Двоичная арифметика. Стандарт IEEE 754. Формат представления чисел с плавающей точкой презентация

Содержание

Institute of Electrical and Electronics Engineers – Институт инженеров по электротехнике и электронике Международная  ассоциация специалистов в области техники, мировой лидер в области разработки стандартов по радиоэлектронике, электротехнике и аппаратному обеспечению

Слайд 1Двоичная арифметика. Стандарт IEEE 754
Окладникова С.В.

Слайд 2Institute of Electrical and Electronics Engineers – Институт инженеров по электротехнике

и электронике

Международная  ассоциация специалистов в области техники, мировой лидер в области разработки стандартов по радиоэлектронике, электротехнике и аппаратному обеспечению вычислительных систем и сетей

Дата основания: 1963 г.
Институт радиотехников ( Institute of Radio Engineers, IRE,  1912 г.)
Американский институт инженеров-электриков (American Institute of Electrical Engineers, AIEE, 1884 г.)

Цель: информационная и материальная поддержка специалистов для организации и развития научной деятельности в электротехнике, электронике, компьютерной технике и информатике

 400 000 индивидуальных членов из 170 стран
Издание 1/3 части мировой технической литературы в области (радиоэлектроники, компьютеров, систем управления, электротехники)
Проведение более 300 крупных международных конференций в год
Участие в разработке около 900 действующих стандартов

Слайд 3IEEE 754 (IEC 60559) — стандарт, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой
Использование:

программные и аппаратные реализации арифметических действий (математических операций)

Список стандартов: IEEE 754-1985; IEEE 754-1997; IEEE 754-2008

Стандарт описывает:
формат чисел с плавающей точкой: мантисса, показатель степени, знак числа;
представление положительного и отрицательного нуля, плюс и минус бесконечностей, а также — не числа;
методы, используемые для преобразования числа при выполнении математических операций;
исключительные ситуации: деление на нуль, переполнение, потеря значимости, работа с денормализованными числами и другие;
операции: арифметические и другие

Слайд 4Представление чисел с плавающей точкой
Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных

чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени
Форматы чисел:
половинной точности (half precision) (16 бит)
одинарной точности (single precision) (32 бита)
четверной точности (quadruple precision) (128 бит)
расширенной точности (extended precision) (80 бит)

Слайд 5Нормальная и нормализованная формы
Нормальной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение

мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале  [0,1)

Пример: 1300010

13000*100 = 1300*101 = 130*102 = 13*103 = 1,3*104 = 0,13*105

Слайд 6Нормальная и нормализованная формы
Нормализованной называется форма представления числа, при которой абсолютное

значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале  [1,10)

Пример: 1300010

13000*100 = 1300*101 = 130*102 = 13*103 = 1,3*104

Слайд 7Нормальная и нормализованная формы
Нормализованной называется форма представления числа, при которой абсолютное

значение мантиссы двоичного числа находится на полуинтервале [1,2)

Пример: 1100112

В нормализованной форме в мантиссе слева от запятой находится ровно один знак 1 – однозначность записи

110011*100 = = 1,10011*105

Слайд 8Особые значения чисел
Представление «0» со знаком
Число считается нулём, если все его

биты, кроме знакового, равны нулю.
В зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.

Арифметика «0»

Слайд 9Особые значения чисел
Представление неопределенности (NaN – not a number)
NaN является результатом

арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка
NaN - число, в котором все двоичные разряды порядка — единицы, а мантисса не нулевая
По определению NaN ≠ NaN, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой
Любая операция с NaN возвращает NaN

Арифметика NaN

Слайд 10Особые значения чисел
Представление бесконечности
Все двоичные разряды порядка — единицы, а мантисса

равна нулю
Знак бесконечности определяется знаковым битом числа
Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль

Слайд 11Денормализованные (субнормальные) числа
Представление числа в денормализованном виде - это способ увеличить

количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля для повышения точности вычислений

Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького нормализованного ("обычного") значения числа с плавающей запятой

0,1 ≤ M < 1

Слайд 12Денормализованные (субнормальные) числа
Пример: 137,75910
137,75910 = 0,137759*10+3



Пример: 0,0013775910
0,0013775910

= 0,137759*10-2



Слайд 13Денормализованные (субнормальные) числа
Назначение
Обработка очень маленьких значений чисел
Повышение точности обработки чисел (уменьшение

погрешностей)



Недостатки

Процессорная обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел

Слайд 14Формальное представление чисел
S - бит знака, если S=0 - положительное число;

S=1 - отрицательное число
E - смещенная экспонента двоичного нормализованного числа с плавающей точкой, т.е. (2(b-1) -1) - заданное смещение экспоненты
M - остаток мантиссы двоичного нормализованного числа с плавающей точкой

Слайд 15Формальное представление чисел
32 бита
64 бита

Слайд 16Представление чисел в разрядной сетке
Число половинной точности (Half precision)
Число д.б. представлено

в нормализованном виде

компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (16 бит)

Порядок записан со сдвигом 15
Для получения значения порядка нужно вычесть из него сдвиг
Сдвиг рассчитывается по формуле  2b-1-1 ,
где  b — число бит, отведенное на хранение порядка (b=5).

Слайд 17Представление чисел в разрядной сетке
Число половинной точности (Half precision)
Ограничения точности

Слайд 18Представление чисел в разрядной сетке
Число одинарной точности (Single precision)
компьютерный формат представления

чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (32 бита) 

Порядок записан со сдвигом 127

Слайд 19Представление чисел в разрядной сетке
Число двойной точности (Double precision)
компьютерный формат представления

чисел, занимающий в памяти два машинных слова (64 бита) 

Порядок записан со сдвигом 1023

Слайд 20Представление чисел в разрядной сетке
Как будет записано число в формате 128

бит (4 машинных слова)

Слайд 21Представление чисел в разрядной сетке
Число четвертной точности (Quadruple precision)
Порядок сдвига 16383

Слайд 22Представление чисел в разрядной сетке
Как будет записан «± ноль» в представлении

Half precision?

Слайд 23Представление чисел в разрядной сетке
Запись ноля

Слайд 24Представление чисел в разрядной сетке
Как будет записана NaN в представлении Half

precision?

Слайд 25Представление чисел в разрядной сетке
Запись NaN

Слайд 26Представление чисел в разрядной сетке
Как будет записана бесконечность в представлении Half

precision?

Слайд 27Представление чисел в разрядной сетке
Запись бесконечности

Слайд 28Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
перевести модуль числа в двоичную

систему счисления
нормализовать двоичное число
прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную систему счисления
учитывая знак заданного числа (0 — положительное; 1 — отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ

Слайд 29Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
Пример 1: Преобразовать число -312,312510

для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double (двойное слово)

Двоичная запись числа
-100111000,0101

Слайд 30Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
Двоичная запись числа -312,312510

-100111000,0101
Пример

1:

Слайд 31Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
2. Нормализуем двоичное число

100111000,0101 =

1,001110000101*28

Пример 1:

Слайд 32Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
3. Определим смещенный порядок


Порядок -

11 разрядов
Диапазон от 2 до 1023
Смещение 102310 = 11111111112

810 + 102310 = 103110 = 100000001112

Пример 1:

Слайд 33Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
4. Запишем представление числа в

памяти ЭВМ

Пример 1:

Слайд 34Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
Пример 2: Определить число, записанное

в памяти ЭВМ

Слайд 35Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
1. Определим порядок числа
Пример 2:
011111111102

= 102210
102210 – 102310 = -110

Слайд 36Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
2. Определим двоичное число
Пример 2:
1,11000112

*2-1= 0, 111000112

Слайд 37Алгоритм записи вещественного числа в памяти ЭВМ
3. Переведем двоичное число в

десятичную систему счисления

Пример 2:

0,111000112 = 0,8867187510

4. Число - положительное

Слайд 38Особенности округления чисел с плавающей запятой
1. Правило округления «до четного»

исходное округленное

33 32
47 48
35 36

Слайд 39Особенности округления чисел с плавающей запятой
2. Правило округления «к ближайшему целому»

исходное округленное


1,33 1
1,35 2
1,37 2

Слайд 40Особенности округления чисел с плавающей запятой
3. Правило округления «к нулю»

исходное округленное

1,33 1,3
1,35 1,3
1,37 1,3

Слайд 41Особенности округления чисел с плавающей запятой
4. Правило округления «к +∞ »

исходное округленное



1,33 1,4
1,35 1,4
1,37 1,4

Слайд 42Особенности округления чисел с плавающей запятой
5. Правило округления «к -∞»

исходное округленное



1,33 1,3
1,35 1,3
1,37 1,3

Слайд 43Особенности двоичной арифметики
1. Не ассоциативность арифметических операций

(a·b) ·c ≠ a· (b·c)



Слайд 44Особенности числовых констант
2. Не все десятичные числа имеют двоичное представление с

плавающей запятой

«0,2» - «0,200000003» в одинарной точности

Похожие презентации

Розробка програмного забезпечення гри “П’ятнашки” з використанням бібліотеки OpenGL 288
Генетические алгоритмы 828
Нейросамоучитель. Совершенствование обучения нейропилотированию 242
Социально-технологическая сингулярность. Значимые события в истории цифрового искусства 225
Introduction to Fenwick tree 322
Интересные факты из истории информатики 315

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика