3 Преобразование случайных величин презентация

случайных чисел, грешен вне всяких сомнений»

Джон фон Нейман

случайной величины (БСВ) называют разыгрыванием или моделированием случайной величины ξ.

случайной величины ξ, являющейся непрерывной и имеющей функцию распределения 0 строго возрастающую.
F-1 – обратная функция F.

Алгоритм генерирования СВ с функцией распределения F:

1) генерируем γ;
2) возвращаем ξ= F-1(γ).

в интервале (a, b) с плотностью f(х)>0.


Достоинство:
точность метода.

Недостатки:
ограничение на вид функции распределения или функции плотности;
затраты машинного времени.

H(t1,t2) с координатами: t1 = a+γ1(b-a); t2 = γ2M0;

если H(t1,t2) лежит под кривой f(x), то полагаем ξ=t1, иначе – пару (γ1, γ2) отбрасываем и выбираем новую пару значений БСВ.

a1], [a1, a2], …, [an-1, an] равна 1/n.

Тогда ξ = ai + c; где ai – левая граница интервала;
с – равномерно распределенная случайная величина на интервале
[0, ai+1 – ai].

Алгоритм моделирования:
γ1 и γ2;
i=[n⋅γ1];
сi = γ2⋅ (ai+1 – ai);
ξ = ai + c.

интервале [0, 90°]. Составить алгоритм моделирования случайной величины методом ступенчатой аппроксимации для трех интервалов разбиения.

Так как 3 интервала разбиения, то вероятность равна 1/3.
а0=0; а3=90°; а1 находим из выражения

отсюда a1=arcos2/3= 0°.
а2 находим аналогично

a2=arcos 1/3 = 70°.
Далее применяем алгоритм моделирования.

огрубление постановки задачи.

F1, F2,…

, и соответственно

Общий алгоритм метода суперпозиции примет следующий вид:
генерируем положительное целое число i=1, 2, …
возвращаем ξ с функцией распределения .

Шаг 1 можно рассматривать как выбор функции распределения Fi с вероятностью pi.

теорема Пусть СВ x подчинены одному и тому же закону распределения, с одним и тем же математическим ожиданием Mx и дисперсией Dx=σx2. Тогда сумма n этих СВ будет подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием M=n∙Mx и дисперсией D=n∙σx2.

Пусть надо получить нормально распределенный ряд чисел X с заданным математическим ожиданием Mx и стандартным отклонением σx:

при n=12

величины.

Значение случайного числа, находящегося между узлами табуляции, обычно рассчитывается методом линейной интерполяции.

Представленные в таблице значения соответствуют экспоненциальному распределению с математическим ожиданием, равным единице.

таких как распределение Эрланга, гипоэкспоненциальное и гиперэкспоненциальное распределения.
Метод используется, как правило, в тех случаях, когда не удаётся получить аналитическим методом решение в явном виде.
Например, значения случайных величин, распределённых по закону Эрланга и гипоэкспоненциальному закону могут быть получены путём сложения нескольких экспоненциально распределённых случайных величин, а значения случайных величин, распределённых по гиперэкспоненциальному закону – путём вероятностного формирования смеси из нескольких экспоненциально распределённых случайных величин с разными математическими ожиданиями.

случайных событий

Пусть независимые события А и В могут появляться одновременно и имеют вероятности Р(А) и Р(В) соответственно. Возможные исходы:

АВ,

Моделирование таких испытаний может быть осуществлено 2 способами.

1. γ1 и γ2 и проверка: γ1≤P(A) и γ2≤Р(В).

2. Моделированию события с четырьмя возможными исходами с вероятностями (*). Интервал [0,1] разбивается на четыре части в соответствии с выписанными вероятностями, генерируется одна случайная величина γ и проверяется, в какой из полученных интервалов она попадет.

(*)

событий А и В и условная вероятность Р(В|А). Возможны два подхода:

1. Генерируется СВ γ1 и проверяется выполнение неравенства γ1<=P(A). Вырабатывается СВ γ2 и проверяется неравенство γ2<=P(В|А). Проверка этих неравенств дает нам исходы АВ и А .

.

Если оказалось что γ1>P(A), то событие А не произошло и для моделирования события В нам нужна условная вероятность P(B| ).
Формула полной вероятности (Формула Бейеса):

из интервалов она попадает. Интервалы определяются в соответствии с вероятностями:

f1(x1) f2(x2)… fn(хn)

Значение каждой координаты с плотностью распределения fi(хi) определяется независимо друг от друга по любой из методик моделирования значений СВ.

1. Независимые координаты вектора

2. Зависимые координаты вектора

Тогда f(x1, x2,…xn) = f1(x1) f2(x2|x1) f3(x3|x1x2)…, где fi есть условная плотность распределения данной случайной величины xi при условии, что другие случайные координаты приняли определенные значения.

Алгоритм моделирования значения случайного вектора с зависимыми координатами предусматривает: получение значения x1, полученное значение берется в качестве параметра в условной плотности f2(x2|x1), после чего определяется значение случайной координаты x2 и полученные значения х1 и х2 берутся в качестве параметров в условной плотности f3(x3|x1x2) и т.д.

и х2, являющиеся СВ: f1(x1) = 2x1; 0

Координата х2 распределена равномерно на участке длиной 2 с центром в точке х1, т.е.

Решение:

одинаковые промежутки времени, при условии независимости этих событий.

Для генерирования чисел, соответствующих закону распределения Пуассона, вычисляется
F(x) для х=0, 1, 2, …N, где N достаточно велико.


– среднее (мат.ожидание)


Положим ξ = х, если F(x) ≤ γ ≤ F(x+1), где γ – равномерно распределенная СВ.