Алгебра логики презентация

XIX века Дж. Булем. Эта алгебра занимается так называемым исчислением высказываний.
Ее особенностью является применимость для описания работы так называемых дискретных устройств, к числу которых принадлежит целый класс устройств автоматики и вычислительной техники.
При этом сама алгебра выступает в качестве модели устройства. Это означает, что работа произвольного устройства указанного типа может быть лишь в каком-то отношении описана с помощью построений этой алгебры.

Алгебра логики

называть логическими.
Все знают шуточную задачу о перевозке козла, волка и капусты с одного берега на другой. В этой задаче властвует не арифметика, а умение логически рассуждать. Человек прибегает к логике, когда составляет расписания, распутывает противоречивые показания или составляет инструкции.
В логических задачах исходными данными являются не только и не столько числа, а сложные логические суждения, подчас весьма запутанные. Эти суждения и связи между ними бывают иногда столь противоречивы, что для их разрешения привлекают вычислительные машины.

позволяющие отличать его от других.
Примеры: проливной дождь, круглый шар, новый компьютер.

(384-328 гг. до н.э.)

Аристотель - основатель Формальной логики.
Описал основные формы абстрактного мышления: понятие, высказывание, умозаключение.

повествовательным предложением, в котором что-то утверждается или отрицается.
Высказывание может быть истинным или ложным.
Истинное высказывание - правильно отражает реальную действительность.
Ложное - противоречит действительности.
Примеры: «У прямоугольника все углы прямые» (Истинное высказывание).
«Компьютер был изобретен в середине XIX века (Ложное высказывание).

Высказывание

суждений может быть получено новое суждение.

Пример: Из высказывания:
«Равнобедренный треугольник, у кот. все углы равны»
можно путём умозаключений получить другое высказывание
«Этот треугольник равносторонний».

Умозаключение

простых высказываний соединённых логическими связками: «и», «или», «не», «если …то», «тогда и только тогда»)
«Петров - врач и шахматист» «Петров – не врач и не шахматист»

В алгебре простые высказывания обозначаются буквами латинского алфавита и наз. логическими переменными.
Обозначив А = «Петров – врач», В = «Петров – шахматист», получим логические выражения (функции):
F(A,B) = А и В («Петров - врач и шахматист»)
F(A,B) = не А и не В («Петров – не врач и не шахматист»)

таблицы истинности, в которой перечисляются все комбинации значений логических переменных, входящих в выражение, и определяются значения логической функции.

выражений.

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЯХ

действия в скобках; инверсия (¬), конъюнкция (^), дизъюнкция (v), импликация (→), эквивалентность(↔).

— переворачиваю,

2. Логич. сложение (дизьюнкция) «ИЛИ» +, v от лат. disjunctio - различаю

3. Логич. умножение (конъюнкция) «И» ∙ , х , ^, & от лат. conjunctio – соединяю

— тесно связываю,

Из таблицы видно : Импликация ложна, если из истины следует ложь, и истинна - во всех остальных случаях.

5. Логическое равенство (эквивалентность/равнозначность) «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…» «НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО » ≡ ↔
от лат. equivalents — равноценное

Из таблицы видно : Эквивалентность истинна, если обе переменные одновременно либо истинны, либо ложны.

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

... либо”.

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

истинно одновременно со своим отрицанием. “Я студент” и “Я не студент”.

Законы алгебры логики

лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Законы алгебры логики

утверждать это высказывание.

Законы алгебры логики

одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы алгебры логики

и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Законы алгебры логики

равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Законы алгебры логики

и вычислительной техники стремятся использовать функциональные модули, выполняющие определённые схемные задачи: логические преобразования, хранение информации и т.д.
Конкретный вид электрической схемы, использованной для реализации заданной логической функции, как правило, не имеет существенного значения.
Техническое устройство, реализующее логическую функцию, может рассматриваться просто как логический элемент, внутренняя структура которого не конкретизируется.

логического элемента эквивалентна проверке составного условия со служебным словом “или”.
Алгоритм работы логического элемента “или” записывается следующим образом: “Если А=1 или В=1, то f(А,В)=1, иначе f(А,В)=0”.     

Логический элемент ИЛИ

логического элемента эквивалентна проверке составного условия со служебным словом “и”.
Алгоритм работы логического элемента “и” записывается следующим образом: “Если А=1 и В=1, то f(А,В)=1, иначе f(А,В)=0”.

Логический элемент И

элемента - это даёт возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов.

законами, открытыми английским математиком Августусом де Морганом (1806-1871) и поэтому носящими его имя.

Элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ