- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Численные методы решения задач презентация
Содержание
- 1. Численные методы решения задач
- 2. Интерполяция – приближенное или точное нахождение какой-либо
- 3. Постановка задачи. Предположим, что функция f(x) известна
- 4. Интерполяционная функция φ(x) имеет вид многочлена
- 5. Схема Горнера Фрагмент программы на
- 6. Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
- 7. Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:
- 8. Аналитическая формула, по которой находятся коэффициенты
- 9. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 10. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 11. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 12. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 13. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 14. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 15. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 16. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 17. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 18. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 19. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 20. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 21. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 22. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 23. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 24. Пример. Найти значения коэффициентов полинома Ньютона
- 25. Проверка.
- 26. Сплайном называется функция, определенная на отрезке [a;
- 27. Коэффициенты ai, bi, ci находятся при решении
- 28. Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для
- 29. Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для
- 30. Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для
- 31. Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для
- 32. Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для
- 33. В общем случае итерационная процедура нахождения
- 35. Кубическим сплайном называют совокупность многочленов третьей степени
- 36. Коэффициенты ai, bi, ci, di находятся при
- 37. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 38. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 39. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 40. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 45. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 47. В общем случае итерационная процедура нахождения
- 48. В общем случае итерационная процедура нахождения
- 49. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 50. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 51. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 52. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 54. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 55. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 56. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 57. Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для
- 58. 6.5.6. Метод наименьших квадратов Постановка задачи.
- 59. 6.5.6. Метод наименьших квадратов – базисные
- 60. 6.5.6. Метод наименьших квадратов
- 61. 6.5.6. Метод наименьших квадратов
- 65. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 66. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 67. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 68. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 69. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 70. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 71. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 72. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 73. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 74. Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5},
- 80. 6.5.7. Интерполяция тригонометрическим полиномом Если требуется
- 81. Пример. Аппроксимировать функцию y=5·x на интервале
- 82. Пример. Аппроксимировать функцию y=5·x на интервале
- 84. 6.5.8. Интерполяция кривой Безье Пьер Безье
- 85. 6.5.8. Интерполяция кривой Безье Кривая Безье
- 86. Кубические кривые Безье (n=3) широко используются в
- 87. Пример построения кубической кривой Безье (n=3)
- 88. Пример построения кубической кривой Безье (n=3)
- 89. Пример построения кубической кривой Безье (t=0,25)
- 90. Пример построения кубической кривой Безье (t=0,25)
- 91. Пример построения кубической кривой Безье (t=0,25)
- 92. Пример построения кубической кривой Безье (t=0,25)
- 93. Пример построения кубической кривой Безье (t=0,5)
- 94. Пример построения кубической кривой Безье
- 95. Пример построения кубической кривой Безье
- 96. Пример построения кривой Безье 4-й степени
Интерполяция – приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. В первоначальном понимании интерполяция – это восстановление функции по известным
Слайд 2Интерполяция – приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным
значениям этой же или других величин, связанных с ней.
В первоначальном понимании интерполяция – это восстановление функции по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных точках.
Экстраполяция – продолжение функции за пределами ее области определения.
В первоначальном понимании интерполяция – это восстановление функции по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных точках.
Экстраполяция – продолжение функции за пределами ее области определения.
6.5. Интерполяция и приближение полиномами
Слайд 3Постановка задачи. Предположим, что функция f(x) известна в (N+1) точке: (x0;y0),
(x1;y1),…, (xN;yN).
Значения xk принадлежат интервалу [a;b] и удовлетворяют условиям
Значения xk принадлежат интервалу [a;b] и удовлетворяют условиям
Точки (x0;y0), (x1;y1),…, (xN;yN) называются узловыми.
Условие прохождения интерполяционной функции через узловые точки называют условием Лагранжа.
Слайд 4Интерполяционная функция φ(x) имеет вид многочлена
6.5.1. Интерполяция алгебраическим полиномом
Слайд 5
Схема Горнера
Фрагмент программы на языке Си
p=c[n];
for(i=n-1; i>=0; i--)
p=c[i]+p*x;
Количество
Обычный способ Схема
операций Горнера
Сложение
Умножение
Сложение
Умножение
Слайд 6
Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:
6.5.2. Интерполяционный полином Лагранжа
Достоинством полинома Лагранжа является
то, что не требуется предварительного определения коэффициентов полинома.
Слайд 7
Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:
6.5.3. Интерполяционный полином Ньютона
– коэффициенты полинома
Ньютона.
Коэффициенты полинома Ньютона находятся исходя из выполнения условия Лагранжа.
Слайд 8
Аналитическая формула, по которой находятся коэффициенты полинома, имеет сложный вид
Итерационная
процедура очень простая.
Слайд 25
Проверка.
К достоинствам данного метода можно отнести
меньшая погрешность интерполяции при близкорасположенных
узлах;
возможность использования вложенных умножений при вычислении значений полинома;
коэффициенты полинома получаются более простым способом, чем при интерполяции алгебраическим полиномом.
Недостатком является проведение предварительных расчетов коэффициентов.
возможность использования вложенных умножений при вычислении значений полинома;
коэффициенты полинома получаются более простым способом, чем при интерполяции алгебраическим полиномом.
Недостатком является проведение предварительных расчетов коэффициентов.
Слайд 26Сплайном называется функция, определенная на отрезке [a; b], совпадающая на частичных
отрезках [xi; xi+1] с некоторым алгебраическими многочленами степени не выше m и имеющая непрерывную (m–1)-ю производную.
Параболическим сплайном называют совокупность многочленов второй степени вида
Параболическим сплайном называют совокупность многочленов второй степени вида
6.5.4. Интерполяция параболическим сплайном
– коэффициенты параболических полиномов
– число узловых точек
Слайд 27Коэффициенты ai, bi, ci находятся при решении системы линейных уравнений, которые
получаются из выполнения трех условий:
равенство значений сплайна и аппроксимируемой функции в узлах (условие Лагранжа)
непрерывность первой производной в узловых точках:
равенство некоторому значению D первой производной в начале или на конце интервала: или
равенство значений сплайна и аппроксимируемой функции в узлах (условие Лагранжа)
непрерывность первой производной в узловых точках:
равенство некоторому значению D первой производной в начале или на конце интервала: или
– первая производная параболического многочлена
Слайд 28
Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}, а производная в конце интервала равна нулю.
Слайд 29
Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}, а производная в конце интервала равна нулю.
Слайд 30
Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}, а производная в конце интервала равна нулю.
Слайд 31
Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}, а производная в конце интервала равна нулю.
Слайд 32
Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}, а производная в конце интервала равна нулю.
Слайд 33
В общем случае итерационная процедура нахождения коэффициентов параболического сплайна следующая:
1. Находятся
значения hK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
2. Находятся значения zK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
3. Находятся значения aK, bK, cK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формулам
если задано значение первой производной D в начале интервала интерполяции
если задано значение первой производной D в конце интервала интерполяции
2. Находятся значения zK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
3. Находятся значения aK, bK, cK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формулам
если задано значение первой производной D в начале интервала интерполяции
если задано значение первой производной D в конце интервала интерполяции
Слайд 34
Пример. Найти коэффициенты параболического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}, а производная в конце интервала равна нулю.
Слайд 35Кубическим сплайном называют совокупность многочленов третьей степени вида
6.5.5. Интерполяция кубическим сплайном
–
коэффициенты кубических полиномов
– число узловых точек
– число узловых точек
Слайд 36Коэффициенты ai, bi, ci, di находятся при решении системы линейных уравнений,
которые получаются из выполнения трех условий:
равенство значений сплайна и аппроксимируемой функции в узлах (условие Лагранжа)
непрерывность первой и второй производной в узловых точках:
равенства нулю вторых производных на концах интервала:
равенство значений сплайна и аппроксимируемой функции в узлах (условие Лагранжа)
непрерывность первой и второй производной в узловых точках:
равенства нулю вторых производных на концах интервала:
– первая производная кубического многочлена
– вторая производная кубического многочлена
Слайд 37
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 38
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 39
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 40
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 45
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 47
В общем случае итерационная процедура нахождения коэффициентов кубического сплайна следующая:
1. Находятся
значения hK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
2. Находятся значения gK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
3. Находятся значения uK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
4. Находятся значения mK при решении системы линейных уравнений
2. Находятся значения gK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
3. Находятся значения uK при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формуле
4. Находятся значения mK при решении системы линейных уравнений
Слайд 48
В общем случае итерационная процедура нахождения коэффициентов кубического сплайна следующая:
5. Принимается
m0 = mN = 0
6. Находятся значения коэффициентов aK, bK, cK, dK кубических полиномов при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формулам
6. Находятся значения коэффициентов aK, bK, cK, dK кубических полиномов при K=0, 1, 2,…, (N–1) по формулам
Слайд 49
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 50
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 51
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 52
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 54
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 55
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 56
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 57
Пример. Найти коэффициенты кубического сплайна для следующих значений узловых точек: {0;0},
{1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}.
Слайд 586.5.6. Метод наименьших квадратов
Постановка задачи.
Известно, что узловые точки (x1;y1), (x2;y2),…,
(xN;yN) определены с экспериментальной погрешностью.
Требуется найти интерполирующую функцию φ(x), которая бы проходила так, чтобы ошибки интерполяции были бы минимальны.
Требуется найти интерполирующую функцию φ(x), которая бы проходила так, чтобы ошибки интерполяции были бы минимальны.
Слайд 596.5.6. Метод наименьших квадратов
– базисные функции.
– среднеквадратичная ошибка интерполяции.
Задача интерполяции по
методу наименьших квадратов сводится к нахождению значений коэффициентов c1, c2,…, cm, при которых величина Q получает минимальное значение.
Слайд 65
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется найти по
методу наименьших квадратов прямую, проходящую через начало координат.
Слайд 66
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется найти по
методу наименьших квадратов прямую, проходящую через начало координат.
Слайд 67
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести произвольную
прямую по методу наименьших квадратов.
Слайд 68
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести произвольную
прямую по методу наименьших квадратов.
Слайд 69
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести произвольную
прямую по методу наименьших квадратов.
Слайд 70
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести произвольную
прямую по методу наименьших квадратов.
Слайд 71
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести параболу
по методу наименьших квадратов.
Слайд 72
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести параболу
по методу наименьших квадратов.
Слайд 73
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести параболу
по методу наименьших квадратов.
Слайд 74
Пример. Даны результаты измерений: {0;0}, {1;0,5}, {2;2}, {3;1,5}. Требуется провести параболу
по методу наименьших квадратов.
Слайд 78
Значение Q составило:
для прямой, проходящей через начало координат – 0,71
для
произвольной прямой – 0,7
для параболы – 0,45
для параболы – 0,45
Слайд 79
Увеличение степени полинома приводит, с одной стороны, к уменьшению суммарной ошибки
Q, а с другой стороны, к увеличению времени вычисления неизвестных коэффициентов c1, c2, cm.
Для оценки приемлемого значения числа степени многочлена используют величину
Для оценки приемлемого значения числа степени многочлена используют величину
За оптимальное значение степени многочлена следует принять то значение m, начиная с которого величина σm стабилизируется или начинает возрастать.
Слайд 806.5.7. Интерполяция тригонометрическим полиномом
Если требуется провести интерполяцию данных, имеющий периодический характер,
то в качестве базисных функций
φ1(x), φ2(x),…, φm(x) выбираются периодические функции.
Тригонометрический полином порядка M имеет вид
Тригонометрический полином порядка M имеет вид
Коэффициенты тригонометрического полинома находятся по методу наименьших квадратов.
Слайд 81
Пример. Аппроксимировать функцию y=5·x на интервале [–π; π] тригонометрическими полиномами порядка
1, 2 и 3. Тринадцать узловых точек расположены равномерно на данном интервале.
Слайд 82
Пример. Аппроксимировать функцию y=5·x на интервале [–π; π] тригонометрическими полиномами порядка
1, 2 и 3. Тринадцать узловых точек расположены равномерно на данном интервале.
Слайд 846.5.8. Интерполяция кривой Безье
Пьер Безье – французский инженер компании Рено, разработчик
системы проектирования UNISURF
Поль де Фаже де Кастельжо – французский математик и физик, автор рекурсивного способа построения кривых Безье
Слайд 856.5.8. Интерполяция кривой Безье
Кривая Безье – это параметрическая кривая, задаваемая выражением
–
функция компонент векторов опорных вершин
– базисные функции кривой Безье.
– базисные функции кривой Безье.
