Математические модели в расчетах на ЭВМ презентация

практик

Преподаватель: к.т.н., доцент Уразбахтина Анжелика Юрьевна


2016 г

и ЭВМ при проектировании способствует повышению технического уровня и качества проектируемых объектов, сокращению сроков разработки и освоения их в производстве.
Автоматизация проектирования особенно эффективна, когда от автоматизации выполнения отдельных инженерных расчетов переходят к использованию автоматизированных информационных систем (АИС) или систем автоматизированного проектирования (САПР).

Моделирование и мониторинг разработки месторождений;
Информационные технологии в проектировании объектов обустройства месторождений;
Стандартизация и техническое регулирование;
Комплексные решения для корпоративных информационных систем;
Моделирование последствий экологических катастроф.

Разработка математических моделей и алгоритмов является творческим и сложным этапом создания АИС или САПР, от которого в наибольшей степени зависят производительность и эффективность автоматизированной системы, и качество проекта.

(МО) - это математические модели (ММ), методы и алгоритмы, по которым разрабатывается программное обеспечение (ПО) АИС или САПР, и которые позволяют осуществлять автоматизированное проектирование.

понимают систему математических отношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в реальных или производственных условиях.

При построении ММ используют различные математические средства описания объекта – теорию множеств, графов, вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т.д.

без конкретизации числовых значений фигурирующих в ней параметров.

Математическая модель описывает зависимость между исходными (входными) данными и искомыми величинами.

из них: есть группа варьируемых переменных и группа независимых переменных (констант).

L - математический оператор, определяющий операции над входными данными; это полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных;

Y - множество выходных данных (зависимых переменных); представляет собой совокупность критериев оценки моделируемого объекта или целевых функций улучшения объекта.

анализом.

Цели регрессионного анализа: определить силу влияния факторов X (X1,X2,…) на результат Y и найти неизвестные коэффициенты математической модели а,b,c и т.д.

При этом используются методы замены для преобразования нелинейных функций в линейные.

определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект, эти факторы разработчик ММ изменить не может

Это могут быть:
технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;
физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;
тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Разделение входных параметров X (X1,X2,…) по степени важности влияния их изменений на выходные данные Y называется ранжированием.

основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает человек (проектировщик) ММ.

Разработка ММ обычно выполняется специалистами конкретных областей с помощью традиционных экспериментальных исследований.

Методы получения математических моделей делят на теоретические и экспериментальные.

в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Он основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности.
2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта (входной, выходной информации. Источниками ее являются: опыт и знания человека, разрабатывающего модель; содержание научно-технической литературы; описания прототипов – имеющихся ММ для элементов, близких по своим свойствам к исследуемому; результаты экспериментального измерения параметров и т.п.
3. Синтез структуры ММ в виде алгоритма, блок-схемы, аналитической формы, матрицы решения. Синтез структуры – это поиск и упорядочивание аналитических, логических и других зависимостей для преобразования входных параметров в выходные.
4. Расчет числовых значений параметров ММ (разработка тестового или контрольного примера). На этом этапе решается задача минимизации погрешности математической модели.
5. Оценка точности и адекватности ММ. Здесь устанавливается степень расхождения с тестовым примеров или с реальным объектом.
6. Разработка и оформление документации к ММ завершает ее проектирование.

какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

ММ нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

ММ нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

он был безопасным и экономически наиболее выгодным?

2. Как составить график выполнения сотен видов взаимозависимых работ на объекте, чтобы они закончились в максимально короткие сроки?

3. Проследить (предсказать) экологические и климатические последствия прорыва крупного нефтепровода.

4. Проследить (предсказать) социальные последствия изменений цен на нефть.

MATLAB предназначена для выполнения инженерных и научных расчетов и высококачественной визуализации получаемых результатов. Эта система применяется в математике, вычислительном эксперименте, математическом и имитационном моделировании.

Используя пакет MATLAB можно как из кубиков построить довольно сложную математическую модель, или написать свою программу.

предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов, математического моделирования.

Ориентирован на естественный математический язык и “непрограммирующего пользователя”.

Пакет объединяет в себе: редактор математических формул, интерпретатор для вычислений, библиотеку математических функций, процессор символьных преобразований, текстовый редактор, графические средства представления результатов, возможности структурного программирования.

матрицами и векторами, гиперболическими и тригонометрическими функциями, комплексными числами и булевыми выражениями.
Поддерживается использование примитивного программирования - циклов FOR и WHILE, условий IF и т.д. Пользователь программы имеет возможность быстрой вставки единиц измерения, может экспортировать созданные проекты в форматы HTML и MathCad или сохранять их в виде изображений BMP, GIF, JPG и PNG.
В SMathStudio есть встроенный справочник, посвященный тригонометрии, логарифмам, производным, пределам и прочим математическим понятиям.
Также в программе имеется коллекция примеров по решению математических задач.

только высокой скоростью моделирования.
Модели, разрабатываемые на базе этого поистине «народного» инструмента, как правило, наиболее просты в освоении, и даже их самостоятельная адаптация к меняющимся условиям может быть для более или менее квалифицированных пользователей Excel вполне посильной задачей.
К тому же, на рабочих местах использование иных программных средств может оказаться затруднительным – хотя бы в силу ресурсных ограничений (это могут быть и устаревшие компьютеры, и отсутствие локальной сети, и низкая квалификация пользователей).

от различных факторов X и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной математической модели.
В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции

где - независимые (объясняющие) переменные, или факторы.
ММ регрессии можно использовать не только для анализа, но и для прогнозирования явлений различной природы.

функция у зависит от одного фактора х.
Математическая модель у(х)=а+b▪x называется линейной и однофакторной.






Прямая зависимость: когда х возрастает, возрастает и у или х убывает – убывает и у.
Обратная зависимость: когда х возрастает, у - убывает или х убывает – у возрастает.

зависит от нескольких факторов х.
Математическая модель у(х)=а+b ▪ x1+ с ▪ х2 + … называется линейной и многофакторной. Ее график и зависимости аналогичны однофакторной модели

Примеры математических моделей

у зависит от одного фактора х.
Здесь может быть множество вариантов нелинейных однофакторных математических моделей:
3.1. Парабола или ее часть Y=y(x)=a+b▪x2 или y(x)=a+b▪х+с▪x2
3.2. Равносторонняя гипербола или ее часть - y(x)=a+b/x.

y(x)=a▪b х
3.5. Экспоненциальная – y(x)=е а+b▪х
3.6. Полином n-ой степени y(x)=a+b▪х+с▪x2 +…+z ▪xn
и другие.

виде таблиц, например


или

значению коэффициента корреляции ry,x . Чем ближе значение | ry,x | к 1, тем сильнее влияние фактора х на результат у.
2. по значимости фактора х для правильного функционирования объекта моделирования. Значимость устанавливается путем опроса экспертов в нефтегазодобывающей промышленности.

При разработке регрессионных математических моделей проводят ранжирование факторов (X1,X2,…) . В результате ранжирования определяется – будет ли фактор хi входить в модель или нет.

расчета коэффициентов корреляции используем функцию =КОРРЕЛ(все y; все xi) в EXCEL.
Наиболее важным является фактор х2, затем х1, и наконец, xn.

метода наименьших квадратов (МНК).

набора тестов, а также в:

визуальной проверке по графикам заданного у и смоделированного умм.
сравнении сумм заданного у и смоделированного умм.
Проверке, что ∑ (заданное у – смоделированное умм)2 → min.
определении относительной погрешности аппроксимации EОТН (%) по формуле






Относительная погрешность модели должны быть меньше 7%

Отранжировать таблицу по возрастанию Х.
2. Найти сумму Х и сумму У.
3. Найти Хср и Уср (средние значения)
4. Построить график У от Х и убедиться, что требуется определить ЛИНЕЙНУЮ модель (график должен напоминать прямую линию).
5. Найти значение коэффициента корреляции rY,X и убедиться, что У существенно зависит от Х.
6. Найти коэффициент b модели с помощью функции
=ЛИНЕЙН(все У;все Х)

формуле =Уср−Хср*b
8. Вычислить столбец чисел по модели Умм=a+b*X
9. Найти сумму чисел Умм. Эта сумма должна быть приблизительно равной сумму всех У.
10. Построить на одном поле графики У и Умм. Сравнить их. Графики должны быть расположены близко друг к другу, пересекаться или даже совпадать.
11. Найти среднюю относительную ошибку аппроксимации модели Е отн. Для этого вычислить столбец значений дробей = abs(У−Умм)/У
Найти сумму и среднее этих дробей.
Если среднее значение дробей Еотн меньше 7, то признаем математическую модель хорошего качества.

7, признаем модель хорошего качества, и выполняем с помощью модели прогноз количества трещин, которые возникнут при температуре 250 град. Для этого в формулу модели подставляем найденные коэффициенты а и b:

ММ

матрица независимых факторов х, в первый столбец этой матрицы обязательно записываются только 1. Состав остальных столбцов зависит от предполагаемой математической формулы модели.



матрица результирующих значений процесса или работы производственной системы

где

линейных математических моделей a+b⋅x и c+d⋅x1+f⋅x2+k⋅xn по данным из таблиц со слайда 28.

Таким образом определили линейные математические модели 3,4+5,1⋅x и -4,796+0,176⋅x1+0,385⋅x2+1,585⋅xn

зависят от использованной программы.

данные в таблице по возрастанию х.
Строим график у.
По графику убеждаемся, что функция ММ y(x) нелинейная.
Высказываем предположение, какая это функция (парабола, гипербола, степенная и т.д.)
Формируем матрицу Х в соответствии с выбранной нелинейной функцией.
Определяем коэффициенты модели.
Оцениваем точность модели.

таблица

График представляет собой часть параболы, т.е. в модель введем x2

как в примерах на слайдах 34 … 41, вместо фактора Х в расчетах участвует Х^2

данном примере нелинейная модель – идеальна (графики У и Умм совпали)

модели Умм=а+b/X
вместо Х во всех расчетах используется дробь 1/Х.
II. Для степенных моделей при линеаризации используются натуральные логарифмы ln:
1) Y=a*bX
Ln(Y)=Ln(a*bX )=Ln(a)+Ln(bX )=Ln(a)+X*Ln(b),
2) Y=a*Xb
Ln(Y)=Ln(a*Xb )=Ln(a)+Ln(Xb )=Ln(a)+b*Ln(X),

и в расчетах участвуют столбцы чисел Ln(Y) и Ln(X)

В MathCAD формируем матрицу Х.
Первый столбец в ней заполняем 1, второй столбец заполняем значениями x2.
Применяем МНК.
Получаем коэффициенты модели.
Результат – математическая модель y(x)=2+3,5x2.

но качественными. Например, диаметр скважины – величина числовая; расположение скважины (вертикально, наклонно, искривлено …) – параметр качественный. Качественные параметры преобразуют в числа – 0 или 1.
Например, Х=1 – вертикальное расположение; Х=0 – горизонтальное расположение.

и функции цели моделирования

выраженные зависимости выходных параметров от входных или внутренних параметров.
Пример линеаризованной аналитической математической модели:




ММ=


где

, - параметры моделируемого объекта;

− ограничения, накладываемые на функционирование объекта окружающей средой;
- целевая функция моделирования.

с помощью линейного программирования, Симплекс-метода и др.:

«Имеется некоторая величина, являющаяся линейной функцией ряда переменных, которые, в свою очередь, должны удовлетворять ограничениям, выраженным в виде системы линейных равенств или неравенств. Требуется отыскать такие неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих системе ограничений, при которых величина, являющаяся их линейной функцией, принимала бы наименьшее или наибольшее значение.»

при указанных ограничениях:



где х и y − объем добычи нефти и газа;
a и b − трудоемкость добычи нефти и газа;
- ограничение по количеству резервуаров;
- ограничение по количеству используемого оборудования;
- ограничение по количеству используемых месторождений.

графика по равенствам из п. 1




3.Заштриховывают
область,
соответствующую
неравенствам (1…3)

матрицы х и у, вычисляют значения G (x, y), определяют наименьшее значение целевой функции G (x, y) и соответствующие значения х и у.







Ответ: G min=8,665 при х=2,333 и y=1,333.

Область возможных решений

в табличную форму ММ для решения на ЭВМ.

– материал (0 – сталь, 1 – другие материалы); ФП – форма (0 – круглый, 4 – четырехгранник, 6 – шестигранник). И теперь заполняется ТА ММ.

проволоки данной длины L согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей.
Этап 1. Анализ требований. На рисунке представлен прямоугольник и его стороны: а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника.





Периметр прямоугольника L=2a+2b
Площадь прямоугольника S=a⋅b, эта функция будет являться целевой функцией поиска значений параметров а и b.

ММ. Математическая модель (ММ) для решения задачи имеет вид:




Сформулируем словесный алгоритм:
Ввести значение L.
Вычислить Δ=L/1000.
Назначить a=Δ; S max =0; a max =0; b max =0;.
Вычислить b=(L−2a)/2.
Вычислить S= a ⋅ b.
Если S≥ S max, то a max =a; b max =b; S max =S.
Вычислить a=a+Δ.
Если aПечать a max; b max; S max.
Конец.

таблице: Этап 5. Реализация ММ. Например, в редакторе электронных таблиц EXCEL (приведена лишь часть электронной таблицы)

Результат моделирования в EXCEL совпадает со значениями из тестового примера

моделирования, но в реальных задачах их может быть несколько. Такие задачи называют многокритериальными.

Для реализации ММ на ЭВМ требуется множество целевых функции
свести к одной формуле. Например, аддитивный критерий объединяет (свертывает) несколько целевых функций в одну:



где λi − важность i -ой целевой функции для заказчика моделирования, выраженная в весовых коэффициентах; m − количество целевых функций.
Недостатки аддитивного критерия − субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и все целевые функции должны стремиться либо к min, либо к max.

В случае, когда одни целевые функции стремятся к min, другие - к max, применяется минимаксный метод.

− текущее значение i-го параметра для j-го варианта; λi − весовые коэффициенты значимости; max(Pi,j) или min(Pi,j) − наилучшее значение i-го параметра, наблюдаемое у множества анализируемых альтернатив; k – количество параметров проектируемого объекта, входящих в комплексную оценку.

Каждый из параметров «стремится» к своему оптимальному значению opt.

Решение сводится к поиску наибольшего значения целевой функции F из m вариантов.

расчета эффективности 1 варианта W1=
0,15⋅0,76/0,81+0,35⋅0,23/0,23+0,15⋅11/12+0,25⋅72/85+0,08⋅250/270+0,02⋅1,2/1,25
=0,9332.
Результаты расчетов эффективности W и целевых функций F
остальных вариантов занесем в таблицу.

значений комплексной целевой функции по вариантам

Вывод:
лучший – 3-й вариант,
так как значение
целевой функции
здесь достигает
максимума.

занятием узнайте свой № варианта по списку фамилий в журнале.
2. Скачайте файл «Перечень тем и заданий самостоятельной работы по ММ в расчетах на ЭВМ 2016»