогда из прямоугольного треугольника ONM получим:
(6)
(7)
(6) - выражает прямоугольные координаты через полярные.
(7) - выражает полярные координаты через прямоугольные.
(7)
(6) - выражает прямоугольные координаты через полярные.
(7) - выражает полярные координаты через прямоугольные.
Слайд 14Пример: Найти полярные координаты точки
Решение:
Воспользуемся формулами (7):
Так как точка
лежит в четвертой четверти, то угол выбираем исходя из этого условия: или ,
то есть или .
то есть или .
Слайд 15Пример: Найти прямоугольные координаты точки
Решение:
Воспользуемся формулами (6):
Таким образом, прямоугольные
координаты данной точки имеют вид:
Слайд 17Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Определение: Углом наклона прямой, образованным с положительным
направлением оси Ох называется наименьший угол α, на который нужно повернуть положительное направление оси Ох против хода часовой стрелки для совмещения ее с прямой.
Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой: (1)
Если то прямая параллельна оси Ох и
Если то прямая перпендикулярна оси Ох и говорят, что угловой коэффициент обращается в ∞ .
Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой: (1)
Если то прямая параллельна оси Ох и
Если то прямая перпендикулярна оси Ох и говорят, что угловой коэффициент обращается в ∞ .
Слайд 18Выведем уравнение прямой, если ее положение определено величиной отрезка
отсекаемого на оси Оу и угловым коэффициентом
Пусть М(х; у) – текущая точка искомой прямой.
Опустим перпендикуляр из точки М на ось Ох и через точку В проведем прямую, параллельно оси Ох.
Рассмотрим прямоугольный треугольник: .
Пусть М(х; у) – текущая точка искомой прямой.
Опустим перпендикуляр из точки М на ось Ох и через точку В проведем прямую, параллельно оси Ох.
Рассмотрим прямоугольный треугольник: .
Слайд 19
Из треугольника:
но
(2)
(2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
При прямая образует с осью Ох острый угол, при – тупой, при прямая параллельна оси Ох.
При прямая пересекает ось Оу выше начала координат , при – ниже, при проходит через начало координат.
(2)
(2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
При прямая образует с осью Ох острый угол, при – тупой, при прямая параллельна оси Ох.
При прямая пересекает ось Оу выше начала координат , при – ниже, при проходит через начало координат.
Слайд 20Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
Выведем уравнение прямой,
если ее положение определяется данной точкой М1(х1; у1) и заданным угловым коэффициентом
Запишем уравнение прямой в виде , где b – неизвестное число.
Так как прямая проходит через точку М1(х1; у1), то ее координаты удовлетворяют уравнению:
Отсюда подставляя в уравнение получим: или (3)
Запишем уравнение прямой в виде , где b – неизвестное число.
Так как прямая проходит через точку М1(х1; у1), то ее координаты удовлетворяют уравнению:
Отсюда подставляя в уравнение получим: или (3)
Слайд 21(3) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
Изменяя
угловой коэффициент k (направление прямой), через данную точку М1(х1; у1) можно провести множество прямых. Поэтому уравнение (3) называют уравнением пучка прямых.
Слайд 22Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть положение прямой определяется двумя
данными точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2).
Запишем уравнение прямой в виде:
где k – неизвестное число.
Запишем уравнение прямой в виде:
где k – неизвестное число.
Слайд 23Но прямая проходит через точку М2(х2; у2). Следовательно, координаты этой точки
также удовлетворяют уравнению:
Откуда
Подставим найденный коэффициент в уравнение пучка прямых:
Перегруппируем левую правую часть и получим:
(4)
(4) – уравнение прямой проходящей через две данные точки.
Откуда
Подставим найденный коэффициент в уравнение пучка прямых:
Перегруппируем левую правую часть и получим:
(4)
(4) – уравнение прямой проходящей через две данные точки.
Слайд 24Если х1=х2 , то уравнение прямой имеет вид: х=х1, и прямая
параллельна оси Оу.
Если у1=у2 , то уравнение прямой имеет вид: у=у1, и прямая параллельна оси Ох.
Если у1=у2 , то уравнение прямой имеет вид: у=у1, и прямая параллельна оси Ох.
Слайд 25Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки М1(2; 3) и М2(3;
–1).
Решение:
Воспользуемся формулой (4):
Разрешим полученное уравнение относительно у:
или
Решение:
Воспользуемся формулой (4):
Разрешим полученное уравнение относительно у:
или
Слайд 26Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через точки
и
Решение:
Воспользуемся формулой (4):
На ноль делить нельзя, но можно воспользоваться свойством пропорции:
или
В данном примере поэтому можно было сразу записать уравнение прямой в виде:
Решение:
Воспользуемся формулой (4):
На ноль делить нельзя, но можно воспользоваться свойством пропорции:
или
В данном примере поэтому можно было сразу записать уравнение прямой в виде:
Слайд 27Общее уравнение прямой
Теорема: В прямоугольной системе координат любая прямая задается
уравнением первой степени:
(5)
где А и В одновременно не обращаются в ноль.
(5) называют общим уравнением прямой, так как данное уравнение охватывает все случае положения прямой на плоскости.
Из него можно получить другие уравнения прямой.
(5)
где А и В одновременно не обращаются в ноль.
(5) называют общим уравнением прямой, так как данное уравнение охватывает все случае положения прямой на плоскости.
Из него можно получить другие уравнения прямой.
Слайд 28Уравнение прямой «в отрезках»
Рассмотрим общее уравнение прямой:
при условии, что все коэффициенты отличны от нуля.
Преобразуем его, для этого свободное слагаемое перенесем в правую часть и поделим левую и правую часть на –С :
Слайд 29Введем обозначение:
Тогда уравнение прямой примет вид:
(6)
(6) – уравнение прямой «в отрезках».
Замечание: в виде уравнения (6) не могут быть записаны уравнение прямой, проходящей через начало координат и уравнения прямых, параллельных осям координат.
Слайд 30Геометрический смысл уравнения (6) состоит в том, что числа
и являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на соответствующих осях координат.
Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.
Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.
Слайд 31 Пример: Прямая задана уравнением
По данному уравнению прямой составить
уравнение прямой «в отрезках» и построить прямую.
Решение:
Преобразуем уравнение прямой:
Отложим на осях Ох и Оу отрезки и проведем прямую через точки и
Решение:
Преобразуем уравнение прямой:
Отложим на осях Ох и Оу отрезки и проведем прямую через точки и
Слайд 32Угол между двумя прямыми
Пусть заданы прямые L1 и L2 уравнениями:
и , где
При пересечении двух прямых L1 и L2 на плоскости образуются четыре угла, которые попарно равны между собой как вертикальные углы.
При пересечении двух прямых L1 и L2 на плоскости образуются четыре угла, которые попарно равны между собой как вертикальные углы.
Слайд 33Определим угол между прямыми:
Тогда
Так как , то отсюда следует, что
(7)
(7) – определяет один из углов между двумя прямыми.
Второй угол равен π –φ.
Слайд 34Пример: Две прямые заданы уравнениями:
. Найти угол между этими прямыми.
Решение:
Воспользуемся формулой (7):
Так как то
Отсюда
Знак «–» указывает на то, что отсчет от первой прямой ко второй совершался по ходу часовой стрелки.
Решение:
Воспользуемся формулой (7):
Так как то
Отсюда
Знак «–» указывает на то, что отсчет от первой прямой ко второй совершался по ходу часовой стрелки.
Слайд 35Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Если прямые L1 и L2 параллельны,
то и
то есть или (8)
(8) – условие параллельности двух прямых.
то есть или (8)
(8) – условие параллельности двух прямых.
Слайд 36Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Если прямые L1 и L2 перпендикулярны,
то
то есть
(9)
(9) – условие перпендикулярности двух прямых.
то есть
(9)
(9) – условие перпендикулярности двух прямых.
Слайд 37Расстояние от точки до прямой
Пусть на плоскости Оху
задана прямая L общим уравнением
Требуется найти расстояние от точки М0(х0; у0) до прямой L. Под расстоянием от точки до прямой понимают длину перпендикуляра, опускаемого из точки на прямую.
(10)
(10) – формула расстояния от точки М0 до прямой L.
Требуется найти расстояние от точки М0(х0; у0) до прямой L. Под расстоянием от точки до прямой понимают длину перпендикуляра, опускаемого из точки на прямую.
(10)
(10) – формула расстояния от точки М0 до прямой L.
Слайд 38Пример: Определить расстояние от точки
до прямой
Решение:
Воспользуемся формулой (10):
Приведем уравнение прямой к общему виду, для этого умножим уравнение на 3 и все перенесем в левую часть:
Слайд 40Окружность
Определение: Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки
(центра окружности).
Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение имеет вид:
(1)
Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение имеет вид:
(1)
Слайд 41Если r – радиус окружности, а точка С(a; b) – ее
центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид:
(2)
(2)
Слайд 42Эллипс
Определение: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых
сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между двумя фокусами.
Слайд 43По определению
и, следовательно, или . Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
(3)
где (4) , a – длина большой полуоси эллипса, b – длина малой полуоси эллипса ( ), с – половина расстояния между фокусами.
Оси координат являются осями симметрии эллипса.
(3)
где (4) , a – длина большой полуоси эллипса, b – длина малой полуоси эллипса ( ), с – половина расстояния между фокусами.
Оси координат являются осями симметрии эллипса.
Слайд 44
– длина большой оси эллипса,
– длина малой оси эллипса,
О – центр эллипса,
– вершины эллипса,
– фокусы эллипса.
– длина малой оси эллипса,
О – центр эллипса,
– вершины эллипса,
– фокусы эллипса.
Слайд 45Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине
большой полуоси эллипса: (5).
Так как , то .
Чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов и тем более «сплющен» эллипс; чем ближе эксцентриситет к 0, тем больше форма эллипса приближается к окружности.
При эллипс преобразуется в окружность, тогда и, следовательно, . Если , эллипс преобразуется в свою сдвоенную большую ось.
Так как , то .
Чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов и тем более «сплющен» эллипс; чем ближе эксцентриситет к 0, тем больше форма эллипса приближается к окружности.
При эллипс преобразуется в окружность, тогда и, следовательно, . Если , эллипс преобразуется в свою сдвоенную большую ось.
Слайд 46При эллипс расположен вдоль оси Оу.
В этом случае оси Ох и Оу поменялись местами: большая ось и фокусы такого эллипса лежат на оси Оу, а малая ось на оси Ох.
Для такого эллипса:
– координаты фокусов;
Для такого эллипса:
– координаты фокусов;
Слайд 47Гипербола
Определение: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых
модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между двумя фокусами.
Слайд 48По определению
и, следовательно, или . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
(6)
где (7) , a – длина действительной полуоси гиперболы, b – длина мнимой полуоси гиперболы, с – половина расстояния между фокусами.
(6)
где (7) , a – длина действительной полуоси гиперболы, b – длина мнимой полуоси гиперболы, с – половина расстояния между фокусами.
Слайд 49Для построения гиперболы необходимо сначала построить осевой прямоугольник, затем провести диагонали
этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы.
В силу симметрии гиперболы, она имеет две асимптоты: . Наличие асимптот и симметрии позволяют построить всю гиперболу.
Кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между асимптотами (8), и неограниченно приближающихся к этим прямым.
В силу симметрии гиперболы, она имеет две асимптоты: . Наличие асимптот и симметрии позволяют построить всю гиперболу.
Кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между асимптотами (8), и неограниченно приближающихся к этим прямым.
Слайд 50
– длина действительной оси гиперболы,
– длина мнимой оси гиперболы,
– центр гиперболы,
– вершины гиперболы,
– фокусы гиперболы.
– длина мнимой оси гиперболы,
– центр гиперболы,
– вершины гиперболы,
– фокусы гиперболы.
Слайд 51
Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины расстояния между фокусами к длине
действительной полуоси гиперболы: (9).
Так как , то
Если , то гипербола называется равнобочной и ее асимптоты образуют прямой угол. Уравнение равнобочной гиперболы имеет вид:
(10)
Так как , то
Если , то гипербола называется равнобочной и ее асимптоты образуют прямой угол. Уравнение равнобочной гиперболы имеет вид:
(10)
Слайд 52Определение: Две гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но действительная
ось одной из них служит мнимой осью другой, и наоборот, называются сопряженными гиперболами.
Если уравнение одной из сопряженных гипербол
, то уравнение второй
Если уравнение одной из сопряженных гипербол
, то уравнение второй
Слайд 53Асимптоты сопряженных гипербол совпадают, а сами гиперболы расположены в смежных углах
между асимптотами.
Слайд 54Парабола
Определение: Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки,
называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Слайд 55Согласно определению точка М будет лежать на параболе, когда
, где r – расстояние от точки до фокуса, d – расстояние от точки до директрисы.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
(11)
где р – параметр параболы (расстояние от фокуса до директрисы).
Параметр параболы характеризует ширину области ограниченной параболой. Чем больше р, тем шире распахнуты ветви параболы.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
(11)
где р – параметр параболы (расстояние от фокуса до директрисы).
Параметр параболы характеризует ширину области ограниченной параболой. Чем больше р, тем шире распахнуты ветви параболы.
Слайд 56Парабола
расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены вправо.
Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка . Вершина такой параболы находится в начале координат .
Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка . Вершина такой параболы находится в начале координат .
Слайд 57Парабола
, расположена симметрично относительно оси Ох , ветви направлены влево.
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Слайд 58Парабола
, расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вверх.
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Слайд 59Парабола
, расположена симметрично относительно оси Оу , ветви направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
Вершина параболы находится в точке . Директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка .
